“握在手中”的中考題

劉頓

不難發(fā)現(xiàn)，許多中考數(shù)學(xué)題的背景知識正是取材于日常生活中，尤其是有關(guān)銳角三角函數(shù)的考題更是貼近生活，甚至是我們每天在學(xué)習(xí)時經(jīng)常觸摸的學(xué)習(xí)工具，比如圓規(guī)、三角板、鉛筆、計算器等，可以說是“握在手中”的中考題。為方便同學(xué)們學(xué)習(xí)，現(xiàn)以2016年中考題為例說明如下。

例1 （山東煙臺卷）下圖是我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器面板，利用該型號計算器計算cos55°，按鍵順序正確的是（ ）

A. 2 × cos 5 5 =

B. 2 cos 5 5 0 =

C. 2 cos 5 5 =

D. 2 5 5 cos =

分析 簡單的電子計算器工作順序是先輸入者先算，其中R-CM表示存儲、讀出鍵，M+為存儲加鍵，M-為存儲減鍵，根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶?，再根?jù)開方運(yùn)算即可求出顯示的結(jié)果。

解 利用該型號計算器計算cos55°，按鍵順序正確的是：，故應(yīng)選C。

說明 本題主要考查利用計算器求銳角三角函數(shù)的值的方法，求解時要能熟悉數(shù)的開方的意義，明確計算器上各個功能鍵的作用，會根據(jù)按鍵順序列出所要計算的式子。事實上，借助計算器這樣的工具做題，既能鍛煉同學(xué)們的動手能力，又能提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，有助于對知識的掌握和運(yùn)用。

例2 （浙江麗水卷）數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45°的三角板的斜邊與含30°的三角板的長直角邊相等。于是，小陸同學(xué)提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點重合拼放在一起，點B，C，E在同一直線上，若BC=2，求AF的長。

請你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決這個問題。

分析 由三角板各角的大小，結(jié)合題意，可先由正切的定義求出AC，再由正弦的定義求出CF，進(jìn)而計算即可。

解 在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，由正切的定義，得AC=2，則EF=AC=2，∵∠E=45°，∴由正弦的定義，得FC=EF·sinE，∴AF=AC-FC=2。

說明 本題以司空見慣的一副三角板為背景，意在考查特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用。掌握銳角三角函數(shù)的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是順利解題的關(guān)鍵。

例3 （浙江臺州卷）保護(hù)視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應(yīng)超過30cm，如圖1是一位同學(xué)的坐姿，把他的眼睛B，肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成如圖2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎？請說明理由。（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

分析 依題意，為了方便求解，可通過作垂線構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長，再結(jié)合勾股定理得出答案。

解 他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。理由：如圖2所示，過點B作BD⊥AC于點D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴由正弦的定義，得sin53°≈0.8，解得BD=24，再由余弦的定義，得cos53°≈0.6，解得DC=18，∴AD=22-18=4（cm），∴由勾股定理，得AB=<30， ∴他的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。

說明 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，求解時需要通過對問題的理解，將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中來，根據(jù)題意得出BD，AD的長是解題關(guān)鍵。

例4 （江西卷）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，如圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時，以點A為支撐點，鉛筆芯端點B可繞點A旋轉(zhuǎn)作出圓，已知OA=OB=10cm。

（1）當(dāng)∠AOB=18°時，求所作圓的半徑；（結(jié)果精確到0.01cm）

（2）保持∠AOB=18°不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長度。（結(jié)果精確到0.01cm）

（參考數(shù)據(jù)：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511）

分析 （1）依題意，只需求出等腰三角形的底邊AB即為求所作圓的半徑，此時可過點O作OC⊥AB，利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦的定義求解。（2）由題意可知在OB上找到一點E，使得AE=AB，而BE即為所求。此時，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交OB于點E，于是在等腰三角形ABE中仿照（1）的方法即可求解。

解 （1）如圖，過點O作OC⊥AB，∵OA=OB，OC⊥AB，∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°，在Rt△AOC中，由正弦定義，得sin∠AOC=，∴AC≈0.1564×10=1.564，∴AB=2AC=3.128≈3.13，∴所作圓的半徑是3.13cm。

（2）以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交OB于點E，作AD⊥BE于點D?！逜E=AB，AD⊥BE，∴BD=ED，∠BAD=∠EAD=∠BAE。∵∠AOB=18°，OA=OB，AB=AE，∴∠BAE=18°，∴∠BAD=9°，在Rt△BAD 中，由正弦定義，得sin∠BAD=，∴BD≈0.1564×3.13≈0.4895，∴BE=2BD=0.979≈0.98，∴鉛筆芯折斷部分的長度約為0.98cm。

說明 解答完本題，同學(xué)們怎么也沒有想到自己天天打交道的圓規(guī)，也被搬進(jìn)了中考試卷中，而且題目設(shè)計新穎，值得我們在平時的學(xué)習(xí)中關(guān)注。

（編輯 白 鳥）