載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)理論分布與實(shí)測(cè)對(duì)比分析

侯宏濤，侯雙霞

(1.鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451150；2.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司，河南 鄭州 450002)

載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)理論分布與實(shí)測(cè)對(duì)比分析

侯宏濤1，侯雙霞2

(1.鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451150；2.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司，河南 鄭州 450002)

為了研究載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的分布特點(diǎn)，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律和磁場(chǎng)疊加原理，導(dǎo)出載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布的表達(dá)式。然后，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布。將實(shí)測(cè)值與理論值對(duì)比，通過對(duì)誤差進(jìn)行分析，得出測(cè)準(zhǔn)載流圓線圈軸線上測(cè)場(chǎng)分布的方法。

圓線圈；軸線；磁場(chǎng)分布；誤差

討論圓線圈軸線上磁場(chǎng)的分布在實(shí)際應(yīng)用中十分有意義。通電圓線圈和亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)分布一直是電磁理論的典型問題，目前已有許多學(xué)者[1-3]對(duì)圓電流線圈和亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)分布分別從理論推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)測(cè)量以及數(shù)值模擬計(jì)算3方面做過大量的研究。

筆者在從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布理論知識(shí)理解不到位、實(shí)驗(yàn)操作不熟悉等現(xiàn)象。本文從載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布的理論推導(dǎo)，以及實(shí)驗(yàn)所用儀器、實(shí)驗(yàn)測(cè)量原理、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理等方面進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。最后，通過實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)出載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布，并將實(shí)測(cè)值與理論值對(duì)比，通過對(duì)誤差進(jìn)行分析，得出測(cè)準(zhǔn)載流圓線圈軸線上測(cè)場(chǎng)分布的方法，用此方法進(jìn)行測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)值與理論值非常吻合。

1 載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的理論分布

如圖1，設(shè)真空中有一半徑為R的細(xì)載流圓導(dǎo)線，其電流為I。通電圓導(dǎo)線上任一電流元Idl到軸線上P點(diǎn)的矢徑r之間的夾角θ均為90°，由畢奧-薩伐爾定律知，該電流元在P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的大小[4](P177-182)，[5](P130-133)為

圖1 載流圓導(dǎo)線軸線磁場(chǎng)分布

由圖知，P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿著軸線方向，大小等于細(xì)載流圓導(dǎo)線上所有電流元激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB沿軸向方向的分量dB∥的代數(shù)和，即

由公式可知，載流圓導(dǎo)線軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨著x的增大逐漸減小，x=0(圓心)處磁感應(yīng)強(qiáng)度最大。

若一個(gè)圓線圈上纏繞N0匝圓導(dǎo)線，此時(shí)的載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的大小分布為

式中μ0=4π×10-7H/m,叫做真空的磁導(dǎo)率，N0是載流圓線圈的匝數(shù)，R′載流圓線圈的有效半徑，x為軸上某一點(diǎn)P到圓線圈中心O′的距離，圖2為載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的大小的理論分布。

圖2 載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的理論分布

2 載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的測(cè)量

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

(1)DH4501亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)儀，面板見圖3。其中毫伏表用來測(cè)量探測(cè)線圈的感應(yīng)電壓。

圖3 DH4501亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)儀面板

(2)DH4501亥姆霍茲線圈面板與線圈架分別見圖4和圖5。

圖4 DH4501亥姆霍茲線圈面板

圖5 DH4501亥姆霍茲線圈架

亥姆霍茲線圈架主要參數(shù)：

二個(gè)勵(lì)磁線圈：線圈有效半徑為105mm，單個(gè)線圈匝數(shù)為400 匝，二線圈中心間距105mm。

移動(dòng)裝置：橫向可移動(dòng)距離260mm，距離分辨率1mm。

探測(cè)線圈：匝數(shù)1 000，旋轉(zhuǎn)角度360°。

2.2 電磁感應(yīng)法測(cè)量磁場(chǎng)原理

在圓導(dǎo)線中通以頻率為f的交流電，線圈將產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，如果把一個(gè)探測(cè)線圈放在這個(gè)磁場(chǎng)中，如圖6所示。

圖6 探測(cè)線圈產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)示意圖

探測(cè)線圈中將產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為

式中，ω=2πf，f為交流電頻率，S為探測(cè)線圈的面積。

2.3 探測(cè)線圈的設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)中由于磁場(chǎng)的不均勻性，這就要求探測(cè)線圈要盡可能的小。實(shí)際的探測(cè)線圈又不可能做得很小，否則會(huì)影響測(cè)量靈敏度。一般設(shè)計(jì)的探測(cè)線圈長度L和外徑D有L=2D/3的關(guān)系，線圈的內(nèi)徑d與外徑D有d≤D/3的關(guān)系，尺寸示意如圖7所示。

圖7 探測(cè)線圈及橫截面示意圖

這樣的探測(cè)線圈測(cè)得的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度可以近似看成是線圈中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，經(jīng)過理論計(jì)算得

將不同的頻率f代入上式就可得出B值。

2.4 軸線上磁場(chǎng)的測(cè)量

調(diào)節(jié)頻率調(diào)節(jié)電位器，使頻率表讀數(shù)為120 Hz，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)儀的電流調(diào)節(jié)電位器，使勵(lì)磁電流有效值為I=60 mA，以圓電流線圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，每隔10 mm測(cè)一個(gè)Umax值，測(cè)量過程中注意保持勵(lì)磁電流值不變，并保證探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°，將探測(cè)線圈從θ=0°轉(zhuǎn)到180°，分別記錄0°和180°下Umax值。最后將測(cè)量數(shù)據(jù)記入表1和表2。

表1 0°時(shí)載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布(f=120 Hz，I=60 mA)

表2 180°時(shí)載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布(f=120 Hz，I=60 mA)

3 實(shí)測(cè)值與理論值對(duì)比分析

繪制出表1和表2中載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布的測(cè)量值與理論值曲線，如圖8和圖9所示。

由圖8可以看出，當(dāng)探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°時(shí)，實(shí)驗(yàn)值均小于理論值，由表1可知，實(shí)驗(yàn)值與理論值的最大相對(duì)誤差為6.5%，誤差超過5%，超過實(shí)驗(yàn)允許的最大誤差。

由圖9可以看出，當(dāng)探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為180°時(shí)，實(shí)驗(yàn)值均大于理論值，由表2可知，實(shí)驗(yàn)值與理論值的最大相對(duì)誤差為5.6%，誤差超過5%，超過實(shí)驗(yàn)允許的最大誤差。

本實(shí)驗(yàn)儀器采用一體化裝置，儀器存在系統(tǒng)誤差，為了能夠更加準(zhǔn)確地測(cè)出實(shí)驗(yàn)值，將探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°和180°兩種情況下測(cè)出的實(shí)驗(yàn)值求和取平均值，并將數(shù)據(jù)記錄為表3。

圖8 0°時(shí)載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布對(duì)比

圖9 180°時(shí)載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布對(duì)比

軸向距離x/mm-70-60-50-40-30-20-10010203040506070平均值/mT0．0840．0950．1070．1180．1280．1370．1420．1440．1420．1360．1270．1160．1040．0920．081理論值B=μ0N0IR22(R2+X2)3/2/mT0．0830．0940．1060．1170．1280．1360．1420．1440．1420．1360．1280．1170．1060．0940．083相對(duì)誤差/%1．11．01．00．90．60．50．50．30．00．10．40．91．31．92．5

繪制出表3中載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布的平均值與理論值曲線，如圖10所示。

圖10 平均值下載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)分布對(duì)比

由圖10可以看出，將探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°和180°兩種情況下測(cè)出的實(shí)驗(yàn)值求和取平均值后，此時(shí)實(shí)驗(yàn)值與理論值吻合的非常好，由表3可知，實(shí)驗(yàn)值與理論值的誤差均小于5%，最大相對(duì)誤差為2.5%。

4 結(jié)論

通過理論推導(dǎo)和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)可以得到如下結(jié)論：

(1)理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)均得出載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的分布，由線圈中心到兩端逐漸減小，線圈中心磁場(chǎng)最大。

(2)本實(shí)驗(yàn)使用的裝置為一體化，使得操作方便，這也使主要實(shí)驗(yàn)誤差來源于儀器本身，限制了實(shí)驗(yàn)可能達(dá)到的精度。

(3)探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°時(shí)，實(shí)驗(yàn)值均小于理論值，實(shí)驗(yàn)值與理論值的最大相對(duì)誤差為6.5%。

(4)探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為180°時(shí)，實(shí)驗(yàn)值均大于理論值，實(shí)驗(yàn)值與理論值的最大相對(duì)誤差為5.6%。

(5)將探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°和180°兩種情況下測(cè)出的實(shí)驗(yàn)值求和取平均值后，實(shí)驗(yàn)值與理論值吻合的非常好，實(shí)驗(yàn)值與理論值的誤差均小于5%，最大相對(duì)誤差為2.5%。

因此，為了能夠測(cè)出準(zhǔn)載流圓線圈軸線上磁場(chǎng)的分布，探測(cè)線圈在移動(dòng)過程中的任意位置，需要分別測(cè)出探測(cè)線圈法線方向與圓電流線圈軸線夾角為0°和180°兩種情況下的實(shí)驗(yàn)值，最后再取平均值，可以減小誤差，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確。

[1]劉雅潔，朱寧.圓線圈及亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)分布[J].嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，16(3)：47-50.

[2]張德根，張波.圓電流和亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)的數(shù)值模擬[J].皖西學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，30(2)：39-44.

[3]王青獅，王小偉，邱選兵，等.亥姆霍茲線圈軸線磁場(chǎng)計(jì)算機(jī)測(cè)量實(shí)驗(yàn)研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010，23(1)：77-85.

[4]梁燦彬，秦光榮，梁竹健，等.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]尹國盛，劉學(xué)忠.大學(xué)物理基礎(chǔ)教程[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016.

[6]劉克濤.多層線圈平均截面積的計(jì)算[J].南都學(xué)壇(自然科學(xué)版)，1992(2)：64-65.

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A Comparative Analysis of the Theoretical Distribution and Measurementfor Magnetic Field on Circular Current Coil Axis

HOU Hongtao1，HOU Shuangxia2

(1.DepartmentofFundamentalEducation，ZhengzhouUniversityofIndustrialTechnology，Zhengzhou451150，China;2.HenanMechanicalDesignandResearchInstituteCo.Ltd,Zhengzhou450002,China)

In order to study the characteristics of magnetic field distribution on Circular current coil axis, based on the Biot-Savart law and superposition principle of magnetic field, the expression of magnetic field distribution on Circular current coil axis were derived. And then, through experiment we measured the magnetic field distribution on Circular current coil axis. Compared measured values with the theoretical value, through analysis error, to obtain the accurate method of measuring the magnetic field distribution on Circular current coil axis.

circular coil; axis; magnetic field distribution; error

2016-11-19

侯宏濤(1988-)，男，河南洛陽人，助教，碩士研究生，研究方向：大學(xué)物理、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與管理；侯雙霞(1985-)，女，河南周口人，碩士，工程師，研究方向：電化學(xué)材料的制備、檢測(cè)，建筑材料成分的分析及燒結(jié)磚、瓦的工藝。

O44

A

1009-9735(2017)02-0058-05