雞兔同籠問(wèn)題各種解法的聯(lián)系

摘 要：雞兔同籠是數(shù)學(xué)界經(jīng)典問(wèn)題，以解法策略的多樣性凸顯其魅力，有算術(shù)的巧算法和代數(shù)的方程方法，本文列舉解決雞兔同籠的解法，分析解題策略，探索各種方法之間內(nèi)在聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：雞兔同籠；解法

雞兔同籠是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。問(wèn)籠中各有幾只雞和兔？

日本有“龜鶴算題”，例如：“龜鶴合計(jì)共10只，共有28條腿，問(wèn)龜鶴各有多少只？”就是從中國(guó)古代的“雞兔同籠”問(wèn)題演變來(lái)的。

仔細(xì)想想就知道，這是一種脫離生活實(shí)際的空想問(wèn)題。因?yàn)殡u和兔（或龜與鶴）是完全不同的動(dòng)物，數(shù)總數(shù)時(shí)自然會(huì)知道會(huì)有幾只雞、幾只兔。由于它們的腳也長(zhǎng)得完全不同，故在數(shù)總數(shù)時(shí)，知道其各自是多少也不會(huì)錯(cuò)。因此，這個(gè)問(wèn)題僅僅是作為一種智力測(cè)驗(yàn)的問(wèn)題。

“雞兔同籠”問(wèn)題之所以成為數(shù)學(xué)名題，魅力在于解決問(wèn)題策略的多樣性，體現(xiàn)思維的靈活性、創(chuàng)造性，從不同解法還可發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展（算術(shù)到代數(shù)），體會(huì)數(shù)學(xué)的解放感及力量感（張景中語(yǔ)）。

許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題， 用解它的典型解法來(lái)求解。到中學(xué)的方程中也是典型問(wèn)題，近幾年國(guó)家公務(wù)員考試對(duì)這類問(wèn)題也有考查，因此學(xué)會(huì)它的解法和思路很重要。

本文列舉解決雞兔同籠的解法，分析解題策略，探索各種方法之間內(nèi)在聯(lián)系。

解決方法一：列表窮舉法

原題數(shù)較大，根據(jù)化繁為簡(jiǎn)的思想方法，可從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，先研究“有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有10個(gè)頭，從下面數(shù)，有28只腳。問(wèn)籠中各有幾只雞和兔？

從這張表可以看出，腳的總數(shù)為28時(shí)，有6只雞，4只兔，即為答案。

當(dāng)然，在具體列表解決時(shí)，只用列到第5行，腳總數(shù)與題吻合。

這是一種原始的、一步一步糾正錯(cuò)誤的方法，用試探錯(cuò)誤的方法解決。思維含量較低，適合低年級(jí)兒童。目前，雞兔同籠問(wèn)題已進(jìn)入小學(xué)四年級(jí)教材，解決時(shí)，就是用列表運(yùn)用嘗試的辦法探索規(guī)律，得出結(jié)果，使學(xué)生感受這是數(shù)學(xué)探索的一種有效途徑。

但若數(shù)字較大的話，要畫(huà)這張表就太費(fèi)事了。例如原題（35頭，94足），這張表要列到35行，工作量很大！效率低。因此，應(yīng)當(dāng)尋求更好的解決方法。

解決方法二：假設(shè)法

觀察表中所列腳總數(shù)可知，它是每次2只遞增的。這是因?yàn)槊看问且?只腳的兔來(lái)替換2只腳的雞的緣故。10只雞、0只兔時(shí)有20只腳，由此要變成28只腳就必須增加8只腳。據(jù)此8÷2=4， 應(yīng)將4只雞轉(zhuǎn)換成兔。我們可將這種思考方法稱為假設(shè)法。

假設(shè)法————假設(shè)都是雞

（1）如果籠子里都是雞，那么就有10×2=20只腳。

（2）多出 28—20=8。

（3）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有8÷（4—2）=4只兔。

（4）所以籠子里有6只雞、4只兔。

用此方法，即使數(shù)字較大，也不難解了。

比如回到原題（35頭，94足），如果籠子里都是雞，說(shuō)的生動(dòng)些，不防可以假設(shè)先讓兔子都抬起2只腳，那么現(xiàn)在就有35×2=70只腳，現(xiàn)在的腳數(shù)和原來(lái)差94-70=24只腳，這些都是每只兔子抬起2只腳，一共抬起24只腳，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到雞有23只。

兔子站起——想得活！

假設(shè)法————假設(shè)都是兔

把每只雞的兩個(gè)翅膀也當(dāng)作腳，那么每只雞就有4只腳，與兔的腳數(shù)相同，則雞兔共有腳35×4=140只，多了140-94=46只腳，這就是雞的翅膀數(shù)，所以雞有46÷2=23只，兔有35-23=12只。

把雞翅膀當(dāng)作腳——想得妙！

假設(shè)法————抬腳法1

假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47（只）腳?；\子里的兔就比雞的腳數(shù)多1倍，這時(shí)，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)。

金雞獨(dú)立，兔子站起——想得巧！

假設(shè)法————抬腳法2

假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24只腳 ， 這時(shí) 地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35-12=23只雞。

讓雞飛起來(lái)，兔子站起——想得絕！

不管怎么說(shuō)，從前的這種雞兔同籠仍屬一種較困難的計(jì)算題。

解決方法三：代數(shù)方程法

然而這種從前雞兔同籠難題，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，若用代數(shù)方程這種新式武器來(lái)解決，就方便多了。用代數(shù)方程既可以用一元一次方程也可以用二元一次方程組解決。

一元一次方程

解：設(shè)兔有x只，則雞有（35-x）只。

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

（4-2）x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23（只）

由上可見(jiàn)，這里出現(xiàn)的94-70與之前假設(shè)法相同，把它用4-2來(lái)除也與之前相同，而 35×2的出現(xiàn)是理所當(dāng)然的，這不就是假設(shè)先讓兔子都抬起2只腳后， 現(xiàn)在就有的35×2=70只腳嗎？

或 解：設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只。

2x+4（35-x）=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12（只）

答：兔子有12只，雞有23只。

二元一次方程組

解：設(shè)兔有x只，雞有y只。

x+y=35 ①

4x+2y=94 ②

解二元一次方程組有代入法、加減法，以下列出各種解法，再看看與之前解法的聯(lián)系。

代入法：

由①得：y=35-x ③

把③代入 ② 得：4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

（4-2）x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23（只）

答：兔子有12只，雞有23只。

可看出此種解法消元后與一元一次方程解法一致。

加減法

法1： ①×4得：4x+4y=35×4=140 ③【假設(shè)都是兔，則雞兔共有腳35×4=140只】

③- ② 4y-2y=140-94【多了140-94=46只腳，這就是雞的翅膀數(shù)】

2y=46

Y=46÷2

Y=23

把Y=23 代入① 得：x=12

∴ x=12 Y=23

可看出這就是巧算法中的“把雞翅膀當(dāng)作腳”法

法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③

②- ③ 4x-2x=94-70【假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24只腳】

2x=24

x=24÷2 【每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12只兔子】

x=12

代回①得：Y=23

可看出這就是巧算法中的“讓雞飛起來(lái)，兔子站起”法。

法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③【 先讓兔子都抬起2只腳， 現(xiàn)在就有35×2=70只腳】

②- ③ 4x-2x=94-70【現(xiàn)在的腳數(shù)和原來(lái)差94-70=24只腳， 兔子一共抬起24只腳 】

2x=24

x=24÷2 【每只兔子抬起2只腳，用24÷2得到兔子有12只】

x=12

代回①得：Y=23

可看出這就是巧算法中的“兔子站起”法。

法3： ②÷2 得：2x+y=94÷2=47 ③ 【雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47（只）】

③ - ①得：2x- x=47-35 【腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)】

x=12

代回①得：Y=23

可看出這就是巧算法中的“金雞獨(dú)立”法。

綜上所述，雞兔同籠問(wèn)題解決的方法很多，從列舉、算術(shù)巧算到代數(shù)方法，這些不同的方法策略所展現(xiàn)的魅力，正是這個(gè)問(wèn)題流傳到國(guó)外、從古流傳至今，成為經(jīng)典的原因！各種巧妙方法，令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已。這種思維方法叫化歸法?；瘹w法就是在解決問(wèn)題時(shí)，先不對(duì)問(wèn)題采取直接的分析，而是將題中的條件或問(wèn)題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)——數(shù)學(xué)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維是至關(guān)重要的，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，雞兔同籠問(wèn)題是一經(jīng)典！

同時(shí)，通過(guò)本文對(duì)各種方法的比較，我們發(fā)現(xiàn)列舉、算術(shù)巧算到代數(shù)方法各種方法并不是獨(dú)立不相關(guān)的，其實(shí)只是呈現(xiàn)表述方式不同，本質(zhì)是一樣的。正如萊布尼茨所說(shuō)，是“換個(gè)方式來(lái)考慮的”。每種做法都是一種創(chuàng)新，創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，應(yīng)該是核心素養(yǎng)研究和培養(yǎng)的根本目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下（人民教育出版社）.

[2]《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上（人民教育出版社）.

[3]《數(shù)學(xué)與生活》（ 日本）遠(yuǎn)山啟 （人民郵電出版社）.

[4]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（北京師范大學(xué)出版社）.

作者簡(jiǎn)介：和文濤（1969-2），男，中央民族大學(xué)畢業(yè)，云南大學(xué)附屬中學(xué)教師，高級(jí)教師，數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，2010年國(guó)培計(jì)劃培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)研修項(xiàng)目華師大初中數(shù)學(xué)班結(jié)業(yè)，云南省名師講學(xué)團(tuán)成員，曾榮獲昆明市優(yōu)秀園丁，一直從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。