對(duì)一道高三期末試題的推廣*

劉 剛 趙 毅

北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

對(duì)一道高三期末試題的推廣*

劉 剛 趙 毅

北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

在2017年1月北京市東城區(qū)高三期末理科數(shù)學(xué)出了這樣一道試題：

(1)求橢圓C的方程；

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及以橢圓一組共軛直徑為背景的線段比值問(wèn)題，考查了坐標(biāo)法的應(yīng)用．經(jīng)過(guò)對(duì)(2)問(wèn)的一般化探究，可以得到下面的結(jié)論．

分析1:先設(shè)出點(diǎn)A，B，Q的坐標(biāo)，然后表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用B，Q，P三點(diǎn)共線進(jìn)一步表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)Q在橢圓C上，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)整體代入橢圓C的方程進(jìn)行求解，體現(xiàn)了設(shè)而不求、整體替換的數(shù)學(xué)方法．

分析2:把涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)借助橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行表示，然后進(jìn)一步求解，參數(shù)法是解決圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題的重要與常用方法．

分析3：由于橢圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)伸縮變換可以變?yōu)閳A，而圓有著很多幾何性質(zhì)，因此借助圓利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行解決，可以避免繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化．

圖1

在解題時(shí)，我們要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，嘗試著從不同角度進(jìn)行思考、拓展，提倡多解、多變，這樣才能將一道試題的價(jià)值發(fā)揮到最大化，從而有效提高復(fù)習(xí)效率．

[1]劉剛，趙毅．一道高考模擬試題的探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，11．

[2]劉剛，趙毅．一道高考模擬圓錐曲線試題的探究與啟示[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，12．

*本文系北京市豐臺(tái)區(qū)"十三五"重點(diǎn)課題《新課程背景下高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)研究》(課題批準(zhǔn)號(hào)：2016237-J)階段成果之一．