基于快速非奇異終端滑模的直線開關(guān)磁阻電機(jī)位置控制

周龍飛,趙世偉

(華南理工大學(xué),廣州510640)

0 引 言

直線驅(qū)動(dòng)式電機(jī)在減少中間傳動(dòng)裝置的同時(shí)提高了運(yùn)行效率和控制精度,因此在精密直線運(yùn)動(dòng)的場合具有重要的地位。直線開關(guān)磁阻電機(jī)屬于一種直線式機(jī)電能量轉(zhuǎn)換裝置,它將傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)式開關(guān)磁阻電機(jī)和直線驅(qū)動(dòng)式電機(jī)結(jié)合在一起,具備了兩者的雙重特點(diǎn)[1],使得該電機(jī)具有廣闊的應(yīng)用前景[2-3],尤其是在高精度伺服控制領(lǐng)域,得到了越來越多的關(guān)注。但同時(shí)它也存在電磁關(guān)系高度非線性、電磁力脈動(dòng)較大、精確模型難以建立等缺點(diǎn),因而使得該電機(jī)的控制方式較為復(fù)雜。

近年來,針對(duì)直線開關(guān)磁阻電機(jī)高性能伺服控制成為了中外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。傳統(tǒng)PID在工業(yè)控制領(lǐng)域的應(yīng)用較為常見[4],然而,直線開關(guān)磁阻電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性復(fù)雜,電機(jī)參數(shù)在運(yùn)行過程中也可能發(fā)生變化,傳統(tǒng)PID在復(fù)雜工況下的控制效果難以保證。文獻(xiàn)[5]采用了多相激勵(lì)以及平滑電磁力控制,有效地減小了電磁力脈動(dòng);文獻(xiàn)[6]研究了PI控制和滯環(huán)電流控制,實(shí)現(xiàn)了電機(jī)的四象限運(yùn)行;文獻(xiàn)[7]基于自校正技術(shù)對(duì)直線開關(guān)磁阻電機(jī)進(jìn)行了位置控制,克服了該電機(jī)模型不確定的缺點(diǎn),且具有較高抗干擾能力;文獻(xiàn)[8]研究了無源性控制算法在直線開關(guān)磁阻電機(jī)中的應(yīng)用,增強(qiáng)了該電機(jī)控制性能和全局穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[9]研究了協(xié)調(diào)跟蹤控制和群控制在直線開關(guān)磁阻電機(jī)位置跟蹤中的應(yīng)用,減小了跟蹤誤差;文獻(xiàn)[10]研究了滑模變結(jié)構(gòu)控制在永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)了給定指令信號(hào)較好的跟蹤性能。

滑模變結(jié)構(gòu)控制[11]發(fā)展初期主要研究線性滑模,滑動(dòng)面表示為系統(tǒng)狀態(tài)的線性函數(shù)。線性滑模面決定了系統(tǒng)狀態(tài)以指數(shù)形式漸近收斂于給定軌跡,即表示系統(tǒng)狀態(tài)不斷趨近,但卻永遠(yuǎn)無法到達(dá)給定軌跡。終端滑模[12]是一種有限時(shí)間收斂的滑?？刂撇呗?通過將非線性項(xiàng)引入滑模面中,滑模面將跟隨系統(tǒng)狀態(tài)或者時(shí)間的改變而改變,從而改善系統(tǒng)的收斂特性,使得系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至給定軌跡。

本文運(yùn)用終端滑?？刂浦械目焖俜瞧娈惤K端滑?？刂扑惴?以下簡稱FNTSM)[13]對(duì)直線開關(guān)磁阻電機(jī)位置控制器進(jìn)行設(shè)計(jì),并論證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性。通過Simulink仿真,將其與傳統(tǒng)的PID控制和基于指數(shù)趨近律的滑?？刂?以下簡稱SMC)進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 直線開關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型

1.1 直線開關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)

本文采用的直線開關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)模型如圖1所示,為雙凸極鐵心結(jié)構(gòu),主要由定子導(dǎo)軌和動(dòng)子兩部分組成。圖中:x0=40 mm,x1=40 mm,x2=10 mm,x3=18 mm,y1=5 mm,y2=12 mm,z=0.55 mm,d=12 mm。

圖1 直線開關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)圖

1.2 直線開關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型

直線開關(guān)磁阻電機(jī)的各繞組的磁路相互獨(dú)立,可以忽略各相繞組之間互感,因此可以分別列寫各相繞組的電壓平衡方程如下:

式中:ek,Rk,ik,Uk,ψk分別為相繞組感應(yīng)電動(dòng)勢、電阻、電流、外加電壓和磁鏈,其中k=a,b,c。由于繞組磁鏈?zhǔn)窍嚯娏鱥k和位移x的函數(shù),故可得如下形式的電壓平衡方程:

該電機(jī)的電磁力fe可根據(jù)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換原理推導(dǎo)得到:

該電機(jī)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程:

式中:M,b,fl,a,v分別為動(dòng)子質(zhì)量、摩擦系數(shù)、負(fù)載、動(dòng)子運(yùn)動(dòng)加速度、動(dòng)子運(yùn)動(dòng)速度。

當(dāng)該電機(jī)的磁路工作在線型狀態(tài)時(shí),各相繞組磁鏈僅為位移的函數(shù),所以其電磁力可以表示:

為了提高電機(jī)的工作性能,常常使該類電機(jī)工作在磁路飽和區(qū)間。本文對(duì)該直線電機(jī)進(jìn)行了有限元建模及仿真分析,得到該電機(jī)的磁化特性曲線和電磁力特性曲線分別如圖2和圖3所示。

圖2 電機(jī)非線性磁化曲線

圖3 電機(jī)電磁力特性

由圖2、圖3可知,該電機(jī)的磁化特性和電磁力特性均呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性特點(diǎn),難以精確建立此種電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。為了保證仿真精度和簡化建模工作,本文采用查表法[14]對(duì)該電機(jī)的磁化特性及電磁力特性進(jìn)行仿真建模。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。系統(tǒng)采用雙環(huán)級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu),內(nèi)環(huán)為電流環(huán),外環(huán)為位置環(huán)。一般來講,由于電機(jī)的電磁時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于其機(jī)械時(shí)間常數(shù),故可以認(rèn)為機(jī)電系統(tǒng)是由電磁快變子系統(tǒng)和機(jī)械慢變子系統(tǒng)組成。從兩時(shí)間尺度的角度理解,可以分別針對(duì)內(nèi)環(huán)和外環(huán)獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器,從而簡化該系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)過程。為了提高電流響應(yīng)速度及簡化計(jì)算,本文的電流控制器采用比例控制算法,位置控制器分別采用PID算法、基于指數(shù)趨近律的滑模控制算法以及快速非奇異終端滑?？刂扑惴ā?/p>

圖4 直線開關(guān)磁阻電機(jī)位置控制框圖

由圖4可以看出,控制過程為將位置指令與實(shí)際位置x的差值輸入位置控制器得到電磁力指令,進(jìn)而根據(jù)力分配函數(shù)表得到三相力指令三相力指令通過有限元數(shù)據(jù)查表得到三相電流指令最后通過三相電流控制器得到三相控制指令,即各相繞組輸出電壓。

2.2 力分配函數(shù)

為了使電機(jī)獲得期望電磁力,電機(jī)的繞組勵(lì)磁應(yīng)與電機(jī)的運(yùn)行位置進(jìn)行同步切換。直線開關(guān)磁阻電機(jī)有單相和多相導(dǎo)通運(yùn)行方式,本文采用多相繞組交錯(cuò)導(dǎo)通勵(lì)磁方式[14],以減少電機(jī)電磁力脈動(dòng)。具體實(shí)現(xiàn)方式是以一個(gè)齒和槽的距離(y2=12 mm)作為勵(lì)磁周期,將其劃分為6個(gè)區(qū)間,根據(jù)不同區(qū)間的相對(duì)位移和電磁力指令來分配各相繞組所應(yīng)貢獻(xiàn)的電磁力大小,以此來減小電機(jī)運(yùn)動(dòng)過程中所產(chǎn)生的電磁力波動(dòng)。力分配函數(shù)如表1所示[7,14]。其中為控制器輸出的期望力指令。

表1 力分配函數(shù)表

2.3 快速非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

一般滑?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程包含趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)兩個(gè)階段。在趨近階段,滑?？刂仆苿?dòng)系統(tǒng)狀態(tài)向滑動(dòng)面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由趨近階段轉(zhuǎn)為滑動(dòng)模態(tài),系統(tǒng)狀態(tài)降階表示為滑模面的方程。

由式(4)可得如下系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式:

式中:

根據(jù)式(6)可得:

式中:kc為庫倫摩擦力系數(shù);sgn()為符號(hào)函數(shù)。

根據(jù)快速非奇異終端滑模的定義,在傳統(tǒng)的線性切換函數(shù)中引入非線形項(xiàng)。設(shè)位置指令為xref,定義位置誤差為誤差變化率為則切換函數(shù)的表達(dá)式:

式中且均為正奇數(shù))由的定義可知,此函數(shù)為光滑連續(xù)且單調(diào)遞增的,并且返回值為實(shí)數(shù)。

常用的滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)方法為滑模等效控制方法[15],控制律通常包含等效控制項(xiàng)和切換控制項(xiàng)兩部分。故將控制律設(shè)計(jì)為如下形式:

式中:ueq為等效控制項(xiàng),un為非線性控制項(xiàng)。下面詳細(xì)給出控制律設(shè)計(jì)過程。

為保證滑動(dòng)模態(tài)的存在,暫且不考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng),對(duì)s求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)得:

1)當(dāng)時(shí):

將式(7)代入,并假設(shè)fl=0,得到:

從而得到等效控制律:

式中:1<γ<2,故從理論上保證了控制器不存在奇異控制區(qū)域。

2)當(dāng)時(shí),根據(jù)且p,q均為正奇數(shù),可得到與式(12)相同的等效控制律。同時(shí),將非線性控制項(xiàng)設(shè)計(jì):

式中:k1,k2為常數(shù),0<ρ<1。

綜上可得快速非奇異終端滑?？刂破鞯目刂坡?

根據(jù)上述控制器設(shè)計(jì)過程,影響控制器輸出的參數(shù)主要是λ,γ,ρ。通過對(duì)切換函數(shù)和控制律的分析可知:較小的λ會(huì)使得系統(tǒng)具有更大的帶寬,也就意味著更快的響應(yīng)速度和更高的跟蹤精度;增大γ值可以有效地縮短收斂時(shí)間,但同時(shí)也會(huì)放大系統(tǒng)的測量誤差;在滿足0<ρ<1的條件下選擇較大的ρ值可以得到更加光滑的控制信號(hào),因而有效地削弱控制器信號(hào)的抖振,但會(huì)降低系統(tǒng)的魯棒性?？傊?選擇合適的控制器參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)的性能至關(guān)重要。

2.4 控制器特性分析

2.4.1穩(wěn)定性分析

對(duì)于上述快速非奇異終端滑?？刂破?構(gòu)建Lyapunov能量函數(shù)其中V≥0,當(dāng)且僅當(dāng)s=0時(shí)V=0。對(duì)V求一階導(dǎo)數(shù),并將式(14)代入整理可得:

式中

根據(jù)上式中參數(shù)的取值可知:ψ1>0,ψ2>0,故0,當(dāng)且僅當(dāng)s=0時(shí),=0。因此表明該控制系統(tǒng)將由初始狀態(tài)收斂于滑模面,系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

2.4.2收斂性分析

根據(jù)上述穩(wěn)定性分析可知,該系統(tǒng)在給定的控制律作用下收斂于滑模面。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑動(dòng)面時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由趨近階段轉(zhuǎn)為滑動(dòng)模態(tài),即從到達(dá)滑模面的初始狀態(tài)收斂于誤差坐標(biāo)的原點(diǎn)。

當(dāng)e≠0,≠0的情況下,則存在實(shí)數(shù)ε1>0,ε2>0,滿足ψ1≥ε1,ψ2≥ε2,由式(15)可得:

將函數(shù)代入式(16)可得:

根據(jù)文獻(xiàn)[15]求解上述不等式,可得系統(tǒng)狀態(tài)收斂于誤差坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間tr:

式中:V0=V[s(0)],即系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

上式表明在給定系統(tǒng)初始狀態(tài)的情況下,控制系統(tǒng)的跟蹤誤差將在有限時(shí)間內(nèi)收斂于誤差坐標(biāo)原點(diǎn),即

通過對(duì)FNTSM位置控制器的設(shè)計(jì)以及對(duì)控制器特性的分析,可見該控制器有效地避免了奇異點(diǎn)的出現(xiàn),而且在控制律中引入指數(shù)項(xiàng),使得系統(tǒng)有較快的收斂率,提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。同時(shí),還利用連續(xù)函數(shù)代替在滑模變結(jié)構(gòu)控制律中使用的開關(guān)函數(shù),使控制律的連續(xù)性得到了實(shí)現(xiàn),這樣可以有效地削弱控制信號(hào)的抖振,能夠讓系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)一步提高。

3 控制系統(tǒng)仿真結(jié)果與分析

本文采用上述直線開關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型以及快速非奇異終端滑模算法在Simulink環(huán)境下仿真,并分別與傳統(tǒng)PID控制和基于指數(shù)趨近律的SMC控制的仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

仿真中所用電機(jī)模型主要參數(shù):對(duì)齊位置電感Lal=21.9 mH,非對(duì)齊位置電感Lua=17.9 mH,摩擦系數(shù)B=0.08,動(dòng)子質(zhì)量M=2 kg,給定跟蹤位置指令為±0.1 m的方波。

仿真結(jié)果表明,直線開關(guān)磁阻電機(jī)仿真模型在傳統(tǒng)的PID控制器和FNTSM控制器下均能夠準(zhǔn)確地跟蹤方波位置信號(hào)。圖5表示PID控制器和FNTSM控制器具有相同的響應(yīng)速度,從圖中可知兩種控制方式下的上升時(shí)間約為0.3 s,但相對(duì)于FNTSM控制算法,采用PID控制使得該位置控制系統(tǒng)具有明顯的超調(diào)。雖然保證了較快的響應(yīng)速度,但在高精度的位置控制中超調(diào)是不允許的。圖6為適當(dāng)減小PID控制器中的比例參數(shù),并略微增大微分系數(shù)后得到的仿真結(jié)果。此時(shí)兩種控制器均實(shí)現(xiàn)無超調(diào)跟蹤,但此時(shí)PID控制器的上升時(shí)間明顯較長,達(dá)到0.5 s。圖7是控制系統(tǒng)運(yùn)用兩種控制算法時(shí)的位置跟蹤誤差,所得到的穩(wěn)態(tài)誤差分別為30 μm(FNTSM)和180 μm(PID)。

圖5 FNTSM和PID位置跟蹤曲線仿真圖

圖6 FNTSM和PID位置跟蹤曲線仿真圖

圖7 位置跟蹤誤差仿真圖

通過上述分析說明直線開關(guān)磁阻電機(jī)快速非奇異終端滑模位置控制在保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的前提下,相較于傳統(tǒng)PID控制具有更好的動(dòng)態(tài)性能和更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖8為FNTSM和SMC控制器仿真結(jié)果。表明基于指數(shù)趨近律的傳統(tǒng)滑模控制(SMC)和本文應(yīng)用的FNTSM控制算法的動(dòng)態(tài)過程無明顯差別,但FNTSM的上升時(shí)間更短,響應(yīng)速度更快。而且電機(jī)模型在兩種控制器下的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差也沒有明顯差別,滿足高精度伺服控制的要求?；贔NTSM算法的控制器輸出和基于指數(shù)趨近律的SMC算法的控制器輸出分別如圖9和圖10所示。通過對(duì)比可知,在系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡點(diǎn)附近時(shí)SMC控制器有明顯地高頻抖振。而FNTSM控制器通過選擇非線性滑模面和在控制律中有目的更換傳統(tǒng)的切換函數(shù),可以明顯地削弱系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的高頻抖振,保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于誤差坐標(biāo)原點(diǎn),實(shí)現(xiàn)對(duì)給定軌跡的準(zhǔn)確跟蹤,提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性。

圖8 FNTSM和SMC位置跟蹤曲線仿真圖

圖9 FNTSM控制器指令輸出仿真圖

圖10 SMC控制器指令輸出仿真圖

4 結(jié) 語

本文采用快速非奇異終端滑?？刂扑惴▽?duì)直線開關(guān)磁阻電機(jī)進(jìn)行了位置控制器的相關(guān)設(shè)計(jì),并在Simulink中搭建仿真模型進(jìn)行算法驗(yàn)證。通過將仿真結(jié)果分別與傳統(tǒng)PID控制器和基于指數(shù)趨近律的SMC控制器的仿真結(jié)果對(duì)比分析后可知,在FNTSM控制下電機(jī)位置誤差能夠更快地收斂至平衡點(diǎn),而且具有無超調(diào),平衡點(diǎn)附近波動(dòng)小,控制量抖振小,穩(wěn)態(tài)精度高等特點(diǎn)。因此,該算法在工程中具有廣泛的應(yīng)用前景。

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