高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題分析

董悠

摘 要：作為直線方程簡單應(yīng)用的線性規(guī)劃，由于在高考中的分值越來越大，逐漸受到更多的重視。線性規(guī)劃的問題應(yīng)用較廣，因此題目非常靈活，常和其他知識交叉融合讓學(xué)生進行求解，所以對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是一次考驗。該文從高中數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀入手，對高中數(shù)學(xué)中有關(guān)線性規(guī)劃的問題做一個綜合分類，針對其中的具體問題逐一做具體分析。最后總結(jié)出適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，針對線性規(guī)劃問題做出具體研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 線性規(guī)劃問題 不等式

中圖分類號：G633 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）02（a）-0193-02

作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要內(nèi)容之一，線性規(guī)劃問題包涵的優(yōu)化思想在數(shù)學(xué)中屬于基本思想。而問題本身以及解決問題的各種方法也促進了數(shù)學(xué)中多分支的發(fā)展。在高中數(shù)學(xué)中對簡單線性規(guī)劃問題掌握基本規(guī)律，了解以下方面內(nèi)容：線性規(guī)劃作為一種優(yōu)化問題的計算工具，主要是在人力和物力，空間和時間等資源的約束條件下，力求用更少的資源贏取最大的經(jīng)濟效益。在線性規(guī)劃中不僅體現(xiàn)出了常見的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸等，同時還鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力、對問題的綜合分析能力，對我們學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一大鍛煉。

1 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃問題現(xiàn)狀

高中數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題一般包括：不等式、目標(biāo)函數(shù)、畫可行域、整點問題等。尤其學(xué)生對目標(biāo)函數(shù)的運用轉(zhuǎn)化、整點問題等的理解較為困難。但由于高中數(shù)學(xué)的抽象性，以及高中生負(fù)擔(dān)較大、課業(yè)任務(wù)繁重等原因，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識時十分吃力。在學(xué)習(xí)過程中多是老師一味地講解舉例，發(fā)揮不了學(xué)生的主體地位，無法調(diào)動其學(xué)習(xí)的積極性。學(xué)生對老師的這些互動反應(yīng)一般，長此以往只會對數(shù)學(xué)感到枯燥乏味，失去新鮮感。

2 線性規(guī)劃問題的具體研究

一般情況下，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束下最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。在線性約束條件內(nèi)的得到的解稱作可行解，由所有解組成的幾何叫做可行域。線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型一般有幾種形式：列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；畫出條件所表示的可行域；在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。根據(jù)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排，由淺入深地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。

2.1 理解試題進行條件轉(zhuǎn)化

即怎樣把文字?jǐn)⑹鲋械膯栴}轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，用不等式、函數(shù)來進行解決。首先是找出試題中的關(guān)鍵點。如題：某公司想要生產(chǎn)甲、乙兩樣產(chǎn)品，每個產(chǎn)品的銷售收入在5 000元、4 000元。甲、乙產(chǎn)品都需要在C、D兩種設(shè)備上進行加工，在每臺C、D設(shè)備上加工一件加設(shè)備所需工時分布為2 h、3 h，加工乙設(shè)備所需工時分別為3 h、2 h。C、D兩類設(shè)備每個月的有效是同臺實數(shù)分別是600 h和700 h，怎樣安排生產(chǎn)可讓收入最大[1]。

只是從這道題來看，甲、乙、A、B的信息都比較亂，不容易思考然后列出函數(shù)，這種情況下，我們可以先進行關(guān)鍵詞的總結(jié)。這道題的關(guān)鍵詞除甲、乙、A、B以外就是收入，那么我們在計算收入時，要先設(shè)什么量，通過思考也可以將題目中的信息總結(jié)成一個表格形式，看起來會更加清晰。先計算甲乙分別用時，再計算他們的范圍，最后列出x、y的約束條件，找出x、y的關(guān)系，得出目標(biāo)函數(shù)。

2.2 平面區(qū)域的作法

直角坐標(biāo)系之間既標(biāo)出的平面區(qū)域并不難畫，但如果沒有注意細(xì)節(jié)問題，也容易出現(xiàn)錯誤，從而成為學(xué)生難點。如直線坐標(biāo)系的直線標(biāo)注問題，因為是與現(xiàn)實有關(guān)的應(yīng)用題，有些量或大或小。設(shè)x、y時，如認(rèn)定縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的刻度一樣，畫出來的坐標(biāo)軸可能很寬或者很長，因而可將試題恰當(dāng)?shù)淖円幌拢豪鐈的范圍是1000，x的范圍是100，那這樣y軸上的刻度可以使200，x軸上是20，因此可以用縮略法處理這類問題[2]。

然后我們做出每個不等式相對應(yīng)的方程來，再畫出相對應(yīng)的直線。那么不等式的解集的對應(yīng)哪一塊平面區(qū)域，可用取特殊點的方式。如x+2y<=400，代入到（0，0）后，發(fā)現(xiàn)不等式成立，那么它所表示的就是直線在（0，0）那一遍的平面區(qū)域，即可行域。對于有些學(xué)習(xí)水平較差的學(xué)生，可先找到滿足方程的兩組解，隨后畫出兩點，予以連接即可。平面區(qū)域的做法可以是換元法，先畫出每個不等式所對應(yīng)的平面區(qū)域，再得出這些平面區(qū)域的公共部分，這個公共部分表示的區(qū)域就是不等式的解集。

2.3 目標(biāo)函數(shù)的最佳解法

在可行域內(nèi)找到一個點使得目標(biāo)函數(shù)最值取道，該解法可有多種方法完成，有些輔導(dǎo)書中采用了等高線，因為知識點聯(lián)系不夠緊密，所以這種方法讓人難以理解。有的輔導(dǎo)書中的直線平移法用來解題會更加方便。

第一是先對目標(biāo)函數(shù)變形，如y=-3x/2+z/200，可以先化成y=kx+b的形式，這樣可以推測出k=-3/2，b=z/2000，因為（x，y）必須是可行域內(nèi)的點，因此這條直線若是過可行域內(nèi)一點，就要和可行域相交，但由于b是在變化著的值，因此這樣的直線有著無數(shù)條。z最值的取定需視b的變化而定。先畫出函數(shù)的直線，使其上移或下移，在和可行域相交的情況下，b變大z就變大；b達到最大值時z就達到最大值；直線向下移，b越小z就越小，b在最小值時z也在最小值。在b、z正負(fù)相反的情況下，他們之間發(fā)生的變化就相反，因此若得出直線平移適合可行域邊緣相接的交點坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入到目標(biāo)函數(shù)進行計算就能得出z的最值。進行直線平移時由于直線復(fù)雜容易出錯，對幾條直線的位置關(guān)系弄不清楚，這種情況下可以利用直線斜率法進行解決。如k>0時，直線里的傾斜角是銳角；當(dāng)k<0，k的值越大，直線傾斜角也就越大。掌握這些方法，對于線性問題的解題速度和正確率有很大幫助。

3 高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)方法研究

3.1 提綱性自學(xué)

對于高中學(xué)生來說，自學(xué)能力培養(yǎng)是十分必要的。我們在學(xué)習(xí)二元一次不等式（組）與簡單性線性規(guī)劃問題時，分為自學(xué)階段和答疑階段，以書中的不等式為例，學(xué)生先自行閱讀課本，完成幾個問題，如不等式及解集怎樣求，它的解集意義是什么。學(xué)生自學(xué)之后，可根據(jù)學(xué)生的疑問情況向老師提問，老師進行答疑解惑，對相關(guān)題目進行練習(xí)鞏固、加深理解。這不僅對于學(xué)生是一種放松，可以根據(jù)自己的思路而不是費力追趕老師的節(jié)奏；同時在此過程中，老師也能夠相應(yīng)放松。

3.2 學(xué)生之間互助學(xué)習(xí)

由于每個學(xué)生的學(xué)習(xí)接受能力不同，有的學(xué)生可能對于一道題一點頭緒都沒有，有的學(xué)生卻有好幾種思路，單靠老師在課堂上的講解是不夠的，也難以對學(xué)生做到兼顧。這時就可以采取小組制的學(xué)習(xí)方法。讓學(xué)習(xí)能力較強、理解能力較快的學(xué)生作為小組長，幫助其他學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)，該模式對同學(xué)間的學(xué)習(xí)互動有很大促進作用。

3.3 充分利用學(xué)習(xí)資源

學(xué)生可以利用學(xué)校的學(xué)習(xí)資源播放相關(guān)知識的課堂錄像或講座，就像上課時一樣學(xué)生自己需要做好筆記，如課堂的講解主題、學(xué)習(xí)的內(nèi)容、對學(xué)習(xí)中疑問之處、體會到了什么。學(xué)生面對較新型的學(xué)習(xí)方式、注意力也會更集中，效果也會更好。有條件的班級還可組織學(xué)生進行實際參觀調(diào)查，目的在于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，了解實際只是在現(xiàn)實中的應(yīng)用，在解決一些應(yīng)用題時也能更加得心應(yīng)手。

4 結(jié)語

線性規(guī)劃問題在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)較多，出題靈活，相互聯(lián)系的知識點也較廣，這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中一定要充分準(zhǔn)備，總結(jié)其中的重難點，穩(wěn)扎穩(wěn)打、夯實基礎(chǔ)，學(xué)生才能夠在之后的擴展問題中思考解答。也有利于學(xué)生邏輯思維能力思維的鍛煉提升。

參考文獻

[1] 吳建濤.高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃類型及求解策略[J].勞動保障世界，2015（29）：53-54.

[2] 萬曰龍.思辨相融，互動提升——由高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題教學(xué)談起[J].考試周刊，2016（38）：53-54.

[3] 賈金剛.淺議高中數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃思想在解題中的應(yīng)用[J].中國培訓(xùn)，2016（2）：237-237.