第32屆CMO平面幾何題探源

陳 婧

江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué) (210000)

第32屆CMO平面幾何題探源

陳 婧

江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué) (210000)

圖1

原題 如圖1，AY是ΔABC的高，AZ是ΔABC的外接圓⊙O的直徑，且AZ與BC相交于點(diǎn)X.求證：AB·AC=AY·AZ．

這是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-1《幾何證明選講》中的一道經(jīng)典例題，由于從三角形一個頂點(diǎn)所作外接圓的直徑和對邊上的高恰巧是這個內(nèi)角的兩條等角線(外心與垂心是等角共軛點(diǎn))，所以本例題備受奧賽命題專家與數(shù)學(xué)愛好者的青睞．下面，讓我們來看看它是如何演化為2016年第32屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO冬令營)平面幾何試題的.

圖2

如圖2(在圖1的基礎(chǔ)上)，作RtΔAXY的外接圓⊙O′(直徑為AX)，由OO′=OA-O′A，知⊙O與⊙O′內(nèi)切于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作⊙O與⊙O′的外公切線AT交直線BC于點(diǎn)T，設(shè)直線TO與⊙O交于點(diǎn)P、Q，則由射影定理與切割線定理得，TX·TY=TA2=TB·TC=TP·TQ，故P、Q、X、Y四點(diǎn)共圓．

反之，設(shè)PQ是⊙O的任意一條直徑，且PQ所在直線與直線BC交于點(diǎn)T′，當(dāng)P、Q、X、Y四點(diǎn)共圓(此圓設(shè)為⊙O″)時，由根心定理可知，⊙O與⊙O′的外公切線AT、⊙O′與⊙O″的公共弦XY所在直線以及⊙O與⊙O″的公共弦PQ所在直線交于點(diǎn)T(根心)，即點(diǎn)T′與點(diǎn)T重合．

圖3

如圖3(在圖2的基礎(chǔ)上)，過點(diǎn)T作⊙O的另一條切線TS(S為切點(diǎn))，連結(jié)AS，交PQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，即知TO⊥AS于點(diǎn)E，從而知TE·TO=TA2=TB·TC，故B、O、E、C四點(diǎn)共圓．設(shè)分別過點(diǎn)B、C且與⊙O相切的直線交于點(diǎn)L，連結(jié)OB、OC、OL，注意到∠OBL+∠OCL=180°，即知B、O、C、L四點(diǎn)共圓且OL為該圓的直徑，于是B、O、E、C、L五點(diǎn)共圓．連結(jié)EL，則∠OEL=90°=∠OES，故A、E、D、S、L五點(diǎn)共線．

設(shè)想點(diǎn)I在直徑PQ上，且P、Q、X、Y四點(diǎn)共圓(特殊化試探)，則點(diǎn)T′與點(diǎn)T重合，注意到AL⊥OT，AL⊥IT，結(jié)合調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束的性質(zhì)知，AL為T關(guān)于圓I的極線，從而知圓I與BC的切點(diǎn)在極線AL上，故點(diǎn)D為切點(diǎn)，即A、D、L三點(diǎn)共線.

反之，設(shè)想點(diǎn)I在直徑PQ上，且A、D(D為圓I與BC的切點(diǎn))、L三點(diǎn)共線(特殊化試探)，則B、D、C、T′為調(diào)和點(diǎn)列，故AD為T′關(guān)于圓I的極線，于是OT′⊥AL，IT′⊥AL，從而O、I、T′三點(diǎn)共線，進(jìn)而知點(diǎn)T′與點(diǎn)T重合，于是P、Q、X、Y四點(diǎn)共圓．

通過上面的討論，即可生成2016年11月在湖南長沙市雅禮中學(xué)舉行的第32屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO冬令營)第2道賽題(平面幾何題)：

賽題 如圖4，銳角ΔABC中，外心為O，內(nèi)心為I，過點(diǎn)B、C作外接圓的切線交于點(diǎn)L，內(nèi)切圓切BC于點(diǎn)D，AY垂直BC于點(diǎn)Y，AO交BC于點(diǎn)X.PQ為過點(diǎn)I的圓O的直徑.求證：P、Q、X、Y四點(diǎn)共圓等價于A、D、L三點(diǎn)共線.

圖4