基于物態(tài)方程的體積彈性模量隨壓強變化關(guān)系的研究

邢玲玲，楊 歡，張穗萌，張 剛

(1.皖西學院 電氣與光電工程學院，安徽 六安 237012；

基于物態(tài)方程的體積彈性模量隨壓強變化關(guān)系的研究

邢玲玲1，楊 歡2，3，張穗萌2，張 剛1

(1.皖西學院 電氣與光電工程學院，安徽 六安 237012；

2.皖西學院 原子分子與光學應(yīng)用研究中心，安徽 六安 237012；3.皖西學院 實驗實訓教學管理部，安徽 六安 237012)

通過將物態(tài)方程(EOS)對體積或壓強求微分可得到體積彈性模量與體積的變化關(guān)系，分別選用Birch方程、Vinet方程、Tait方程以及Shanker方程計算了Nacl，H2，NaI，ε-Fe，MgO，Li2O的等溫體積彈性模量，并將理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進行對比，對這幾種物質(zhì)的體積彈性模量隨壓強變化關(guān)系進行了研究，進而對四種方程的適用性進行了探討，研究結(jié)果表明：Birch方程與Shanker方程的理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合的最好，適用范圍也最廣。

彈性模量；物態(tài)方程；高壓

深入細致地研究彈性模量隨壓強和溫度的變化規(guī)律,對于研究地球、其他星球內(nèi)部礦物質(zhì)以及固體材料在高溫高壓下的熱彈性性質(zhì)都具有重要的意義，因此，彈性模量的研究引起了許多學者的重視[1-3]。實驗研究結(jié)果表明固體受到壓強作用下的等溫體積彈性模量BT是體積和壓強的函數(shù)，而獲得體積彈性模量對壓強或者體積的依賴關(guān)系通常有兩種途徑：一是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)唯象地提出體積彈性模量關(guān)系式；二是由物態(tài)方程(EOS)對體積或壓強求微分進而得到體積彈性模量對體積的依賴關(guān)系。因此，如果知道物態(tài)方程，就能計算出等溫體積彈性模量。本文選用幾個比較著名的、應(yīng)用范圍比較廣泛的等溫物態(tài)方程：Birch方程、Vinet方程、Tait方程以及Shanker方程，對結(jié)構(gòu)簡單的Nacl、H2、NaI、ε-Fe、MgO、Li2O等的等溫體積彈性模量進行了理論計算，并將計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進行了比較，對上述四種方程的適用性進行了探討和分析。

1 理論計算

等溫體積彈性模量BT定義式為：

(1)

1.1Birch方程

Birch在前人研究工作的基礎(chǔ)上，發(fā)展并完善了有限應(yīng)變理論，提出了著名的Birch有限應(yīng)變理論及Birch物態(tài)方程[4]

(2)

(3)

1.2Vinet方程

Vinet等人利用晶體結(jié)合能與原子間距約化長度的普遍關(guān)系，得到一個對金屬晶體共價化合物離子晶體固態(tài)非極性氣體等都適用的EOS,常被稱為普適態(tài)方程[5](UEOS或VEOS)：

(4)

(5)

1.3Tait方程

Tait方程是經(jīng)驗物態(tài)方程[6]，形式如下：

V/V0=1-aln(1+bP)

(6)

(7)

(7)式對體積求導即可得到體積彈性模量：

(8)

1.4Shanker方程

Shanker等人[7]從離子勢出發(fā)，利用短程排斥力常數(shù)的定義，結(jié)合倒置斥勢與指數(shù)排斥勢函數(shù)的優(yōu)勢，提出了短程力常數(shù)與體積壓縮的唯象關(guān)系，得到了一個新的等溫物態(tài)方程：

(9)

1949年2月9日，翦伯贊在金毓黻長子金長佑的陪同下來探訪金毓黻，翦伯贊談到“中共方面極注重研究歷史”，委托金毓黻幫助聯(lián)絡(luò)在北平的史家同行進行座談。金毓黻是日日記中記載：“翦君著《中國通史》已成首次兩冊，系用唯物史觀立論。往在重慶，佑兒首為印行，銷路頗佳，因此余亦得識翦君。”[1](第9冊，P6767)[注]①1949年2月9日翦伯贊來訪，見“翦君來訪系今日事，誤記于昨日(2月8日)”(第9冊，第6768頁)。 翦伯贊《中國通史》是金長佑主持的五十年代出版社承擔印刷的，因而金毓黻、翦伯贊二人得以相識，由此得以近距離接觸馬克思主義史家。

(10)

2 結(jié)果與討論

表1 計算中所需要的參數(shù)[8-13]

表2 Nacl在(298 K)不同壓強下的體積彈性模量BT的理論預(yù)測值

表3 H2在(4.2 K)不同壓強下的體積彈性模量BT的理論預(yù)測值

表4 NaI在(300 K)不同壓強下的體積彈性模量BT的理論預(yù)測值

表6 MgO在(300 K)不同壓強下的體積彈性模量BT的理論預(yù)測值

表7 Li2O在(300 K)不同壓強下的體積彈性模量BT的理論預(yù)測值

2.1 對于Nacl晶體

如表2所示，對于Nacl而言，在壓強不超過10 GPa，V/V0不低于0.791時，Birch方程，Vinet方程，Tait方程以及Shanker方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)均符合得很好。在壓強高于10 GPa，V/V0小于0.791時，四種方程中的Vinet方程和Tait方程式的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)仍然符合得較好，相比較而言，Shanker方程尤其是Birch方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)偏差較大，并且壓強越高，V/V0越小，理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相差越明顯。由此可見，在壓強低于10 GPa時，Birch方程，Vinet方程，Tait方程以及Shanker方程包含的勢函數(shù)形式對Nacl晶體是適用的，并對實驗數(shù)據(jù)給出了合理的描述；在壓強高于10 GPa時，Shanker方程尤其是Birch方程包含的勢函數(shù)形式不能對NaCl晶體實驗數(shù)據(jù)給出合理的描述，而此時Vinet方程和Tait方程包含的勢函數(shù)形式對Nacl晶體仍然保持較好的適用性。

2.2 對于H2

由表3可見，對于H2，在本文所研究的溫度和壓強范圍內(nèi)，總體來說四種方程中的Shanker方程理論計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)符合得最好，而Birch方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)的符合程度次之。在壓強低于0.74 GPa時，即V/V0高于0.55時，Vinet方程和 Tait方程的計算數(shù)值也能夠?qū)嶒灁?shù)據(jù)給出合理的描述；但是在壓強高于0.74 GPa時，即V/V0低于0.55時，相對于Birch方程尤其是Shanker方程給出的理論計算結(jié)果而言，Vinet方程和Tait方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)偏差較大。這些現(xiàn)象表明，在本文的研究壓強范圍內(nèi)，Shanker方程和Birch方程包含的勢函數(shù)形式對H2完全適用，對實驗數(shù)據(jù)能夠給出合理的描述；在壓強不超過0.74 GPa時，Vinet方程和Tait方程包含的勢函數(shù)形式對H2也適用，但是在壓強高于0.74 GPa時，這兩種方程給出的理論結(jié)果對H2適用性較差。

2.3 對于NaI晶體

由表4可見，對于NaI而言，壓強10 GPa以下，V/V0大于0.731 7時，四種方程給出的計算數(shù)值均與實驗數(shù)據(jù)符合得很好，相對而言Birch方程給出的理論結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合得最好，Shanker方程次之。在壓強高于10 GPa時，這四個方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)均存在較大偏差，相比較而言Birch方程給出了與實驗數(shù)據(jù)更加符合的理論計算結(jié)果，Shanker方程次之，而Tait方程給出的理論計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)相差最大；另外這四種方程給出的理論計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)的差異在隨壓強的增加而增大。由此可見，在壓強不超過10 GPa時，這四種方程包含的勢函數(shù)形式對NaI晶體都適用；然而在壓強高于10 GPa時，隨著壓強的增加，這四種方程包含的勢函數(shù)形式對實驗數(shù)據(jù)描述的合理性在逐漸變差，它們對NaI晶體適用性也逐漸變差。

如表5所示，對于ε-Fe晶體，在壓強不超過56.2 GPa，V/V0大于0.817時，四個方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)均符合得很好，其中Birch方程給出的理論計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)符合得最好；當壓強高于56.2 GPa，V/V0小于0.817時，Birch方程的計算數(shù)值仍然能與實驗數(shù)據(jù)很好地符合，而其它的三個方程的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)均存在較大差異，尤其是Vinet方程和Tait方程的計算結(jié)果明顯小于實驗結(jié)果。因此，在本文研究壓縮的范圍內(nèi)，Birch方程包含的勢函數(shù)形式對ε-Fe是適用的，對實驗數(shù)據(jù)給出了比較合理的描述；而其它的三個方程包含的勢函數(shù)形式，在壓強不超過56.2 GPa時，對ε-Fe是適用的，在壓強超過這個范圍時，壓強越高，三個方程的適用性越差。

2.5 對于MgO晶體

由表6可見，對于MgO晶體，在本文探討的溫度和壓強范圍內(nèi)，四種方程中，Birch方程以及Shanker方程給出的理論計算結(jié)果與實驗符合得很好，并且當壓強低于41 GPa，V/V0大于0.85時，Birch方程給出的理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合得最好，而當壓強高于41 GPa，V/V0小于0.85時，Shanker方程給出了與實驗數(shù)據(jù)更加符合的理論計算數(shù)值。相對上述兩種方程而言，Vinet方程尤其是Tait方程給出的理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)偏差較大，并且這種偏差在壓強較高時更加明顯?？梢妼τ贛gO晶體，在四種方程中，當壓強較低時Birch方程包含的勢函數(shù)形式更加適用，而當壓強較高時，Shanker方程包含的勢函數(shù)形式則更加適用。

2.6 對于Li2O晶體

如表7所示，對于Li2O晶體，在本文研究的溫度和壓強范圍內(nèi)，四種方程給出的理論計算結(jié)果均能與實驗數(shù)據(jù)很好得符合；就理論計算數(shù)據(jù)與實驗結(jié)果的符合程度而言，在壓強高于15 GPa，V/V0小于0.883時，Birch方程的理論計算數(shù)值與實驗結(jié)果符合得最好，Shanker方程次之，Tait方程給出的計算數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)相差最大?？梢?，在本文研究的壓強范圍內(nèi)這四種方程中包含的勢函數(shù)形式對Li2O晶體都是適用的，其中Birch方程對實驗數(shù)據(jù)給出了最合理的理論描述，對Li2O晶體適用性也最好。

3 結(jié)論

本文分別選用Birch方程、Vinet方程、Tait方程以及Shanker方程探討了幾種結(jié)構(gòu)簡單的Nacl、H2、NaI、ε-Fe、MgO、Li2O等物質(zhì)的等溫體積彈性模量。通過理論計算并和實驗數(shù)據(jù)進行比較和分析發(fā)現(xiàn)，在壓強較低時，這四個物態(tài)方程給出的理論結(jié)果均能與實驗數(shù)據(jù)很好地符合，對于不同的物質(zhì)均具有一定的適用性。總體而言，在本文研究的溫度和壓強范圍內(nèi)，Birch方程給出的理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合得最好，適用范圍也最廣，Shanker方程次之，Tait方程給出的理論計算結(jié)果在高壓情況下與實驗數(shù)據(jù)相差最大。因此利用Birch方程以及Shanker方程可以研究不同類型的固體的壓縮性、非諧性質(zhì)參量及各階壓強等。

[1]劉光清，方正華.固體H2和D2的等溫體積彈性模量和物態(tài)方程的研究[J].安徽師范大學學報(自然科學版)，2012，35(1)：35-39.

[2]Singh B P. A simple Relationship between Isothermal Bulk Modulus and Thermal Pressure for Geophysical Minerals[J].Phys Chem Minerals，2015，32(7): 480-484.

[3]王和雪松，周曉林，逯來玉，等.高壓下超導體YBa2Cu3O7彈性性質(zhì)的第一性原理研究[J].原子與分子物理學報，2014，31(4)：624-629.

[4]Birch F. Elasticity and Constitution of the Earth’s Interior[J].J.Geophys.Res.,1952,57(2):227-286.

[5]Vinet P, Ferrante J, Rose J H, et al. Compressibility of Solids[J].J. Geophys. Res.,1987, 92 (B9):9319-9325.

[6]MacDonaldas R. Some Simple Isothermal Equations of State[J].Rev. Mod. Phys., 1966, 38(2):669-679.

[7]Shanker J, Kumar M. Thermodynamic Approximations in High-pressure and High-Temperature Physics of Solids[J].Physica Status Solidi(b), 1993,179(2):351-356.

[8]劉永剛，孟川民，姬廣富，等.碘化鈉彈性常數(shù)和聲速的量子力學從頭算[J].原子與分子物理學報，2007，24(1):74-78.

[9]Birch F. Quation of State and Thermodynamic Parameters of NaCl to 300 kbar in the High-temperature Domain[J].J. Geophys. Res.,1986,91(B5):4949-4954.

[10]Anderson M S, Swenson C A. Experimental Compressions for Normal Hydrogen and Normal Deuterium to 25 kbar at 4.2 K[J].Phys. Rev. B, 1974,10(12):5184-5191.

[11]Anderson O L, Dubrovinsky L, Saxena S K, et al. Experimental Vibrational Grüneisen ratio Values for ε-iron up to 330 GPa at 300 K[J].Geophys. Res. Lett., 2001,28(2):399-402.

[12]Anderson O L. Equations of State of Solids for Geophysicsand Ceramic Science[M].Oxford University Press, NewYork, 1995.

[13]Li X F, Chen X R, Meng C M, et al. Abinitio Calculations of Elastic Constants and Thermodynamic Properties of Li2O for High Temperatures and Pressures[J].Solid State Communications., 2006, 139(5):197-200.

Study on the Relationship between Bulk Modulusand Pressure based on Equation of State

XING Lingling1, YANG Huan2 ,3, ZHANG Suimeng3, ZHANG Gang1

(1.SchoolofElectricalandOptoelectronicEngineering,WestAnhuiUniversity,Lu’an237012,China;2.ResearchCenterofAtmosandMoleculesandOpticalApplications,WestAnhuiUniversity,Lu’an237012,China;3.DepartmentofExperimentandPracticalTrainingManagement,WestAnhuiUniversity,Lu’an237012,China)

According to the equation of state (EOS) on the volume or pressure differential can be dependent on the bulk modulus and volume, the isothermal bulk modulus of Nacl，H2，NaI，ε-Fe，MgO and Li2O were calculated with Birch equation, Vinet equation, Tait equation and Shanker equation. The calculated results are compared with the experimental date. The relationship between the bulk elastic modulus and the pressure of these materials is studied. The applications of the four equations are discussed. It is found that calculated results with Birch equation and Shanker equation in agreement with the available experimental data.Key words: Modulus; equation of state; high pressure

2017-03-21

安徽省高等學校省級自然科學研究重點項目(KJ2016A749)；皖西學院校級科研項目(WXSK201629)；安徽省教育廳自然科學研究重點項目(KJ2012A275)；安徽省高等學校省級自然科學研究重點項目(KJ2017A406)。

邢玲玲(1981-)，女，安徽太湖人，碩士，助教，研究方向：原子與分子間相互作用勢及物性。

O521.2

A

1009-9735(2017)02-0063-04