策略性等待下Y型瓶頸的單步擁堵收費模型

張夢婷，丁建勛,2，鄭楊邊牧，龍建成

(1. 合肥工業(yè)大學汽車與交通工程學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

【交通運輸】

策略性等待下Y型瓶頸的單步擁堵收費模型

張夢婷1，丁建勛1,2，鄭楊邊牧1，龍建成1

(1. 合肥工業(yè)大學汽車與交通工程學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

本文針對包含至少一個上游瓶頸路段和一個共用的下游瓶頸路段的Y型交通路網(wǎng)，研究了策略性等待單步收費條件下早高峰期間通勤者的出行行為和最優(yōu)道路擁擠收費方案。基于出行者的出發(fā)時間選擇遵循用戶均衡準則的假設，推導出了不同匯合規(guī)則下用戶均衡的流入率和個人出行成本。依據(jù)出行者的出發(fā)時間選擇規(guī)律，進一步推導出了最優(yōu)的道路擁擠收費時段和費率。研究發(fā)現(xiàn)，策略性等待單步收費可以有效降低交通網(wǎng)絡的系統(tǒng)總阻抗，但可能會增加出行者的個人出行成本。此外，還發(fā)現(xiàn)收費的有效性不但與匯合規(guī)則有關(guān)，還取決于上下游瓶頸路段通行能力的相對大小。該研究驗證了Y型交通路網(wǎng)上存在Braess詭異現(xiàn)象，即擴大上游路段的瓶頸通行能力可能會引起系統(tǒng)總出行成本的增加。

道路擁擠收費；Y型瓶頸；策略性等待；單步收費模型；出發(fā)時間選擇

隨著城市化進程的加快，城市機動車擁有量不斷增長，但與此同時城市道路的通行能力卻無法隨車輛的增加而擴充，兩者之間的矛盾導致了嚴重的道路擁堵問題，影響著人們的工作和生活，也制約著城市的有效發(fā)展。

國外對交通擁堵問題研究的較早，Vickrey[1]于1969年首次應用確定性排隊理論構(gòu)建了單通道“經(jīng)典瓶頸模型”，并運用模型計算出基于時間變化的收費方案以消除瓶頸處的排隊。而后,許多學者針對這一開創(chuàng)性工作進行擴展研究，一方面，考慮到時變收費方案在現(xiàn)實中實施難度大，有些研究者開始尋找其替代方案[2-5]；另一方面，學者們對“經(jīng)典瓶頸模型”中過于理想化的假設條件(如假設所有出行者是均質(zhì)的、道路通行能力恒定不變、出行需求固定、僅存在單一瓶頸通道等)進行了修正，開始考慮出行需求變動[6]、出行者異質(zhì)[7]、瓶頸路段通行能力變化[8-9]等。Kuwahara[10]首次建立了兩個串聯(lián)型瓶頸模型。Arnott等[11]分析了Y型通勤廊道中不允許晚到情況下的出行行為，研究發(fā)現(xiàn)Y型瓶頸模型中會出現(xiàn)Braess詭異現(xiàn)象，即上游瓶頸路段通行能力擴大將會使得系統(tǒng)總出行成本增大。

國內(nèi)許多學者也就交通擁堵問題做了許多有意義的工作。Yang等[12]利用最優(yōu)控制理論探討了出行需求變動下的時變收費方案。朱廣芹等[13]基于博弈論的分析方法，設計了基于博弈模型的擁堵收費算法。吳子嘯等[14]從經(jīng)典瓶頸模型入手，論述了道路系統(tǒng)達到最優(yōu)使用狀態(tài)的可能性及措施，由此提出了動態(tài)收費策略并討論了該策略在我國道路系統(tǒng)中的應用。Xiao等[15]在單步擁堵收費方案下觀察到出行者的策略性等待行為，并推導出此情形下最優(yōu)的收費水平和收費時段。Xiao等[16]進一步擴展Arnott等[11]的研究成果，在考慮下游瓶頸路段通行能力隨機變化的基礎上，分析了兩種不同匯合策略下出行者的出行行為。

綜上所述，已有的研究主要集中于單一瓶頸模型假設條件的拓寬或擁堵收費策略的探討，缺乏流量匯合的Y型通勤廊道的擁堵收費研究。本文基于已有研究成果，建立了策略性等待下Y型瓶頸的單步擁堵收費模型，通過研究Y型瓶頸通勤廊道早高峰期間出行者的出行行為，推導出最優(yōu)的道路擁擠收費方案，并對方案的實施效果進行了驗證。

1 Y型瓶頸模型簡介

圖1 Y型瓶頸模型結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure diagram of Y shaped bottleneck model

與單一瓶頸模型[1]一樣，我們在瓶頸處采用點排隊模型，即不考慮車輛排隊的物理長度。于是，t時刻瓶頸i處的排隊長度可以表示為：

(1)

出行者從居住地到工作地的出行時間包括自由流走行時間和排隊等待時間，其中，自由流走行時間與出發(fā)時間無關(guān)，為出行時間中的固定成分。不失一般性，我們假設每條路段的自由流走行時間為0。于是，各OD對出行者的總出行時間可表示為

(2)

不收費時，出行者的出行成本由出行時間成本和計劃延誤成本(上班早到或晚到的延誤成本)兩部分構(gòu)成，即

(3)

其中，α、β和γ分別為單位出行、單位早到和晚到時間費用。根據(jù)實證研究[17]有γ>α>β。

2 策略性等待單步收費下的均衡

由出行者的出行費用分析可知，出行者在不收費情形下需要在出行時間成本和計劃延誤成本之間做出權(quán)衡，選擇最佳的出發(fā)時間以最小化個人出行費用。當沒有出行者可以通過單邊改變其出發(fā)時間來減小他的出行成本時，系統(tǒng)則達到用戶均衡(UE)狀態(tài)。在UE狀態(tài)下，同一OD對的出行者具有相等且最小的出行成本。Xiao等[16]詳細分析了GW和FR兩種匯合規(guī)則下，下游路段瓶頸通行能力隨機變化時出行者在UE均衡狀態(tài)下的通勤出行行為。當瓶頸通行能力隨機性降低為0時，可以得到確定性Y型瓶頸模型。

與不收費條件下的均衡分析一樣[16]，我們分別研究GW和FR兩種匯合規(guī)則下策略性等待單步收費對出行者均衡時的流入率及個人出行成本的影響，進而依據(jù)出行者的出發(fā)時間選擇規(guī)律確定最優(yōu)的道路擁擠收費時段和費率。

2.1 GW匯合規(guī)則

情形A1 :s1>s3

如圖2所示，我們將從起點O1出發(fā)的出行者高峰出行時間劃分為6段：(I)僅起點O1的出行者出行；(II) 起點O2的出行者開始出行；(III)收費開始前無出行者出行；(IV)起點O1的出行者在收費時段內(nèi)出行；(V)起點O2的出行者完成出行；(VI)起點O1的出行者結(jié)束出行。下面就起點O1的出行者在各個階段的出行行為進行分析。

圖2 情形A1用戶出行示意圖(累計到達、離開)Fig.2 User equilibrium departures in case A1(cumulative arrivals and cumulative departures)

根據(jù)定義，我們有：

(4)

(5)

(6)

根據(jù)UE均衡準則，由(6)式可以得到策略性等待單步收費下出行者的個人出行成本：

(7)

(8)

其中：

情形A2 ：s1≤s3

(9)

此外，起點O1的出行者的個人出行成本為：

(10)

與情形A1類似，可以求得最優(yōu)的收費水平為：

(11)

2.2 FR匯合規(guī)則

情形B1 ：s1>s3

(12)

其中，t5為起點O2中第一個收費通過瓶頸3的出行者的出發(fā)時間。

受匯合規(guī)則影響，以下時間點的個人出行成本與情形A1有所不同:

(13)

根據(jù)(12～13)式，可以求解得到該情形下的臨界時間點。結(jié)果表明除了以下時間點發(fā)生改變外，其他時間點與(6)式相同：

(14)

其中，φ=(α+γ)(s1+s2)-αs3。

(15)

利用最優(yōu)性條件可以推導出此種情形下最優(yōu)的收費水平為：

(16)

情形B2：s1≤s3

(17)

此時，起點O2的出行者的個人出行成本與同等條件不收費情形下保持相同。由(17)式可以求出起點O1的出行者個人出行成本為：

(18)

進一步利用最優(yōu)性條件，可以得出此情形下最優(yōu)的收費水平：

(19)

式中

定理1 當s1>s3時，無論在哪種匯合規(guī)則下，策略性等待單步收費條件下兩個OD對的出行者的個人出行成本較同等條件下不收費情形都有所增大，而系統(tǒng)總出行成本與不收費均衡相比則有所減小。

證明 在GW匯合規(guī)則下，根據(jù)(7)和Xiao等[16]的研究結(jié)果可得:

由此可判定TCn-TCc>0。

定理2 當s1≤s3時，無論在哪種匯合規(guī)則下，策略性等待單步收費條件下起點O2的出行者的個人出行成本與同等條件不收費情形相同，起點O1出行者的個人出行成本較同等條件不收費情形有所增大，而系統(tǒng)總出行成本與不收費均衡相比則有所減小。

此時，兩種收費方案下系統(tǒng)總出行成本差值為

把φ和k4的表達式帶入k6并整理，可得

由前面分析可知s1+s2-s3>0, 故k6>0, 從而TCn>TCc成立。

3 算例

本節(jié)采用一個數(shù)值算例來驗證前面的理論分析結(jié)果。我們采用的模型參數(shù)設置為：N1=1 000(輛)，N2=500(輛)，α=6.4(元/時)，β=3.9(元/時)，γ=15.21 (元/時)，t*=9(時)，s2=800(輛/時)，s3=800(輛/時)。上游路段1的瓶頸通行能力分兩種情況進行考慮：(1)s1>s3，s1=1 000(輛/時)； (2)s1≤s3,s1=800(輛/時)。

圖3給出當s1>s3時，兩種匯合規(guī)則下，上游路段的流入率隨時間的變化情況。從圖3可知，上游兩個路段的流入率隨匯合規(guī)則的不同而有所不同。在不收費的GW匯合規(guī)則下，路段2的流入率在其出行時間內(nèi)恒定不變；而路段1的流入率隨出行時間分段恒定。具體表現(xiàn)為：在高峰期前期r1(t)>s1，各瓶頸處的排隊長度呈線性上升；在起點O2的出發(fā)時間段內(nèi)，r1(t)=s1；高峰期后期r1(t)

圖3 Y型交通路網(wǎng)上游路段的流入率Fig.3 The inflow rate of upstream bottleneck link in Y shaped traffic network

圖4給出兩種匯合規(guī)則下的個人出行成本和系統(tǒng)總出行成本隨路段1的通行能力s1的變化關(guān)系。可以發(fā)現(xiàn)：當s1≤s3時，起點O1的出行者的個人出行成本隨s1的增大而減?。划攕1>s3時，起點O1的出行者的個人出行成本隨s1的增大而增大。不同的是，起點O2的出行者的個人出行成本一直隨s1的增大而增大；還可以觀察到系統(tǒng)總出行成本的變化趨勢取決于不同的匯合規(guī)則。當s1>s3時，在GW匯合規(guī)則可能會引起B(yǎng)raess詭異現(xiàn)象，即增大路段1的通行能力s1反而使得系統(tǒng)總出行成本增大。相反，在FR匯合規(guī)則下策略性等待收費策略能有效減小總出行成本。

圖4 單步收費下的個人出行成本和系統(tǒng)總出行成本隨上游路段1通行能力的變化情況Fig.4 Variation of the individual cost and system total cost with the change of capacity of upstream link 1 under the single-step toll

圖5給出了兩種匯合規(guī)則下，當s1=1 000(輛/時)時,兩個OD對的出行者的個人出行成本和系統(tǒng)總出行成本隨下游路段通行能力s3的變化關(guān)系?？梢钥吹?，無論在哪種匯合規(guī)則下，兩OD對的個人出行成本和系統(tǒng)總出行成本都隨下游瓶頸通行能力的增大而減小。因此，在策略性等待單步收費條件下擴大下游路段的瓶頸通行能力對于出行者個人和整個系統(tǒng)都是有益的。

圖5 單步收費個人出行成本及系統(tǒng)總出行成本隨下游路段3通行能力的變化情況 Fig.5 Variation of the individual cost and system total cost with the change of capacity of downstream link 3 under the single-step toll

圖6給出了兩種匯合規(guī)則下的策略性等待單步收費帶來的系統(tǒng)總出行成本減少量隨路段1的通行能力的變化關(guān)系?？梢钥吹剑瑪U大路段1的瓶頸通行能力有利于增強單步收費策略的實施效果。當路段1的通行能力較小時，GW匯合規(guī)則下實行單步收費對于緩解系統(tǒng)擁堵更為有效；但隨著通行能力不斷擴大，F(xiàn)R匯合規(guī)則對于減少系統(tǒng)總出行成本效果更為顯著。

圖6 系統(tǒng)總出行成本的減少量隨上游路段1通行能力的變化情況Fig.6 Variation of the system total cost reductionwith the change of capacity of upstream link 1

4 結(jié)論

本文研究了早高峰期間Y型通勤廊道下游路段實行策略性等待單步收費時的出行者的出行行為，并給出了最優(yōu)收費方案，以緩解由于通行能力限制帶來的交通擁堵?；赬iao等[16]設計的匯合規(guī)則，分析了不同匯合規(guī)則對用戶出行行為的影響。在出行者的出發(fā)時間選擇遵循用戶均衡準則假設下，推導得到了不同的匯合規(guī)則下用戶均衡的流入率、臨界的時間點以及個人出行成本。在收費的刺激下，出行者通過調(diào)整出發(fā)時間以最小化個人出行成本，導致系統(tǒng)最早出發(fā)時間提前，最晚出發(fā)時間推后，從而使得整個早高峰出行時間延長。同時，進一步確定了不同匯合規(guī)則下的最優(yōu)道路擁擠收費時段和費率。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與不收費均衡解相比，策略性等待單步收費方案可能會增大出行者的個人出行成本，但是能夠有效降低系統(tǒng)總出行成本，本文的研究可以為制定合理的Y型交通路網(wǎng)上的道路擁堵收費策略提供理論依據(jù)。本文假設通行能力固定不變，且出行者都是均質(zhì)的，這可能與實際情況存在一定差異，因此，今后將考慮出行者異質(zhì)和隨機通行能力等情況，以進一步優(yōu)化此方案。

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The single-step congestion toll model of Y-shaped bottleneck under tactical waiting

ZHANG Meng-ting1, DING Jian-xun1,2, ZHENG-YANG Bian-mu1, LONG Jian-cheng1

(1.School of Automative and Transportation Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-Making Ministry of Education, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

∶In this paper, according to the Y-shaped traffic network containing at least one upstream bottleneck and a common downstream bottleneck, the departure time choice behavior and the optimal road congestion pricing scheme during morning peak hours were investigated under tactical waiting and single step toll. Based on the assumption that the departure time choice followed the user equilibrium (UE) principle, the equilibrium departure rate and individual trip cost under different merging rules were derived. According to the departure time choice behavior, the optimal road congestion charging period and toll level were further derived. Research showed that the proposed pricing scheme could effectively decrease the total congestion of the traffic network system, however, it might lead to the increase in individual trip cost. In addition, it also found that the effectiveness of the proposed pricing scheme not only depended on the merging rules, but also depended on the relative magnitudes of the capacities of the upstream and downstream bottlenecks. Finally, the results showed that there was Braess paradox in the Y-shaped traffic network, which meant that the total system travel cost could be increased when the capacity of the upstream bottleneck was increased.

∶road congestion pricing；Y-shaped bottleneck；tactical waiting；single-step toll model；departure time choice

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.02.011

2016-12-27

中國博士后科學基金(2014T70588，2013M530295)；國家自然科學基金(71201041，71371026， 71431003)

張夢婷(1992—)，女，碩士研究生，研究方向為交通擁堵收費。E-mail：18855170302@163.com

U491

A

1002-4026(2017)02-0067-11