具反饋控制和時滯的離散競爭系統(tǒng)的持久性

余勝斌

(陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，福建 福州 350015)

具反饋控制和時滯的離散競爭系統(tǒng)的持久性

余勝斌

(陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，福建 福州 350015)

研究具有反饋控制和時滯影響的非自治離散競爭系統(tǒng)的持久性問題，通過運用差分不等式，得到了保證該系統(tǒng)永久持續(xù)生存的充分性條件。所得結(jié)果改進了現(xiàn)有的工作。數(shù)值模擬表明，本文結(jié)果具有可靠性。

持久性；離散；競爭；反饋控制；時滯

0 引言

對任一非負有界序列{f(n)}，本文恒設(shè)：

眾所周知，在一個生態(tài)系統(tǒng)中，兩種群之間的關(guān)系有四種：捕食者與被捕食者，寄生物與寄生，兩種群相互競爭，兩種群互惠共存。近年來，諸多學(xué)者開始研究競爭系統(tǒng)的動力學(xué)行為[1-7]，得到了豐富的結(jié)果。唐帆和劉志軍[1]提出并討論了如下具反饋控制和時滯的離散競爭系統(tǒng)：

(1)

(2)

通過應(yīng)用概周期函數(shù)殼理論和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法，文[1]得到了系統(tǒng)(1)正概周期解的存在性和全局吸引性的充分條件，給出了如下系統(tǒng)(1)的持久性的結(jié)論：

從條件(H0)可以看出，該系統(tǒng)的持久性與反饋控制變量有關(guān)。但是最近諸多具反饋控制的離散型生態(tài)系統(tǒng)的持久性研究結(jié)果均表明，反饋控制變量不會影響系統(tǒng)的持久性[8-10]。于是，我們就有了如下有趣的問題：反饋控制變量是否也不會影響系統(tǒng)(1)的持久性呢？事實上。通過采用文獻[8-10]的分析手法，我們將得到如下結(jié)果：

注1：通過對比定理1和定理2可知,條件(H)比條件(H0)弱化了很多，故我們的結(jié)論實質(zhì)性地改進了唐帆和劉志軍[1]的結(jié)果。此外，定理2的條件(H)與反饋控制變量無關(guān)，說明系統(tǒng)(1)的持久性與反饋控制變量無關(guān)。

1 主要引理及證明

引理2[11]假設(shè)A>0,y(0)>0且y(n+1)≤Ay(n)+B(n),n=1,2,…,則有

引理3[11]假設(shè)A>0,y(0)>0且y(n+1)≥Ay(n)+B(n),n=1,2,…,則有

引理4[1]設(shè)(x1(n),x2(n),u1(n),u2(n))T為系統(tǒng)(1)的任一正解，則有:

證明 由引理4可知，對?ε>0，存在N1>0，當(dāng)n≥N1時，有

由條件(H1)，對上述的ε>0，我們可以找到足夠小的β1>0，使得

(3)

由上式及系統(tǒng)(1)的第一個方程可知，當(dāng)n≥N1+r時，

x1(n+1)

(4)

即

(5)

由系統(tǒng)(1)的第三個方程容易得到

(6)

(7)

(8)

(9)

固定N2，則當(dāng)n≥N1+N2時，有

(10)

由(3)式、(9)式、(10)式和系統(tǒng)(1)的第一個方程得，

(11)

與引理5的證明類似，我們可以得到如下結(jié)論：

由引理5和引理6可知，定理2成立。

2 應(yīng)用舉例

本節(jié)通過舉例驗證結(jié)果的可行性。

圖1 具初始條件(0.2,0.4,0.1,0.2)T,(0.4,0.3,0.11,0.3)T,(0.1,0.6,0.4,0.7)T和(1.1,0.3,0.5,1.2)T的系統(tǒng)(12)的數(shù)值模擬結(jié)果

例1 考慮系統(tǒng)

(12)

對應(yīng)于系統(tǒng)(1)，由引理4可知，

即定理1的條件(H0)不滿足，所以根據(jù)定理1是沒辦法得到持久性的結(jié)論的，故本文結(jié)果極大地改進了文[1]的結(jié)果。

3 結(jié)論

本文研究了具有反饋控制和時滯影響的非自治離散競爭系統(tǒng)的持久性問題，通過運用差分不等式，得到了保證該系統(tǒng)永久持續(xù)生存的充分性條件。所得結(jié)果不但弱化了文獻[1]關(guān)于持久性的條件，還表明該系統(tǒng)的持久性確實與反饋控制變量無關(guān)，從而極大了改進了文獻[1]的工作。數(shù)值模擬表明了本文結(jié)果的可靠性。

[1]唐帆，劉志軍.一類具有反饋控制的概周期時滯差分競爭系統(tǒng)(英文)[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2016，31(1)：28-46.

[2]Yue Q. Extinction for a Discrete Competition System with the Effect of Toxic Substances [J].Advances in Difference Equations，2016 (1):1-1.

[3]余勝斌.一類離散非自治競爭系統(tǒng)的絕滅性和穩(wěn)定性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，41(4)：279-284.

[4]余勝斌.具毒素影響的連續(xù)型競爭系統(tǒng)的絕滅性和穩(wěn)定性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2016，42(3)：196-202.

[5]Chen F D，Xie X D，Miao Z S ,et al. Extinction in two Species Nonautonomous nonlinear Competitive System[J].Applied Mathematics and Computation，2016，274(1):119-124.

[6]Chen F D, Gong X J, Chen W L. Extinction in two Dimensional Discrete Lotka-Volterra Competitive System with the Effect of Toxic Substances(II)[J]. Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst., Ser. B, Appl. Algorithms, 2013(20): 449-461.

[7]Yu S B. Extinction for a Discrete Competition System with Feedback Controls [J].Advances in Difference Equations, 2017(1):9-9.

[8]Yu S B. Permanence for a Discrete Competitive System with Feedback Controls [J]. Communications in Mathematical Biology and Neuroscience, 2015: Article ID 16.

[9]余勝斌，張杰華.具時滯和反饋控制的修正Leslie-Gower離散系統(tǒng)的持久性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2014，16(3)：244-249.

[10]ChenFD.PermanencefortheDiscreteMutualismModelwithTimeDelays[J].MathematicalandComputerModelling, 2008, 47(3-4): 431-435.

[11]WangLL,FanYH.PermanenceforaDiscreteNicholson’sBlowiesModelwithFeedbackControlandDelay[J].InternationalJournalofBiomathematics, 2008, 1(4): 433-442.

Permanence of a Discrete Competitive System with Delayand Feedback Controls

YU Shengbin

(DepartmentofBasicTeachingandResearch,YangoUniversity,Fuzhou350015,China)

A noautonomous discrete competitive system with time delay and feedback controls is studied in this paper. By using difference inequality theory, a set of conditions which guarantee the permanence of system is obtained. The results indicate that feedback control variables have no influence on the persistent property of the system. Our results not only supplement but also improve the existing work. The numerical simulations show that the results are reliable.

permanence; discrete; competitive; feedback controls; delay

2017-03-26

2016年福建省高校杰出青年科研人才培育計劃；福建省自然科學(xué)基金資助項目(2015J01012、2015J01019)。

余勝斌(1984-)，男，福建仙游人，碩士，講師，研究方向：生物數(shù)學(xué)。

Q-332

A

1009-9735(2017)02-0038-04