借助直觀模型，理解算理

張敏桃

摘 要 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。借助直觀模型幫助學(xué)生理解乘法分配率在乘法豎式中的運(yùn)用過程，培養(yǎng)學(xué)生多向思維、優(yōu)化和轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。

關(guān)鍵詞 計(jì)算方法 直觀模型 數(shù)學(xué)思想

1背景與問題

運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種基本技能，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也明確指出要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法（不進(jìn)位）”屬于“數(shù)與代數(shù)”這一領(lǐng)域中“數(shù)的運(yùn)算”這個(gè)板塊，三年級上學(xué)期學(xué)生學(xué)習(xí)了多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法，下學(xué)期在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)口算乘法及兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法，按道理來說，學(xué)生隨著年齡的增長，對理解抽象知識和遷移能力應(yīng)該也越來越強(qiáng)，老師估計(jì)學(xué)生對于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法（不進(jìn)位）”這個(gè)知識點(diǎn)的掌握情況應(yīng)該比較樂觀，但在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生的知識反饋并非如我們想象那么好，這引發(fā)了我對計(jì)算教學(xué)中建立“直觀模型”必要性的思考。

2事例與點(diǎn)評

前幾天，同年級組的同事和我一起“同課異構(gòu)”上了三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法（不進(jìn)位）”，基于她對本教學(xué)內(nèi)容的理解和本班學(xué)生的能力考量，她覺得放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)生能通過自學(xué)知道“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算方法”，并且會(huì)計(jì)算，這樣新課知識點(diǎn)就解決了。為此，她設(shè)計(jì)了自學(xué)提綱讓班上學(xué)生在課前完成（如下圖）。

從學(xué)生完成的自學(xué)提綱來看，學(xué)生基本都完成得比較好，課堂上小組交流后匯報(bào)計(jì)算方法，感覺學(xué)生也已經(jīng)掌握了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”的計(jì)算法則和方法。但再深入提出問題及在做練習(xí)的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了以下的問題：

① “豎式中各數(shù)所表示的是什么？”只有一部分同學(xué)知道，一部分同學(xué)“知其然而不之所以然”。

② 課本練習(xí)十中的第一題雖然會(huì)算，但不會(huì)說發(fā)現(xiàn)了什么？（如下圖1）

③ 做練習(xí)時(shí)計(jì)算十位的時(shí)候有的學(xué)生把乘的順序位置調(diào)轉(zhuǎn)了（如上圖2）。

看似簡單的一節(jié)課，學(xué)生存在的問題真不少。不難發(fā)現(xiàn)，課前，教師過高估計(jì)了自己學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，輕視了操作探究和用圖示表征解釋算法在計(jì)算教學(xué)的作用。平常不少教師也覺得計(jì)算教學(xué)沒有什么可講，學(xué)生在課堂上探索計(jì)算過程會(huì)花較多的時(shí)間，于是省去了課本提供的“點(diǎn)子圖”的有效利用，只是試圖通過口算與豎式的溝通，直接讓學(xué)生把舊知識轉(zhuǎn)化為新知來理解算理、掌握算法，這種缺乏以操作輔助形象理解、不使用“直觀模型”的教學(xué)是不符合三年級小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。

3分析與研究

心理學(xué)家認(rèn)為，小學(xué)是學(xué)生運(yùn)算能力形成的最重要的階段。運(yùn)算能力不僅包括會(huì)算和算正確，還包括對于運(yùn)算的本身要有理解，這樣才有助于尋求合理、簡潔的運(yùn)算途經(jīng)解決問題。學(xué)生只有經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)，才能在算法和算理上達(dá)到平衡，才有利于學(xué)生的思維發(fā)展。我們不能只追求計(jì)算方法，而忽略學(xué)生的真正理解。在新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下，我們更有必要為學(xué)生提供便于觀察、轉(zhuǎn)化的直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生把抽象的算理具體化、形象化，幫助學(xué)生在溝通轉(zhuǎn)化中掌握算法，才能有效提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

3.1充分發(fā)揮點(diǎn)子圖的作用，“花”時(shí)間讓學(xué)生開展探究活動(dòng)

讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，是新課程倡導(dǎo)的重要改革理念之一。教科書是重要的課程資源，是供教學(xué)利用和加工的資源，我們要合理配置和有效利用，才能改善數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

全體學(xué)生都在探索、交流中體會(huì)不同的解題策略，為學(xué)習(xí)豎式計(jì)算做準(zhǔn)備。課本提供給我們的思維方法只有兩種（如下圖），但在這樣的實(shí)踐交流活動(dòng)中，學(xué)生呈現(xiàn)的計(jì)算方法很多，給學(xué)生體驗(yàn)了解決問題算法的多樣化，這樣也為后續(xù)四年級學(xué)習(xí)的知識“簡便運(yùn)算”提供了學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)生通過運(yùn)用舊知識解決新問題，得到了14€？2=168的正確答案，教學(xué)中滲透了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，而學(xué)生在點(diǎn)子圖留下的思維痕跡，將更好地理解豎式計(jì)算中的各數(shù)意義。

3.2溝通“算法”與“算理”

算法是計(jì)算的方法，是解決“怎么算？”的問題，算理是計(jì)算過程中的道理，是解決“為什么這樣算？”的問題，算法是顯性的，算理是隱性的。學(xué)生在交流14€？2的多種算法時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生對不同計(jì)算方法的點(diǎn)子圖進(jìn)行比較、歸納和分類，得出口算的解決方法是：分-乘、分-乘-合。大部分學(xué)生覺得分-乘-合這種方法計(jì)算起來比較方便，學(xué)生優(yōu)化的思想得以滲透，而這種計(jì)算算理恰恰就是“乘法分配率”，就是兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算方法的算理。算理的理解輔以了圖形的支撐，點(diǎn)子圖這個(gè)直觀模型成為了學(xué)生理解算理的橋梁，數(shù)形結(jié)合的思想也蘊(yùn)含其中。

對于前面遇到的問題，第①和第③學(xué)生很容易就通過探究活動(dòng)的點(diǎn)子圖找到答案，而第②個(gè)問題，繼續(xù)可以通過前面圈畫點(diǎn)子圖的方法讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)兩位數(shù)相乘，把這兩個(gè)兩位數(shù)分別拆成幾十和幾，把兩個(gè)幾十和幾分別相乘，再交叉相乘，最后把4個(gè)積相加，就得到這兩個(gè)兩位數(shù)相乘的積（如下圖）。通過這樣的對比、探究，學(xué)生更加明白兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法豎式的寫法，第一層的“66”是怎樣來的，第二層“220”又是怎么來的，省略了的“0”跟前面學(xué)習(xí)除法豎式一樣，可以更加美觀，這節(jié)課的重、難點(diǎn)都解決了。

4引申與思考

一節(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）乘法豎式計(jì)算的教學(xué)，借助直觀模型幫助學(xué)生理解乘法分配率在乘法豎式中的運(yùn)用過程，通過圖形與符號的溝通與轉(zhuǎn)化，給予學(xué)生充足時(shí)間的探究、討論、總結(jié)，使學(xué)生充分理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”算理。在這看似簡單的教學(xué)行為上，培養(yǎng)了學(xué)生的多向思維、優(yōu)化和轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。教師在平常的教學(xué)過程中，要“舍”才會(huì)有“得”，舍得花時(shí)間組織學(xué)生多動(dòng)手操作，讓學(xué)生經(jīng)歷用圖示表征解釋算法的過程，學(xué)生的思維空間才會(huì)得到拓展，這也將成為學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的重要基石。