高中數學習題教學的思考

薛雪華

習題教學是高中數學教學的重要課型.習題教學，不應僅關注于數學知識本身，還應該滲透數學思想方法.習題教學，要注重學生解題能力與創(chuàng)新能力的提高.如何提高學生解決數學問題的能力？

一、引導學生養(yǎng)成審視習題條件的習慣

良好的開始等于成功的一半.那么，良好的開始從何而來？良好的開始往往與學生的習慣高度相關.在習題教學中，教師應該引導學生養(yǎng)成審視習題條件的習慣.習題由題干和設問兩個部分組成.有些學生之所以感覺數學難，是因為其在解決數學習題時，不能審視題干中給出的“條件”.很多時候，教師在習題教學中將出現這種情況的原因歸咎為學生的數學基礎知識不扎實.其實，學生的審題習慣和閱讀理解能力很重要.

例如，給定正整數n（n≥3），集合Un={1，2，3，…，n}.如果存在集合A、B、C同時滿足如下的三個條件：條件1：Un=A∪B∪C，A∩B=B∩C=A∩C=φ；條件2：集合A中的元素都為奇數，集合B中的元素都為偶數，所有能被3整除的數都在集合C中（集合C中還可以包含其他數）；條件3：集合A、B、C中各元素之和分別為SA、SB、SC，有SA=SB=SC.則稱集合Un為可分集合.求：（1）已知Un為可分集合，寫出相應的一組滿足條件的集合A、B、C；（2）證明：若n是3的倍數，則Un為可分集合；（3）若Un為可分集合且n為奇數，求n的最小值.對于這道題，教師應該引導學生從如下幾個視角進行審題，審視題干中所給的條件.視角1：題目中給出了三個條件，其中的已知與未知的根本不同是什么？這里的邏輯關系是什么？三個條件，應該先滿足哪一個或哪兩個？這樣認為的根據是什么？視角2：對于集合問題的處理，要弄清分析集合問題的幾個維度，如元素關系，數量關系等.視角3：對于一個陌生問題的處理，我們可以從特殊到一般開始思考，選擇一些特殊的集合來加深對新定義的認識和理解.通過上述思考，題干中所給的條件就清晰了.條件1和條件2屬于定義性的條件，條件3反映了集合之間的數理關系.可以先使所要判斷的集合滿足條件1和2，接著再驗證條件3是否滿足.這樣分析，學生的問題解答才能流暢.

二、通過變式演練來提高能力

學生的學習不可能一蹴而就，尤其是理科學科的學習，需要反復與變化，發(fā)散學生思維的同時內化認知，深化學生對數學概念和方法的理解.

例如，為了引導學生理解“分段函數”概念，教師可以設置如下習題，通過細微的變化設置任務，讓學生感受和理解概念.變式任務1：已知函數y=x，y=1x，y=x2，請你以這三個函數為“原材料”構造分段函數.變式任務2：已知函數y=x，y=1x，y=-1x，y=x2，請你以這四個函數為“原材料”構造出單調遞增的分段函數.變式任務3：已知函數y=x，y=-x，y=1x，y=-1x，y=x2，y=-x2，請你以這六個函數為“原材料”構造出具有奇偶性的分段函數.

設計意圖：從變式任務1到任務3，原材料不斷增加，繼而不斷地豐富分段函數的類型.在完成任務的過程中，學生有獨立思考，也有與他人的合作交流，最終歸納出分段函數的各種性質、特點.

變式演練可以圍繞一個數學概念展開，也可以在學生已經有了一種解題的方法和思維時，進一步變式演練，將學生的思維引向更全面、更嚴謹.

例如，在習題教學中，筆者和學生一起分析并解決了“2016年浙江理19”題（題略）后，接著進一步變式，通過對原命題的合理轉化，提高學生對數學對象本質屬性的掌握.變式1：以橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點F（-c，0）為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，求該橢圓離心率的取值范圍.變式2：設F1，F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點，若橢圓上一點P滿足PF2=F1F2，以原點O為圓心，b為半徑作圓與直線PF1之間存在公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

設計意圖：通過這兩個變式，學生可以進一步掌握與理解“不同位置下橢圓弦長的變化規(guī)律”，對于“求離心率問題的一般方法”有深刻理解.

三、師生互動糾錯因

習題教學，不僅有例題和習題的呈現，還有學生問題的解答過程.為了提高學生解決問題的正確率，教師必須搞清楚是什么原因導致了學生的解題錯誤.學生出錯的原因有很多.在習題教學中，教師與學生積極互動，能有效消除出錯的病因.

例如，若x，y，z均為正實數，求xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

錯解：設u=xy+2yzx2+y2+z2=xy+2zy（xy）2+1+（zy）2，xy=a，zy=b，則a>0，b>0，u=a+2ba2+1+b2≤a+2b2ab+1.當且僅當a=b時取等號，所以u≤a+2b2ab+1=3a2a2+1=32a+1a≤322a·1a=322=324，當且僅當2a=1a，即a=22時取等號.綜上，當a=b=22時取等號，此時x=y=22z，得xy+2yzx2+y2+z2的最大值為324.

學生為什么會出現這樣的錯誤？筆者與學生交流后發(fā)現，有相當多做錯的學生是想著“將3個變量盡可能減少為2個變量”.這樣的錯誤，其實還是學生在解決問題的方法上出現了問題.在習題教學中，如果直接灌輸正確的方法，學生的印象難以深刻，下次遇到還是會出錯.在教學過程中，筆者放手讓學生相互討論、交流，讓他們充分意識到問題所在.發(fā)現出錯的原因：如果按照上面的方法，這樣的操作有無數種，每一種都能保證等號成立.這樣解答出來的結果就有無數種，顯然是錯的.究其原因，雖然兩次使用基本不等式時的等號都能取到，但第一次使用基本不等式時的等號僅是保證該不等式中的等號成立，卻并非使用基本不等式的“最佳搭配”方式，因此無法求出u的最大值.生成新的問題：最佳的搭配方式如何呢？這實際上是認識錯誤后，解題思路的再續(xù)，可以仍然回到錯解.錯解先考慮u=a+2ba2+1+b2中的a、b，沒有考慮1，解題過程中分了兩次運用基本不等式，應該將a、b、1三者同時變形，僅運用一次基本不等式完成問題的求解.

四、深挖教材中的習題資源

隨著高考數學權重的增加，數學習題教學容易跳入題海，給學生“刷題”.教材是課程專家組集體智慧的結晶，提供給教師用之不竭的教學資源，而且教材是數學高考命題重要的素材資源.要想提高學生解決數學問題的能力，教師就要吃透教材，挖掘教材，發(fā)揮教材中例、習題的示范性作用，并在此基礎上進行必要的拓展與延伸，挖掘題目中蘊涵的教學功能，并加以運用.

總之，在教學中研究習題，能夠培養(yǎng)學生的學習興趣，提高學生的解題能力.