固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振動(dòng)周期簡(jiǎn)化計(jì)算研究*

張文學(xué)，寇文琦，陳盈，汪振

(北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

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固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振動(dòng)周期簡(jiǎn)化計(jì)算研究*

張文學(xué)，寇文琦，陳盈?，汪振

(北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

斜拉橋縱向一階自振周期簡(jiǎn)化計(jì)算對(duì)方案比選和抗震驗(yàn)算均具有非常重要的意義.首先，根據(jù)斜拉橋縱向水平地震慣性力傳遞路徑，建立了固定鉸接體系斜拉橋的雙質(zhì)點(diǎn)模型，采用柔度法推導(dǎo)了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.其次，基于固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型呈現(xiàn)縱向振動(dòng)與豎向振動(dòng)相互耦合的特點(diǎn)，利用能量守恒原理推導(dǎo)了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.與10座已建斜拉橋的有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文提出的2個(gè)簡(jiǎn)化公式的計(jì)算精度良好，均可用于固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算.相比之下，柔度法的計(jì)算精度更高，可靠性更好.

固定鉸接體系；斜拉橋；縱向振動(dòng)一階周期；雙質(zhì)點(diǎn)模型；柔度法；能量原理

大跨度斜拉橋具有較長(zhǎng)的自振周期，其抗震性能備受關(guān)注[1].斜拉橋的自振頻率和模態(tài)是分析結(jié)構(gòu)抗震、抗風(fēng)、車橋耦合振動(dòng)的基礎(chǔ)[2-3].斜拉橋自振頻率的簡(jiǎn)化計(jì)算，既可用于在方案設(shè)計(jì)階段通過反應(yīng)譜對(duì)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行估算，又可用于對(duì)有限元分析結(jié)果進(jìn)行快速校核[4-5].因此，建立一套有一定精度的斜拉橋基頻計(jì)算公式是非常必要的.

斜拉橋的縱向一階振型對(duì)其地震響應(yīng)的貢獻(xiàn)率占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，因而對(duì)縱向一階周期的簡(jiǎn)化計(jì)算具有重要的意義[6]，已有一些學(xué)者提出了斜拉橋基頻簡(jiǎn)化計(jì)算方法，張楊永等[7]將大量有限元數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)規(guī)范規(guī)定的主梁豎彎頻率估算公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，給出了普遍適用且精度更高的主梁豎彎頻率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式；項(xiàng)海帆等[3]基于漂浮體系斜拉橋“縱飄”振型具有主梁剛體位移與塔頂縱向位移相等的特點(diǎn)，建立了漂浮體系斜拉橋單質(zhì)點(diǎn)模型，采用剛度法推導(dǎo)了“縱飄”基頻的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，但該公式精度較差；袁萬(wàn)城等[8]在漂浮體系斜拉橋單質(zhì)點(diǎn)模型的基礎(chǔ)上提出了雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化模型，該模型較好地彌補(bǔ)了單質(zhì)點(diǎn)模型的不足，得到了精度更高的“縱飄”基頻簡(jiǎn)化計(jì)算公式；Camara等[9]采用線性回歸的方法得到考慮與不考慮橋塔縱向剛度的斜拉橋基頻簡(jiǎn)化計(jì)算公式，研究發(fā)現(xiàn)橋塔的剛度對(duì)斜拉橋基頻有著重要的影響.斜拉橋結(jié)構(gòu)體系包括漂浮體系、半漂浮體系、塔梁固結(jié)體系和剛構(gòu)體系[10]，目前關(guān)于漂浮體系斜拉橋基頻的簡(jiǎn)化計(jì)算已有大量研究，但對(duì)縱向固定鉸接體系(以下簡(jiǎn)稱為固定鉸接體系)斜拉橋基頻簡(jiǎn)化計(jì)算的研究還很少.

為此，本文在分析地震慣性力傳遞路徑的基礎(chǔ)上[11]，建立了固定鉸接體系斜拉橋的雙質(zhì)點(diǎn)模型，基于柔度法推導(dǎo)了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.其次考慮到固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型呈現(xiàn)出縱向振動(dòng)與豎向振動(dòng)相互耦合的特點(diǎn)，基于Rayleigh能量法推導(dǎo)了固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期簡(jiǎn)化計(jì)算公式.并與國(guó)內(nèi)10座已建斜拉橋的有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.

1 地震慣性力傳遞路徑

地震作用下斜拉橋主梁、橋面系的水平地震慣性力傳遞路徑如圖1所示.其中，H為主塔高度，h1為塔頂?shù)街髁褐匦牡母叨?，h2為主梁重心到塔底的高度.

圖1 水平地震慣性力傳遞示意圖Fig.1 The sketch map of the longitudinal seismic inertia force transmission

主梁、橋面系的水平地震慣性力分別通過斜拉索傳遞分量P1和塔梁間連接裝置傳遞分量P2給橋塔.對(duì)于固定鉸接體系斜拉橋，主梁、橋面系的水平地震慣性力主要通過塔梁間連接裝置傳至主塔.

2 柔度法

將單位水平力分別單獨(dú)作用在2質(zhì)點(diǎn)處時(shí)質(zhì)點(diǎn)的水平撓度用柔度影響系數(shù)δij(i=p，d；j= p，d)表示，則柔度矩陣為：

(1)

式中：Kp=EtIp為主塔彎曲剛度，Et為主塔彈性模量，Ip為塔底截面慣性矩.

圖2 雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化模型Fig.2 The double-mass simplified model

假設(shè)該雙自由度體系的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，忽略拉索的彈性變形和結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng)，基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法可知簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的頻率方程為：

(2)

將式(1)代入式(2)，可解得：

(3)

因此，基于柔度法的固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期為：

(4)

3 Rayleigh能量法

固定鉸接體系斜拉橋的一階振型以主塔的縱彎為主，并伴有主梁豎彎.

根據(jù)斜拉橋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，引入以下假設(shè)：1)所有的材料符合虎克定律；2)將主梁和主塔均視為歐拉梁，僅考慮其彎曲變形，不考慮主塔的扭轉(zhuǎn)變形、橫向變形和軸向變形，且梁的各橫截面的中心主慣性軸在同一平面內(nèi)；3)成橋狀態(tài)下，恒載沿跨度均勻分布，斜拉索為直線狀，僅考慮其軸向變形.

3.1 Rayleigh能量法基本原理

根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行固有振動(dòng)時(shí)，沒有能量的輸入和損耗，則機(jī)械能保持為一恒量，即：

Q(t)+W(t)=Π.

(5)

式中：Q和W分別代表體系某一時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能(勢(shì)能包括重力勢(shì)能及變形能)；Π為一常數(shù).

當(dāng)振動(dòng)體系幅值達(dá)到最大值時(shí)，動(dòng)能為零，而勢(shì)能最大；當(dāng)體系經(jīng)過靜平衡位置的瞬時(shí)，動(dòng)能為最大值，而勢(shì)能為零.根據(jù)能量守恒定律，在這2個(gè)特定的時(shí)刻，有：

Qmax=Wmax.

(6)

利用式(6)即可求得系統(tǒng)的頻率.

3.2 變形能

1)拉索的變形能：固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型下單根拉索的變形如圖3所示.圖中：UG為縱向一階振型下主塔塔頂縱向位移的幅值，VG為縱向一階振型下斜拉索與主梁交點(diǎn)處主梁豎向位移的幅值，d為最外側(cè)拉索與主梁錨固點(diǎn)到主梁與主塔連接點(diǎn)的距離，Δl為單根拉索伸長(zhǎng)量，α為斜拉索與主梁夾角，由幾何關(guān)系可知：

Δl=VG·sinα.

(7)

對(duì)于整個(gè)斜拉橋，斜拉索的總變形能為

(8)

式中：ΔSi為單根拉索的索力增量；EcAc為拉索的軸向剛度，計(jì)算時(shí)取所有拉索軸向剛度的平均值；N為拉索總根數(shù)；l為所有拉索長(zhǎng)度的平均值；計(jì)算時(shí)取α為最外側(cè)拉索與主梁夾角.

圖3 斜拉索的變形圖Fig.3 Deformation of the cable

2)主梁的豎向彎曲變形能為：

(9)

式中：EbIb為主梁豎向彎曲剛度；L為全橋梁長(zhǎng)；v(x,t) 為主梁豎向彎曲振動(dòng)方程.

3)主塔的縱向彎曲變形能為：

(10)

式中：It為主塔等效截面慣性矩；ut(y,t)為主塔縱向彎曲振動(dòng)方程.

3.3 動(dòng) 能

1)主梁與拉索豎向振動(dòng)動(dòng)能為：

(11)

2)主塔的縱向振動(dòng)動(dòng)能為：

(12)

3.4 振動(dòng)方程

能量法所獲得的振動(dòng)頻率的精度，完全依賴于所假設(shè)的表示振型的形狀函數(shù).

1)根據(jù)文獻(xiàn)[13-14]，取主梁豎向振動(dòng)方程為：

(13)

式中：ωG為基于能量法的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振頻率.

2)假定主塔縱向振動(dòng)方程為：

(14)

3.5 周期計(jì)算

由固定鉸接體系斜拉橋的變形特性可知，橋塔與主梁的彎曲角度近似相等，如圖3所示，假設(shè)不考慮拉索變形，則有：

UG=λVG.

(15)

將式(13)(14)代入式(9)-式(12)，得：

主梁的豎向彎曲變形能為：

(16)

主塔的縱向彎曲變形能為：

(17)

主梁與索的豎向振動(dòng)動(dòng)能為：

(18)

主塔的縱向振動(dòng)動(dòng)能為：

(19)

將式(8)、式(15)-式(19)對(duì)應(yīng)代入式(6)，可解得：

(20)

因此，基于能量法的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期TG為：

(21)

4 實(shí)例分析

為驗(yàn)證以上推導(dǎo)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式的可靠性，選取了10座典型斜拉橋，其中：濟(jì)南三橋、松花江大橋、松原大橋、南葉公路橋、海河大橋?yàn)閱嗡崩瓨?；飛云江大橋、金塘大橋、七都大橋、臺(tái)州灣主橋、蘇通大橋?yàn)殡p塔斜拉橋.它們的基本計(jì)算參數(shù)列于表1.采用有限元軟件SAP2000分別建立這10座斜拉橋固定鉸接體系有限元模型，進(jìn)行縱向一階模態(tài)分析，所得縱向一階振型如圖4所示；縱向一階自振周期見表2.為對(duì)比輔助墩對(duì)固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的影響，將考慮輔助墩的有限元模型周期計(jì)算結(jié)果記為T1eg，忽略輔助墩的有限元模型周期結(jié)果記為T2eg，均與式(4)和式(21)計(jì)算得到的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期進(jìn)行對(duì)比，由此可知：

1)考慮輔助墩時(shí)，采用本文所提出的固定鉸接體系斜拉橋雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化模型計(jì)算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向振動(dòng)一階自振周期的最大相對(duì)誤差為-5.22%，平均相對(duì)誤差只有0.05%；忽略輔助墩時(shí)，采用本文提出的固定鉸接體系斜拉橋雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化模型計(jì)算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向振動(dòng)一階自振周期的最大相對(duì)誤差為8.93%，平均相對(duì)誤差為3.47%.說明無(wú)論有無(wú)輔助墩，采用本文提出的雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化模型來估算固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期均是合理的.

2)考慮輔助墩時(shí)，采用能量法計(jì)算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的最小相對(duì)誤差為2.50%，最大相對(duì)誤差為15.60%，平均相對(duì)誤差為6.33%；忽略輔助墩時(shí)，采用能量法計(jì)算10座固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的最小相對(duì)誤差為2.44%，最大相對(duì)誤差為16.78%，平均相對(duì)誤差為9.62%.說明無(wú)論有無(wú)輔助墩，采用能量法給出的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階周期簡(jiǎn)化計(jì)算公式均能滿足工程要求，本文假定的固定鉸接體系斜拉橋主塔一階縱向振動(dòng)方程是合理的.由于主梁豎向振動(dòng)和主塔縱向振動(dòng)的初始相位角不同，主梁和主塔不一定同時(shí)達(dá)到動(dòng)能最大或勢(shì)能最大的狀態(tài)，本文并未考慮此因素，故誤差略大.

3)通過10座已建斜拉橋?qū)嵗?yàn)證可知，輔助墩對(duì)固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期影響較小，本文提出的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期簡(jiǎn)化計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果均與有限元計(jì)算結(jié)果符合較好，可用于斜拉橋初步設(shè)計(jì)和抗震評(píng)估.

4)雙質(zhì)點(diǎn)模型與能量法相比，不僅精度高，且離散性小，故推薦采用雙質(zhì)點(diǎn)模型來估算固定鉸接體系斜拉橋縱向一階周期.

表1 算例斜拉橋主要計(jì)算參數(shù)Tab.1 Structure parameters of cable-stayed bridges in calculation

注：主塔彈性模量Et=3.45×107kN/m2，主梁彈性模量Eb=2×108kN/m2；柔度法計(jì)算雙塔斜拉橋時(shí)，mp和md取整個(gè)結(jié)構(gòu)的一半計(jì)算.

表2 固定鉸接體系計(jì)算結(jié)果比較Tab.2 Estimated comparison of consolidation cable-stayed bridge

(a)濟(jì)南三橋(第七階)

(b)松花江大橋(第七階)

(c)松原大橋(第十一階)

(d)南葉公路橋(第十三階)

(e)海河大橋(第七階)

(f)飛云江大橋(第九階)

(g)金塘大橋(第七階)

(h)七都大橋(第十階)

(i)臺(tái)州灣主橋(第七階)

(j)蘇通大橋(第七階)圖4 橋例縱向一階振型圖Fig.4 The first longitudinal vibration modes

5 結(jié) 論

分別采用柔度法、Rayleigh能量法,推演了固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.并與國(guó)內(nèi)10座已建斜拉橋有限元模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析,主要工作和結(jié)論如下:

1)建立了固定鉸接體系斜拉橋雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化分析模型，并基于該模型采用柔度法推導(dǎo)了縱向一階自振周期計(jì)算公式.

2)基于固定鉸接體系斜拉橋縱向一階振型呈現(xiàn)縱向振動(dòng)與主梁豎向振動(dòng)相互耦合的特點(diǎn)，采用Rayleigh能量法推導(dǎo)了縱向一階自振周期計(jì)算公式.

3)通過與是否考慮輔助墩的有限元模型周期計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，輔助墩對(duì)固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期影響較小，2種公式均可同時(shí)適用于有、無(wú)輔助墩的固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算.

4)雖然采用柔度法和Rayleigh能量法均能較準(zhǔn)確地計(jì)算出固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期，但基于雙質(zhì)點(diǎn)模型采用柔度法求解的精度和可靠性都比Rayleigh能量法好很多.因此，在進(jìn)行斜拉橋的初步設(shè)計(jì)和方案比選時(shí)，推薦采用柔度法進(jìn)行固定鉸接體系斜拉橋縱向一階自振周期估算.

5)本文所提出的固定鉸接體系斜拉橋的縱向一階自振周期簡(jiǎn)化計(jì)算公式適用于對(duì)稱結(jié)構(gòu)的斜拉橋，對(duì)于非對(duì)稱固定鉸接體系斜拉橋還有待進(jìn)一步研究.

[1] 陳清軍,張婷,陳志海,等.長(zhǎng)周期隨機(jī)地震作用下超大跨斜拉橋的行波效應(yīng)分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014,41(4): 1-9.

CHEN Qingjun, ZHANG Ting, CHEN Zhihai,etal. Traveling wave effect analysis of super-long-span cable-stayed bridge under long-period stochastic seismic excitation [J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2014,41(4):1-9.(In Chinese)

[2] 范立礎(chǔ),胡世德,葉愛君.大跨度橋梁抗震設(shè)計(jì)[M].北京：人民交通出版社,2001: 123-142.

FAN Lichu, HU Shide, YE Aijun. Seismic design of long-span bridge [M]. Beijing: China Communication Press, 2001:123-142. (In Chinese)

[3] 項(xiàng)海帆,李瑞霖,楊昌眾. 懸浮體系斜張橋的近似抗震計(jì)算[J]. 結(jié)構(gòu)工程師,1985(1):64-69.

[4] 趙躍宇,周海兵,金波,等.彎曲剛度對(duì)斜拉索非線性固有頻率的影響[J].工程力學(xué),2008,25(1): 196-202.

ZHAO Yueyu, ZHOU Haibing, JIN Bo,etal. Influence of bending rigidity on nonlinear natural frequency of inclined cable [J]. Engineering Mechanics, 2008,25(1):196-202.(In Chinese)

[5] 余報(bào)楚,邱文亮,張哲,等.廣東金馬大橋空間耦合自由振動(dòng)分析的理論研究[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版, 2007, 31(5): 898-901.

YU Baochu, QIU Wenliang, ZHANG Zhe,etal. Theoretical study on space coupling free vibration analysis of Jinma Bridge [J]. Journal of Wuhan University of Technology: Transportation Science & Engineering , 2007,31(5):898-901.(In Chinese)

[6] STRAUPE V, PAGELITIS A. Analysis of geometrical and mechanical properties of cable-stayed bridge [J].Procedia Engineering, 2013,57(1):1086-1093.

[7] 張楊永,肖汝誠(chéng).雙塔斜拉橋自振頻率的近似計(jì)算[J].公路工程, 2009,34(1): 72-76.

ZHANG Yangyong, XIAO Rucheng. Approximate calculation of natural frequency of cable-stayed bridges with double pylons [J]. Highway Engineering, 2009,34(1):72-76.(In Chinese)

[8] 袁萬(wàn)城,閆冬.斜拉橋縱飄頻率簡(jiǎn)化計(jì)算方法[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2005,33(11): 1423-1427.

YUAN Wancheng, YAN Dong. Simplified calculational method of floating frequency for cable-stayed bridges [J].Journal of Tongji University: Natural Science, 2005,33(11):1423-1427.(In Chinese)

[9] CAMARA A, ASTIZ M A, YE A J. Fundamental mode estimation for modern cable-stayed bridges considering the tower flexibility[J]. Journal of Bridge Engineering, 2014,19(6):213-226.

[10]戴公連,粟淼,劉文碩,等.槽型斷面梁斜拉橋塔梁固結(jié)區(qū)受力特性研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014,41(1): 27-32.

DAI Gonglian, SU Miao, LIU Wenshuo,etal. Stress analysis of pier-tower-girder fixed region of cable-stayed bridge with trough girder[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2014, 41(1): 27-32.(In Chinese)

[11]黃小國(guó),李建中,郭磊.地震作用下獨(dú)塔斜拉橋合理約束體系[J]. 結(jié)構(gòu)工程師,2008,24(6): 29-35.

HUANG Xiaoguo, LI Jianzhong, GUO Lei. Appropriate constraint systems for simple-tower cable-stayed bridges under earthquake [J]. Structural Engineers, 2008,24(6):29-35.(In Chinese)

[12]JTG/T B02-01—2008 公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則[S].北京：人民交通出版社,2008:28-29.

JTG/T B02-01—2008 Guidelines for seismic design of highway bridges[S]. Beijing: China Communications Press, 2008:28-29. (In Chinese)

[13]彭旺虎,邵旭東.無(wú)背索斜拉橋穩(wěn)定分析的能量法[J].工程力學(xué), 2009,26(2): 158-162.

PENG Wanghu, SHAO Xudong. Energy method for stability analysis of cable-stayed bridge without back-stays [J]. Engineering Mechanics, 2009,26(2):158-162.(In Chinese)

[14]彭旺虎,邵旭東.懸索橋縱向和豎向耦合自振研究[J].工程力學(xué), 2012,29(2): 142-148.

PENG Wanghu, SHAO Xudong. Study on longitudinal and vertical coupling vibration of suspension bridges [J]. Engineering Mechanics, 2012,29(2):142-148.(In Chinese)

Vibration Period for Fixed Hinge Cable-stayed Bridges

ZHANG Wenxue, KOU Wenqi, CHEN Ying?， WANG Zhen

(College of Architecture and Civil Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)

The simplified calculation of the first-order longitudinal vibration period for a cable-stayed bridge is very important for the comparison of design plans and the evaluation of seismic performance. Firstly, according to the longitudinal seismic inertia force transmission of cable-stayed bridges, the double-mass model derived by flexibility method was developed to simplify the calculation of the first-order longitudinal vibration. Based on significant coupling between the longitudinal modes and vertical modes, the simplified calculation of the first-order longitudinal vibration period was then investigated by energy principle in fixed hinge cable-stayed bridges. Finally, the two formulas were evaluated by the tests on ten built-up bridges. It is concluded that these two simplified formulas were in good agreement with those predicated by finite element method. The proposed double-mass model has higher accuracy and reliability.

fixed hinge system; cable stayed bridges; the first-order longitudinal vibration period; double-mass model; flexibility method; energy principles

2016-01-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378034/E080505), National Natural Science Foundation of China(51378034/E080505)；北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(8122007)，Beijing Municipal Natural Science Foundation(8122007)

張文學(xué)(1975-)，男，吉林伊通人，北京工業(yè)大學(xué)副教授，博士 ?通訊聯(lián)系人，E-mail:chying@126.com

1674-2974(2017)03-0028-07

10．16339/j．cnki．hdxbzkb．2017．03．004

U442.5

AStudy on Simplified Calculation of First-order Longitudinal