二階復(fù)矩陣A，B酉等價的兩個充要條件

岳 芹，趙建中

(1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012；2.皖西學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 六安 237012)

二階復(fù)矩陣A，B酉等價的兩個充要條件

岳 芹1，趙建中2

(1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012；2.皖西學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 六安 237012)

研究二階復(fù)矩陣酉等價問題，得出了二階復(fù)矩陣酉等價的兩個充要條件。

酉等價；矩陣跡；矩陣譜；三角矩陣

酉空間是歐氏空間的推廣[1]，酉空間中的每個酉變換對應(yīng)著酉矩陣。酉變換在通信、雷達(dá)、聲納、地震學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的研究和應(yīng)用[2](P88-91)。研究兩個復(fù)矩陣能否酉等價有著重要意義，本文研究兩個復(fù)矩陣酉等價的充要條件，先給出相關(guān)定義與記號。

1 定義與記號

2 幾個引理

引理1[5](P78-92)任何復(fù)矩陣A可相似于上三角矩陣，即存在酉矩陣U，使得U*AU為上三角矩陣。

引理2 若A，B為二階復(fù)矩陣，則trA=trB，trA2=trB2與specA=specB等價。

證明 若specA=specB，記specA=specB={λ1，λ2} ，則

顯然有trA=trB，trA2=trB2.

反之，若trA=trB，trA2=trB2,記A={λ1,λ2},B={μ1,μ2}，則

可解出，λ1=μ1，λ2=μ2或λ1=μ2，λ2=μ1因此 specA=specB.

引理3 若A，B為二階復(fù)矩陣，則trA*A=trB*B，detA=detB與specA*A=specB*B等價。

證明同引理2。

證明 顯然當(dāng)λ=v時后一情形變?yōu)榍耙磺樾? 在前一情形有

可知A和B也酉等價。若μ≠0,λ≠v，我們要求二階酉方陣

又

所以可取

此即

(1)

(2)

(3)

于是由(2),(3)有

這證明了β及δ必須適合條件

所以可取β,δ適合

3 主要結(jié)果與證明

定理1 兩個2×2復(fù)矩陣A，B稱為酉等價的充要條件為

證明 若A和B酉等價，即B=U*AU. 已知U為酉方陣，所以UU*=U*U=I，于是B=U-1AU. 因此

trB=trU-1AU=trA

反之，若trA=trB，trA2=trB2，trA*A=trB*B. 我們知道任一復(fù)方陣可酉相似于上三角方陣，所以酉等價意義下我們無妨假設(shè)

因此條件為

視λ,μ,v已知，來解出x,y,z如下：

由x+z=λ+v有x2+2xz+z2=λ2+2λv+v2，所以有xz=λv. 因此x,z為二次多項(xiàng)式

之根. 所以有兩組解：

定理2 兩個2×2復(fù)矩陣A，B為酉等價的充要條件為

specA=specB，specA*A=specB*B.

證明 若A,B為酉等價，由定理1證明過程知 trA=trB,trA*A=trB*BdetA=detB，再由引理2與引理3知 specA=specBspecA*A=specB*B.

反之，若specA=specB，specA*A=specB*B,則 顯然有

由定理1知A，B為酉等價。

[1]Bermana, Plemmonsr J. Nonnegative Matrix in the Mathematics Science [D].New York: Academic Press, 1973.

[2]陳公寧.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[3]戴華.矩陣論[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[4]Chen G N. Note on Lower Bounds for the Rank of a Matrix [J].Linear Algebra Appl,1983(55): 125-132.

[5]李喬.矩陣論八講[M].上海：上海科技出版社，1990.

Two Necessary and Sufficient Conditions for Unitary Equivalenceof the Second Order Complex Matrices

YUE Qin1, ZHAO Jianzhong2

(1.CollegeofFinanceandMathematics,WestAnhuiUniversity，Lu’an237012，China;2.CollegeofEconomicsandManagement,WestAnhuiUniversity，Lu’an237012，China)

Unitary equivalence problems of the second order complex matrices are studied, two necessary and sufficient conditions are obtained for unitary equivalence of the second order complex matrices.

unitary equivalence; matrix trace; matrix spectrum; triangular matrix

2017-03-12

2016年安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016240)。

岳芹(1978-)，女，安徽宿州人，碩士，副教授，研究方向：模糊數(shù)學(xué)、矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用。

O159

A

1009-9735(2017)02-0029-03