一種剪滯翹曲位移函數的解析構造法

肖 軍， 李小珍， 劉德軍， 劉晨光， 肖 林

(1．西南交通大學 土木工程學院，成都 610031； 2.四川建筑職業(yè)技術學院，四川 德陽 618000)

一種剪滯翹曲位移函數的解析構造法

肖 軍1， 李小珍1， 劉德軍1， 劉晨光2， 肖 林1

(1．西南交通大學 土木工程學院，成都 610031； 2.四川建筑職業(yè)技術學院，四川 德陽 618000)

針對剪力滯問題，提出了一種解析的求解方法. 通過對控制微分方程解的形式進行研究，構造出一種針對不同余弦剪力分布的剪滯翹曲函數；進而對任意給定的外荷載作用下的剪力分布進行級數展開，并單獨求取各剪力分量對應的正應力；最終通過對正應力進行疊加并求取剪力滯分布. 采用能量變分法推導了基于任意剪滯翹曲位移函數的求解公式，并編制了通用求解程序. 分別以矩形簡支箱梁(不帶懸臂板)受集中荷載和帶懸臂箱梁受均布荷載為例，進行了計算對比. 研究表明：相比于已有方法，所提出的方法對不同荷載作用形式具有更好的適應性，且由于是采用級數展開的思想，適用于任意荷載作用情況下的剪力滯分析.

剪力滯效應；位移函數；解析法；能量變分；級數展開

在采用能量變分法進行箱梁剪力滯分析時，多數研究者是在假定剪滯翹曲位移函數形式的基礎上建立控制微分方程并求解的. Reissner早期研究矩形雙軸對稱箱梁剪力滯問題時，假定剪滯翹曲位移函數為二次拋物線型式[1]. 文獻[2-5]分別采用三次拋物線、四次拋物線、五次和六次拋物線等. 采用不同的剪滯翹曲位移函數進行剪力滯分析，主要存在如下兩個問題：1)由于在采用變分法建立控制微分方程時，仍然假定截面中性軸通過截面形心，而實際上由于剪力滯效應的存在，截面的中性軸位置與截面形心發(fā)生了偏離，則截面中性軸仍通過截面形心的假設將導致分析中包含附加軸力的影響[6]；2)由于控制微分方程的建立是基于具體剪滯翹曲位移函數的，其分析精度明顯地受剪滯翹曲函數的影響.

針對附加軸力問題，文獻[7]通過引入軸力平衡條件來考慮截面中性軸和形心軸重合所產生的附加軸力影響. 文獻[6]通過對典型的簡支梁、懸臂梁和連續(xù)梁在集中力和均布荷載作用下的附加軸向應力比進行分析，結果表明，附加軸向應力相對較小，對拋物線型翹曲位移函數進行考慮軸力平衡的修正是沒有必要的.

針對剪滯翹曲位移函數的選取問題，以往采用變分法對剪力滯的研究，大多都是基于具體的剪滯翹曲函數開展的. 然而，剪力滯的分布規(guī)律顯著地受結構形式、截面剛度分布及荷載作用形式和位置的影響[8-11]；針對不同的情況，剪滯翹曲位移函數的形式不是通用的，且通常采用不同的形式會帶來較大的誤差. 為此，本文通過對采用變分法建立的剪力滯控制微分方程的分析，從微分方程通解的形式出發(fā)構造出了一種剪力滯解析分析方法. 通過與矩形試驗梁在集中荷載作用下剪力滯系數的對比，及帶翼緣箱梁在均布荷載作用下的板殼有限元分析結果對比，驗證了本文提出的解析法的合理性.

1 剪滯翹曲位移函數及其影響

變分法求解剪力滯問題的核心是剪滯翹曲位移函數的選取. 對于薄壁矩形雙軸對稱箱梁而言，在頂底板厚度相同的情況下，引起剪力滯效應的翼緣板橫向剪切變形也具有雙對稱性. 因此，不加修正的二次拋物線型剪滯翹曲位移函數對于不帶翼緣的矩形箱梁剪力滯分析是十分精確的. 然而，對于帶懸臂板的箱梁而言，由于上下對稱性的缺失，使得截面中性軸與形心不再重合. 文獻[12-13]引入僅與截面幾何參數有關的修正系數，分別構造了底板和懸臂板的剪滯翹曲位移函數，并引入附加軸向位移來考慮由于中性軸和形心不重合而引起的附加軸力影響.

式中：Zs、Zx分別為頂、底板中心距中性軸的距離；b1、b2、b3分別為頂板(不含懸臂部分)寬度、臂板寬度及底板寬度的1/2；A2/A1為懸臂板與內側頂板面積的比值；As、Ax分別為頂板和底板的面積；y為橫橋向坐標，z為縱橋向坐標.

為研究不同的剪滯翹曲位移函數對剪力滯求解結果的影響，以文獻[15]中的試驗梁為例，分別給出基于不同剪滯翹曲位移函數的分析結果與實測值的對比. 試驗簡支梁跨徑為0.8m，采用集中荷載對稱地施加在跨中截面，荷載總量為0.272 2kN，材料彈模為E=3 000MPa，泊松比0.385，板中面的應變取上、下測點的平均值. 試驗梁截面尺寸及測點布置示意如圖1所示.

圖1 試驗梁截面尺寸及測點布置(cm)

Fig.1 Sketch map of the section size and measuring point layout of the test beam (cm)

采用不同的剪力滯位移函數形式，求解得到的箱梁正應力分布如圖2所示，圖中橫軸y/bu為測點到頂板中心距與頂板半寬之比.

圖2 不同位移函數下的剪力滯分析結果對比

Fig.2 Comparison of the shear lag analysis results under different displacement functions

顯然，從圖2可見，基于不同的剪滯翹曲位移函數形式求解得到的正應力分布存在較大的差異. 從本例看，在懸臂端部，二次拋物線形式和余弦函數形式與實測值對比較好；但在頂板中部，卻是三次和四次拋物線形式更接近實測結果. 由此可見，對于采用何種位移函數能夠更為合理地描述剪力滯的分布規(guī)律，值得研究.

2 剪力滯解析求解思路

如前所述，在采用變分法求解剪力滯問題時，分析的精度顯著地受剪滯翹曲位移函數的影響. 因而，如何選取合適的剪滯翹曲位移函數的形式成為變分法求解剪力滯問題的關鍵. 本節(jié)將從控制方程的形式出發(fā)構造更為合理的剪滯翹曲位移函數. 為此，采用抽象函數作為剪滯翹曲函數，利用能量變分法導出控制微分方程及邊界條件分別為

(1)

(2)

為便于解析求解，采用文獻[16]級數展開的思路，首先假定剪力以沿橋縱向呈余弦分布，即

文獻[17]根據微分方程的形式導出了縱向位移函數的形式為

un(x,y)=Cn·cosαnx·(coshAny-coshAnb).

(5)

在沿橋縱向剪力Q(x)=qncosαnx分布下，同時考慮到g(y)|y=b=g(y)|y=-b=0，g(y)|y=0=1，故而本文構造如下形式的剪滯翹曲位移函數，即

基于以上分析，本文提出如下的解析求解思路：

1)根據外荷載q的分布形式，求出剪力Q(x)的分布形式.

2)將剪力Q(x)進行三角級數展開，即

3)針對不同的Qn(x)，采用式(6)所構造的剪滯翹曲位移函數進行正應力求解.

4)疊加步驟3)所求解的所有正應力，并求解剪力滯系數.

對于沿簡支梁橋縱向作用均勻布載或者集中荷載的情況，Q(x)的分布如圖3所示.

(a)均布荷載

(b)集中荷載

Fig.3 Shear force distribution diagram of the simple supported beam bridge

根據式(8)可分別導出簡支梁受均布荷載qn為

簡支梁跨中受集中荷載qn為

3 基于任意剪滯翹曲位移函數的分析

3.1 剪力滯控制微分方程推導

鑒于求解不同的剪力分布Qn(x)的剪力滯問題時，需要采用不同的剪滯翹曲位移函數，見式(6)，因而推導基于抽象剪滯位移函數的剪力滯控制微分方程及有關公式是有重要意義的，這將極大地方便本文解析法的數值求解. 為此，本節(jié)將給出采用抽象函數作為剪滯翹曲位移函數推導的有關公式.

首先，引入如下3個位移函數，即梁的豎向撓度w(x)和縱向位移uu(x,y)，ub(x,y)，分別為

式中：uu(x,y)為頂板縱向位移；ub(x,y)為底板縱向位移；u(x)為截面上沿橫向不同位置各點剪切轉角的最大差值；gu(y)、gb(y)分別為u(x)在y方向上的分布函數，反應縱向位移沿橫向的不均勻分布. 其他符號含義如圖4所示.

圖4 箱梁幾何參數

其次，基于最小勢能原理對總勢能變分可建立如下的控制微分方程(推導過程從略)：

經驗證，本文所推導的控制方程，不顯含剪滯翹曲位移函數，但當代入具體的剪滯翹曲位移函數形式時，其形式等同于直接采用該型剪滯翹曲位移函數進行變分推導的結果.

方程(14)的一般解可寫為

u(x)=C1sinhkx+C2coshkx+u*,

(15)

式中：C1、C2為待定常數，與邊界條件有關，u*為僅與剪力Q(x)相關的特解.

3.2 余弦荷載作用下的解的形式

由于本文分析剪力滯的思路，需要首先將剪力分布按照級數進行展開，如式(9)、(10). 針對任一余弦剪力分布Qn(x)=qncosαnx，控制微分方程式(14)變?yōu)?/p>

可構造如下形式的特解

(18)

(19)

由邊界條件u′|x=0=0,u′|x=l=0可以導出

(21)

4 算例分析

4.1 集中荷載下的剪力滯分析

為驗證本文思路的正確性，選取彈模為E=304GPa，泊松比為0.3，計算跨徑為1 000mm的簡支箱梁(如圖5所示)，在跨中作用集中荷載P=6kN，進行剪力滯分析[17]. 將分析結果與文獻[18]的試驗結果等進行對比，如圖6所示.

(a) 計算圖示 (b)截面參數

圖5 集中荷載試驗梁參數(mm)

Fig.5 Parameters of the test beam under concentrated load (mm)

圖6 集中荷載作用下頂板剪力滯系數對比

Fig.6 Comparison of shear lag coefficient of the roof under concentrated load

需要說明的是，圖6中實測數據僅1～4號點是由真實試驗測得的，5號點是通過1～4號點外推得到的，這主要是考慮到5號點位于腹板位置處，通常該位置是剪力滯系數最為顯著的位置. 從圖6可見，本文基于解析位移函數的剪力滯分析結果同文獻[17]的分析結果基本一致，且與實測值吻合較好；同時，三次、四次函數的分析結果也較好，但采用二次函數的求解結果較差，腹板內側(靠近頂板中線)的分析結果明顯偏小. 表1列出了關鍵位置處的剪力滯系數分析結果對比.

表1 集中荷載作用下關鍵位置處的剪力滯系數對比

Tab.1 Comparison of shear lag coefficient at the critical locations under concentrated load

測點編號剪力滯系數文獻[17]文獻[18]本文解析二次函數三次函數10.8760.770.7690.6940.76320.8820.8140.8150.7820.79231.0120.9630.9631.0681.01041.4351.2921.2931.3741.37651.5881.5841.5851.4731.511

4.2 均布荷載下的剪力滯分析

接下來，對帶有懸臂板的箱梁受均布荷載的情況作進一步的算例驗證. 選取的算例及有限元分析結果參考的是文獻[11]，其中彈性模量為E=30GPa，計算跨徑為4.0m，泊松比為0.2，作用均布荷載為q=2 000N/m，其他截面參數如圖7所示.

(a) 計算圖示

(b)截面參數

Fig.7 Parameters of the example beam under uniformly distributed load (m)

采用不同剪滯翹曲位移函數進行剪力滯分析，對比不同位置(位置編號見圖7)的剪力滯系數的分布，如圖8所示.

圖8 均布荷載作用下頂板剪力滯系數對比Fig.8 Comparison of shear lag coefficient of the roof under uniformly distributed load

對圖8中所示的關鍵位置處的剪力滯系數列表對比，如表2所示.

表2 均布荷載作用下關鍵位置處的剪力滯系數對比

Tab.2 Comparison of shear lag coefficient at the critical locations under uniformly distributed load

測點編號剪力滯系數文獻[17]文獻[18]本文解析二次函數三次函數10.9450.9650.9710.9770.98120.9610.9770.9830.9820.98331.0131.0151.0171.0151.01240.9740.9870.9920.9880.98750.9620.970.9760.9790.98160.960.9650.9710.9770.981

由圖8及表2可見，在均布荷載對稱作用下，本文解析結果更為接近文獻[11]的有限元分析結果，且三次、四次函數的分析結果差于二次函數的分析結果，這一點與集中荷載情況下的分析結果不同. 因而，僅從本文所涉及的兩個算例來看，本文提出的解析法對集中荷載和均布荷載作用具有更好的適應性.

5 結 論

1)從剪力滯控制微分方程解的形式出發(fā)，構造了針對余弦剪力分布的剪滯翹曲位移函數，并以此為基礎，通過對任意剪力分布進行級數展開來求解任意剪力分布的剪力滯問題.

2)分別以不帶懸臂的矩形箱梁受集中荷載作用及帶懸臂箱梁受均布荷載作用為例，通過分析對比，發(fā)現本文解析方法對各種情況下的剪力滯問題適應性均較好；僅就文中的算例而言，三次及四次函數對集中荷載作用情況下的剪力滯分析效果較好，而二次函數分析效果較差；針對均布荷載，則二次函數分析效果較好，三次、四次函數分析效果較差.

3)由于本文采用的是級數展開的思想，因而適用于任意剪力分布情況下的剪力滯分布計算.

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(編輯 魏希柱)

An analytical construction method of wraping displacement function of shear lag

XIAO Jun1, LI Xiaozhen1, LIU Dejun1, LIU Chenguang2, XIAO Lin1

(1.School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China；2.Sichuan College of Architectural Technology, Deyang 618000, Sichuan, China)

An analytical solution method was proposed to solve the problem of shear lag. A new shear lag warping function for the shear distribution of different cosine was constructed based on the solution of the governing equations. The trigonometric series were used to expand the shear distribution function under any given external loads, and the normal stress corresponding to each shear component was obtained separately. Finally, the superposition of normal stress was obtained and the distributions of shear lag were calculated. The energy variation method was used to derive the solution formulas based on the arbitrary warping displacement functions of shear lag effect, and a general solution procedure was developed. A rectangular simply supported box beam without cantilever plate under concentrated load and a box beam with cantilever plate under distributed load were analyzed. The calculation results show that the solution method proposed in this study could adapt well with different types of loads compared with the existing methods, and it could be effectively used for shear lag analysis of box beams subjected to arbitrary loads.

shear lag effect; displacement function; analytical solution; energy variation method; series expansion

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.03.026

2016-02-17

國家自然科學基金 (51308467)

肖 軍(1987—)，男，博士研究生； 李小珍(1970—)，男，教授，博士生導師

劉德軍，djliu@swjtu.edu.cn

U442

A

0367-6234(2017)03-0162-06