高考立體幾何創(chuàng)新試題的類型及解法探析

黃麗生+姜玉豹

立體幾何作為支撐高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要知識(shí)模塊之一，高考也對(duì)其提出了較高的要求，從而使它成為歷年高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容，且題型、難度與分值比例長(zhǎng)期保持相對(duì)穩(wěn)定，保持“一大一小或兩小一大”的格局.命題注重考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等目標(biāo)要求；命題注重試題的創(chuàng)新性、多樣性和選擇性，具有一定的探究性和開(kāi)放性.另外，新課標(biāo)試卷很好地落實(shí)了命題的指導(dǎo)思想，連續(xù)四年試題無(wú)偏題、怪題，突出主干知識(shí)，注重常規(guī)思想與通法通解，比如，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是處理立體幾何問(wèn)題的基本思想方法，它要求能將定義、定理、公理熟練地用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確地表達(dá)；線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的相互轉(zhuǎn)化；能把立體幾何問(wèn)題與平面幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化；等體積轉(zhuǎn)化等.2016年下半年，教育部公布了修訂之后的數(shù)學(xué)大綱，試題的創(chuàng)新可能會(huì)從下面幾方面進(jìn)行，立意新，結(jié)構(gòu)新，所創(chuàng)設(shè)的情境新，設(shè)問(wèn)方式新，同時(shí)在試題中增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查.因此備考時(shí)，可以從命題意圖、解答要求、解法差異、失誤分析等方面入手權(quán)衡每一道題，從而幫助考生養(yǎng)成多角度、多途徑分析問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維能力.本文通過(guò)典型例題加以剖析，旨在通過(guò)研究創(chuàng)新試題命題的類型及其特征，尋求解決此類試題的方法與規(guī)律.

一、空間線面位置關(guān)系的判斷，提高空間感知

高考對(duì)空間線面位置關(guān)系的判斷與證明的考查主要有兩個(gè)方面：一是以多面體為載體，對(duì)空間線線平行、線面平行、面面平行進(jìn)行考查；二是以多面體或旋轉(zhuǎn)體為載體，對(duì)空間線線垂直、線面垂直、面面垂直進(jìn)行考查，但以空間直線與平面平行（垂直）、平面與平面垂直為重點(diǎn).預(yù)測(cè)在2017年的高考中，以解答題的形式考查線面位置關(guān)系的證明會(huì)是命題的重點(diǎn).

方法與規(guī)律：利用空間向量證明平行、垂直的關(guān)鍵是恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo).利用空間向量證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量共面，然后說(shuō)明直線在平面外即可；利用空間向量證明直線與直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直即可，而直線與平面垂直、平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直.

二、空間角與距離的求解，倡導(dǎo)通性通法

空間角與距離的求解是歷年高考必考的內(nèi)容，多以解答題的形式出現(xiàn)，涉及兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角及距離的計(jì)算，一般利用平移法求異面直線所成的角，利用定義法或向量法求解直線與平面所成的角、二面角以及點(diǎn)到直線的距離.從近幾年的考情來(lái)看，高考命題多以線線角、線面角、二面角的計(jì)算為主，其中多與空間中的平行與垂直、解三角形等問(wèn)題相結(jié)合.在進(jìn)行空間角與距離的計(jì)算時(shí)，應(yīng)多借助空間向量，準(zhǔn)確求解相應(yīng)的法向量是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

方法與規(guī)律：本題考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征、空間中線面平行的證明以及二面角的余弦值的求解等，意在考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.本題既可以使用傳統(tǒng)解法，也可以使用向量法，根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)法向量的夾角與所求二面角之間的關(guān)系求解二面角的余弦值.求解空間角多通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，這樣減少了邏輯推理的過(guò)程.

方法與規(guī)律：本題以考生熟悉的四棱柱為載體，考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力.本題的創(chuàng)新之處是沒(méi)有像過(guò)去一樣給出條件直接求解線面角，而是先給出線面角的大小求線段的長(zhǎng)度（兩點(diǎn)之間的距離），結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用空間向量解決會(huì)更簡(jiǎn)潔一些，但要注意線面角與向量夾角的關(guān)系和二面角與向量夾角的關(guān)系不能搞混，這一點(diǎn)容易出錯(cuò).

三、翻折與開(kāi)放型問(wèn)題的探索，凸顯命題理念

立體幾何中有關(guān)翻折和開(kāi)放型問(wèn)題在高考中所處的地位越來(lái)越重要，在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，難度較大.相比翻折問(wèn)題，開(kāi)放型問(wèn)題考查的機(jī)會(huì)更大一些，特別是以“平行、垂直、距離和角”為背景的存在型問(wèn)題是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)中創(chuàng)新型命題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，此類問(wèn)題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)值、圖形等）是否存在或某一結(jié)論是否成立.“是否存在”問(wèn)題的命題形式一般是：如果存在，找出一個(gè)來(lái)；如果不存在，需要說(shuō)明理由.這類問(wèn)題常用“肯定順推”的方法.求解此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于：涉及的點(diǎn)具有運(yùn)動(dòng)性和不確定性，所以用傳統(tǒng)的方法解決起來(lái)難度較大，若用空間向量方法來(lái)處理，通過(guò)待定系數(shù)法求解其存在性問(wèn)題，則思路簡(jiǎn)單、解法固定、操作方便.預(yù)計(jì)在2017年的高考中開(kāi)放型問(wèn)題會(huì)是命題的熱點(diǎn).

方法與規(guī)律：解決平面圖形翻折為空間問(wèn)題的關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化，根據(jù)翻折的過(guò)程理清翻折前后位置關(guān)系中發(fā)生變化的量有哪些，沒(méi)有發(fā)生變化的量有哪些，這些不變的量和變化的量反映了翻折前后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征，求解問(wèn)題時(shí)要綜合考慮翻折前后的圖形.第（2）問(wèn)確定點(diǎn)M的位置，指明了需要求出線段PM的長(zhǎng)度，通常需要利用向量共線、三角形法則進(jìn)行求解，一般不需要求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

四、知識(shí)關(guān)聯(lián)，縱橫交匯，注重綜合應(yīng)用

從近幾年考情來(lái)看，關(guān)于立體幾何的一些高考試題中，由簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題逐步與函數(shù)的最值問(wèn)題或與平面幾何（圓）的交匯問(wèn)題，強(qiáng)化了平面幾何知識(shí)與函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用，加大了題目的難度.此類問(wèn)題在高考中主要考查空間中的線面平行與垂直的關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力.空間幾何體與圓、函數(shù)等知識(shí)的交匯已成為新的命題創(chuàng)新點(diǎn).

方法與規(guī)律：本題是空間幾何體與函數(shù)的交匯問(wèn)題.第一問(wèn)利用錐體與柱體的體積公式求解；第二問(wèn)利用錐體與柱體的體積公式建立目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解.解答本題的一般思路是把所求空間幾何體的表面積或體積表示為關(guān)于線段長(zhǎng)x或某一角θ的函數(shù)，然后再根據(jù)函數(shù)解析式的特征求最值.解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用相應(yīng)的工具（如導(dǎo)數(shù)、換元、均值不等式等）求解最值.

五、滲透古代數(shù)學(xué)史的考查，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

隨著新課改的不斷深入，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)進(jìn)入《大綱》和數(shù)學(xué)教材.2016年下半年教育部對(duì)《大綱》進(jìn)行了修訂，提出在高考試題中加入對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查.近年來(lái)，在高考數(shù)學(xué)試題中也開(kāi)始滲透了數(shù)學(xué)文化，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)史考查，滲透數(shù)學(xué)精神，滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用.比如，在2015年高考全國(guó)卷、湖北卷都從《九章算術(shù)》中選取與當(dāng)今教學(xué)相映的題材背景，經(jīng)命題專家精細(xì)加工打磨，再滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法，編制出精妙絕倫的當(dāng)今數(shù)學(xué)高考題，體現(xiàn)出《九章算術(shù)》與現(xiàn)代高考的優(yōu)美結(jié)合，體現(xiàn)了中國(guó)古代文明與現(xiàn)代文明的相應(yīng).預(yù)計(jì)在2017年的高考題中滲透數(shù)學(xué)文化的試題會(huì)是命題的熱點(diǎn).