轉子-葉片系統(tǒng)固有特性分析及試驗研究?

太興宇 楊樹華 馬 輝 李洪臣 孟繼綱

(1.沈陽鼓風機集團股份有限公司；2.東北大學機械工程與自動化學院；3.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室)

轉子-葉片系統(tǒng)固有特性分析及試驗研究?

太興宇1楊樹華1馬 輝2,3李洪臣1孟繼綱1

(1.沈陽鼓風機集團股份有限公司；2.東北大學機械工程與自動化學院；3.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室)

針對轉子-葉片系統(tǒng)，采用能量法和集中質量法，建立了轉子-葉片系統(tǒng)彎扭耦合運動微分方程，并在模型中考慮了葉片的截面特性、科氏力效應、離心剛化和旋轉軟化，還包括了轉子的陀螺效應。通過對特征方程的計算，得到了系統(tǒng)的Campbell圖。文中搭建了轉子-葉片模態(tài)測試系統(tǒng)，通過測試結果與仿真結果的對比，驗證了本文模型的正確性。本文還分析了圓盤半徑對系統(tǒng)固有頻率的影響，結果表明隨著圓盤半徑的變化，會出現(xiàn)頻率轉換現(xiàn)象。并且圓盤半徑對軸扭轉固有頻率會產生一種軟化作用，這種作用會隨轉速升高而變得更加明顯。

轉子-葉片系統(tǒng)；固有頻率；模態(tài)測試系統(tǒng)；彎扭耦合；Campbell圖

0 引言

在旋轉葉輪機械中，轉子系統(tǒng)的振動是影響系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的重要因素。準確預測轉子系統(tǒng)的動態(tài)特性是旋轉機械設計、研制中的重要問題[1]。在分析轉子的振動特性時，傳統(tǒng)的做法是將整個轉子系統(tǒng)分成兩個彼此獨立的系統(tǒng)：一個是將葉片看作固支或者彈支，對葉片的振動進行分析；另一種是將葉片-圓盤視為一個剛體部件，對轉子系統(tǒng)的動力學特性進行分析[2-3]。針對這兩種做法的研究目前已經(jīng)比較成熟，但對于轉子-葉片整體系統(tǒng)的耦合運動的研究還比較少。并且國內外已有許多事故被認為與軸系的耦合振動有關，即由葉片與轉軸的耦合振動引起的[4]。

60年代，人們開始研究柔性圓盤與葉片之前的耦合振動問題。許多學者研究了盤的柔性對系統(tǒng)耦合頻率的影響并對模態(tài)轉換現(xiàn)象進行了分析[5～15]。并且，Crawly和Mokadam[16]指出軸的橫向振動只與葉-盤系統(tǒng)的1階節(jié)徑振動相耦合。王立剛等[17～19]建立了葉片-轉子-軸承系統(tǒng)耦合振動的非線性動力學模型，為了分析葉片的慣性影響和系統(tǒng)的時變性，將葉片模型模化為單擺模型，利用一個線性變換將振動方程中與轉子耦合的1節(jié)徑振動方程與其他葉片振動方程解耦，從而分析葉片-轉子-軸承系統(tǒng)的非線性振動。Sinha[20～21]在離心場下，建立了多支撐柔性轉子-葉片的數(shù)學模型，其動力學方程包含了科氏力和陀螺效應。

本文以轉子-葉片系統(tǒng)為研究對象，基于能量法，并結合Hamilton變分原理，推導出旋轉態(tài)下的轉子-葉片系統(tǒng)彎扭耦合運動微分方程。其中，葉片采用懸臂變截面Timoshenko梁模型，轉子系統(tǒng)采用質點模型。該模型不僅包括了葉片的截面特性、旋轉效應的影響，同時還考慮了轉子系統(tǒng)的陀螺效應。在此模型的基礎上，分析了轉子-葉片耦合系統(tǒng)的固有特性，并通過對轉子-葉片實驗臺進行模態(tài)測試，驗證了本文所推導模型的正確性。

1 轉子-葉片系統(tǒng)動力學模型的建立

針對轉子-葉片耦合系統(tǒng)進行建模，為了突出主要問題，簡化模型，模型推導過程基于以下假設：

1）材料各向同性，本構關系滿足Hooke定律；

2）忽略葉-盤-軸之間的接觸問題，認為三者之間是固定連接的；

3）圓盤簡化為剛性盤，不考慮圓盤的柔性變形；

4）轉子系統(tǒng)采用質點模型，其軸向變形很小，可以忽略不計；

5）支撐部分采用線性剛度模型，簡化為彈簧阻尼模型。

圖1為轉子-葉片耦合系統(tǒng)的動力學模型，考慮轉軸的彎扭耦合振動以及葉片的徑向和橫向振動，其中轉軸和剛性圓盤組成轉子系統(tǒng)，葉片采用懸臂變截面Timoshenko柔性梁模型，其截面面積和截面慣性矩為：

其中，b1，h1為葉尖處的葉片寬度和葉片厚度；b0，h0為葉根處的葉片寬度和葉片厚度；A0，I0為葉根處的橫截面積和慣性矩，

圖1 轉子-葉片系統(tǒng)模型示意圖Fig.1 Model schematic of rotor-blade system

圖1中OXYZ為整體坐標系；oxdydzd為圓盤的坐標系，由于轉子在運動過程中產生渦動，所以圓盤的坐標系與整體坐標系并不重合；oxryrzr為旋轉坐標系；oxbybzb為葉片的局部坐標系，其中，xb向沿著葉片長度方向，yb向沿著葉片厚度方向，zb向沿著葉片寬度方向。

1.1 轉子-葉片系統(tǒng)動能

假設剛性圓盤上均勻分布著Nb個相同的彈性葉片，這時，葉-盤系統(tǒng)就是一個Nb階循環(huán)對稱結構。當?shù)趇個葉片產生變形后，由圖2可知，其上任意一點Q在固定坐標系OXYZ下的位移表示為：

式中，x，y，z為沿著葉片長度方向、厚度方向以及寬度方向的軸線；xd，yd，zd為圓盤在整體坐標系中X，Y，Z向的位移；u，v，w為xb，yb，zb的位移，即為葉片的徑向、橫向以及擺動方向的變形；?為截面轉角；A1為由葉片局部坐標系向旋轉坐標系的旋轉變換矩陣；A2為由旋轉坐標系向整體坐標系的旋轉變換矩陣。

圖2 盤-片系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of disc-blade system

旋轉變換矩陣可以分別寫成如下形式：

本文模型不考慮葉片的擺動以及轉子的軸向運動，故令式(1)中的w=0，z=0，zd=0。第i個葉片的動能表達式為：

式中，T1為葉片振動產生的動能項；T2為葉片與轉子耦合運動產生的動能項；ρb為葉片的密度。

將轉子沿軸向分成n個質量點，這些質量點一般選在葉輪、軸頸中心、聯(lián)軸器、軸的截面有突變處以及周的端部等位置[22]。轉子的動能包括圓盤質心處的轉動動能和平動動能，以及其他質點處的轉動動能和平動動能。表達式為：

式中，Jpd，Jdd，md為圓盤處的極轉動慣量、直徑轉動慣量和質量；Jpi，Jdi，mi為除圓盤其他質量點的極轉動慣量、直徑轉動慣量和質量；e為圓盤的偏心距。

1.2 轉子-葉片系統(tǒng)勢能

旋轉葉片采用懸臂Timoshenko梁，其勢能包括葉片彎曲勢能、軸向壓縮勢能、剪切勢能以及離心勢能。那么第i個葉片勢能的具體表達式為：

式中，Eb，Gb，κ，fc分別為葉片的彈性模量、剪切模量、剪切系數(shù)以及離心力。其中，離心力的表達式為：

轉子系統(tǒng)的勢能由扭轉勢能以及彎曲勢能組成[22]：

式中，qr為轉子系統(tǒng)各質點的位移向量；Kr為轉子系統(tǒng)剛度矩陣。

將系統(tǒng)動能式(4)、式(5)和勢能式(6)、式(8)帶入到Hamilton原理表達式中：

帶入到Hamilton原理表達式并進行變分后，得到轉子-葉片偏微分方程。采用Galerkin法對葉片部分進行離散，最終得到轉子-單葉片運動微分方程，具體過程見參考文獻[23]。

如果結構繞其軸每旋轉一個角度，結構(包括材料參數(shù))與旋轉前完全相同，則將這樣的結構稱為循環(huán)對稱結構。旋轉機械中的葉-盤組件就是典型的循環(huán)對稱結構之一。根據(jù)上面得到的第i個葉片的運動方程以及轉子彎扭耦合運動方程，經(jīng)過離散化，寫成矩陣形式。由于每個葉片都有相應的質量、阻尼和剛度矩陣，需要將各個葉片的矩陣與轉子系統(tǒng)矩陣組集起來，形成轉子-葉片耦合系統(tǒng)整體矩陣。圖3為轉子-葉片耦合系統(tǒng)矩陣組集示意圖。圖中，Nb為葉片數(shù)；Nmod為第i個葉片模態(tài)數(shù)；Ndof為第i個葉片的自由度數(shù)；Nrdof為轉子系統(tǒng)平動自由度數(shù)。

經(jīng)過組集后，整理得到轉子-葉片系統(tǒng)的運動微分方程：

式中，qRB為轉子-葉片耦合系統(tǒng)廣義坐標向量；MRB為系統(tǒng)質量矩陣；DRB為轉子-葉片耦合系統(tǒng)的阻尼矩陣；KRB為轉子-葉片耦合系統(tǒng)剛度矩陣；fRB為轉子-葉片耦合系統(tǒng)外力矩陣。

圖3 轉子-葉片耦合系統(tǒng)矩陣組集示意圖Fig.3 Assembly schematic of global matrices for the rotor-blade coupled system

2 轉子-葉片耦合系統(tǒng)固有頻率分析

2.1 轉子葉片系統(tǒng)固有頻率求解

為了更好地研究系統(tǒng)的固有特性，需要對轉子-葉片耦合系統(tǒng)非線性運動方程進行線性化，忽略外力矩陣以及軸的扭轉和葉片變形的高階項[13]。

旋轉葉片連續(xù)體系統(tǒng)由于轉動產生了科氏力，即式（10）中的科氏力矩陣，給模態(tài)計算造成了一定的困難。在比例阻尼的條件下，采用主坐標轉換法，使原來相互耦合的微分方程解耦，化為一組可以各自獨立求解的方程，每個獨立方程便可視為一個模態(tài)單元系統(tǒng)。但對于一般非比例阻尼條件下，上述采用主模態(tài)振型矩陣作為坐標轉換矩陣來進行坐標轉換的方法不能使阻尼矩陣對角化，因而不能達到使振動微分方程解耦的目的。

忽略外力矩陣fRB，將式(10)做如下處理：

公式(11)可以寫成：

設Zmod=Ueλit，并代入公式(13)中化簡可得：

于是，上式有解的條件為系數(shù)行列式等于零，即：

計算公式(15)，可得一組特征值λi=α1±2πfnii及相應的一組系統(tǒng)固有頻率fni(i=1,2,…)。

2.2 轉子-葉片系統(tǒng)模態(tài)測試試驗

下面以轉子-葉片試驗臺為研究對象，研究轉子-葉片耦合系統(tǒng)的固有頻率。試驗臺如圖4(a)所示。從圖中可以看到，轉子-葉片試驗臺包括一個驅動電機，安裝在電機座上；電機和轉軸之間采用柔性聯(lián)軸器連接；軸的兩端分別是兩個滾珠軸承支撐；剛性盤安裝在兩個軸承中間，上面安裝有4個矩形葉片。實驗臺參數(shù)如表1和表2所示。

表1 轉子-葉片試驗臺參數(shù)表Tab.1 Parameters of rotor-blade test rig

表2 軸段參數(shù)表Tab.2 Parameters of shaft

圖4（b）為葉片-轉子系統(tǒng)模態(tài)測試系統(tǒng)，其包括LMS數(shù)據(jù)采集前端控制器、力錘（型號PCB086C01）以及輕質加速度傳感器（型號BK 4517，質量0.7g）。放置傳感器的測點如圖4（a）所示。測試的結果如表3所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，解析結果與試驗結果吻合較好，最大誤差為3.61%，出現(xiàn)在葉片1階彎曲頻率。分析原因可能是由于測試葉片較薄，傳感器質量對葉片產生較大的影響，使葉片的彎曲固有頻率降低，同時還存在一定的幾何尺寸和材料參數(shù)上的誤差。

圖4 轉子-葉片試驗臺及測試系統(tǒng)圖Fig.4 Rotor-blade test rig and test system

表3 仿真結果與試驗結果比較表Tab.3 Comparison between simulation and test

2.3 轉子-葉片系統(tǒng)固有頻率分析

圖5為轉子-葉片耦合系統(tǒng)的動頻曲線。在轉速的作用下，轉子-葉片耦合系統(tǒng)會受到陀螺效應、離心剛化、旋轉軟化以及科氏力的影響。從圖6中的曲線可以看出，轉子的扭轉頻率和平動頻率受轉速影響不大；而轉子的俯仰頻率成分以及圓盤左右軸段的彎曲頻率在陀螺效應的作用下，產生了正進動和反進動頻率：正進動頻率隨轉速的增加而增加，反進動頻率則隨轉速的增加而減小。葉片在旋轉態(tài)下的固有頻率主要受離心剛化、旋轉軟化以及科氏力的影響，其中，離心剛化的作用最為明顯，所以可以看到葉片彎曲固有頻率隨轉速的增加而增加。

圖5 轉子-葉片耦合系統(tǒng)Campbell圖Fig.5 Campbell diagram of rotor-blade system

圖6為圓盤半徑與固有頻率之間的變化曲線。從圖中可以看到，隨著圓盤半徑的增加，轉子的扭轉頻率、平動頻率以及俯仰頻率都會降低，其中，扭轉頻率和俯仰頻率下降的最為明顯。而葉片的頻率曲線則保持為一條數(shù)值不變的直線，這是由于在解析模型中，圓盤假設為完全剛性，所以圓盤的半徑對葉片頻率沒有影響。并且隨著圓盤半徑的變化，會出現(xiàn)頻率轉換現(xiàn)象(圖中虛線圓圈部分)。

圖7為軸的扭轉頻率隨圓盤半徑的變化曲線。從圖中可以看到，隨著旋轉系統(tǒng)中圓盤的半徑的增加，軸的扭轉頻率會降低。這種變化可以看作是圓盤半徑對軸扭轉頻率的一種軟化作用。并且從圖中還可以清楚的看到，轉速越大，這種軟化作用就越明顯。

圖6 固有頻率與圓盤半徑的變化曲線圖Fig.6 Curve of natural frequency plotted versus the radius of the disc

圖7 扭轉頻率與圓盤半徑之間的關系曲線圖Fig.7 Torsional frequency plotted versus the radius of the disc

3 結論

本文以轉子-葉片耦合系統(tǒng)為研究對象，采用能量法結合Hamilton變分原理，得到轉子-葉片系統(tǒng)的彎扭耦合運動微分方程。該運動方程除了考慮了葉片的截面特性和旋轉效應，同時還考慮了轉子陀螺效應的影響。

通過矩陣線性化得到系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣，同時搭建了轉子-葉片系統(tǒng)模態(tài)測試系統(tǒng)，通過對系統(tǒng)靜止狀態(tài)下的模態(tài)測試，發(fā)現(xiàn)本文模型結果與試驗結果誤差都在4%以內，驗證了本文模型的正確性。對動力學方程進行解耦，得到了系統(tǒng)的Campbell圖。通過對耦合頻率的分析發(fā)現(xiàn)，隨著圓盤半徑的變化，會出現(xiàn)頻率轉換現(xiàn)象。并且圓盤半徑對軸扭轉固有頻率會產生一種軟化作用，這種作用會隨轉速升高而變得更加明顯。

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Natural Characteristics Analysis and Experimental Research of a Rotor-blade System

Xing-yu Tai1Shu-huaYang1Hui Ma2,3Hong-chen Li1Ji-gang Meng1
(1.Shenyang Blower Works Group Corporation; 2.Schoolof Mechanical Engineering&Automation,Northeastern University; 3.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures)

A differential equation of motion coupling bending and torsional vibrations of the rotor-blade system is formulated using the energy method and lumped mass method.The gyroscopic effects of the rotor involving the shaft and disk, and the centrifugal stiffening,spin softening and coriolis force of the blades are considered in this model.The Campbell diagram is obtained by solving the eigenvalue equation.The modal test system is set up and the validity of the mathematical model is verified by comparing the test with the simulation result.The effect of the radius of the disk on natural frequency is also analyzed in the paper.The results show that the frequency veering can be found changing the radius of the disk.Moreover, the softening effect of the radius of the disk on the torsional frequency can be produced,which will be more obvious with the increasing rotational speed.

rotor-blade system，natural frequency，modal test system，bending-torsional coupling，Campbell diagram

TH452；TK05

1006-8155（2017）02-0029-07

A

10.16492/j.fjjs.2017.02.0006

遼寧省博士啟動基金（201501081），《天然氣液化用大型混合冷劑壓縮機研制》項目(工信部聯(lián)裝[2014]500號)，機械結構強度與振動國家重點實驗室開放課題（SV2015-KF-08）

20176-01-01 遼寧 沈陽 110869