適用于單快拍的MSCS改進(jìn)算法?

徐 姝 陶永生 梁仕杰

（江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

波達(dá)方向角（Direction of Arrival，DOA）一直是陣列信號(hào)處理的熱門內(nèi)容，受到許多學(xué)者的關(guān)注。DOA估計(jì)大體上可以分為如下兩類：一類是以常規(guī)的 CBF（Conventional Beamformer，常規(guī)波束形成）和 MVDR［1］（Minimum Variance Distortionless Re?sponse，最小方差無(wú)畸變響應(yīng)）等為代表的非子空間 類 算 法 ；一 類 是 以 MUSIC［2～3］（Multiple Signal Classification，多重子空間分類算法）、ESPRIT［4］（Estimating Signal Parameter via Rotational Invari?ance Techniques，旋轉(zhuǎn)不變子空間法）以及衍生算法為代表的子空間類超分辨算法。傳統(tǒng)的波束形成受制于瑞利限且分辨率低。美國(guó)學(xué)者Schmidt提出了經(jīng)典的MUSIC算法［5］，突破瑞利限，該類算法都是基于特征值的分解，為取得良好的估計(jì)性需要成百上千的快拍數(shù)，且需要將信號(hào)源個(gè)數(shù)作為先驗(yàn)信息，該類算法在處理數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣和譜搜索時(shí)計(jì)算復(fù)雜度巨大，實(shí)際工程［6～7］應(yīng)用困難。ESPRIT算法雖然是免搜索算法，但是該算法要求陣列結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)不變的特性。為此 Yan［8～10］等提出一種MSCS（MUSIC Symmetrical Compressed Spectrum，MSCS）算法，此方法構(gòu)建鏡面輻射源，映射在對(duì)稱區(qū)間產(chǎn)生一個(gè)等幅度的譜峰，所以只需要在半譜內(nèi)進(jìn)行搜索后對(duì)數(shù)據(jù)加以判別，可獲得信源方位信息。雖然此方法將譜搜索的運(yùn)算量減少了一半，但無(wú)法有效地適用于單快拍的情況。

短快拍側(cè)向的算法［11～12］主要集中在衛(wèi)星通信與軍事的研究上。當(dāng)陣列接收的數(shù)據(jù)有限及運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在高速的條件下，可以對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，且擁有很好的DOA估計(jì)精度，為高速運(yùn)動(dòng)下的目標(biāo)提供了很好的跟蹤與定位技術(shù)。而單快拍側(cè)向算法［13～14］因?yàn)槠溥_(dá)到了短快拍側(cè)向的極限，因此被單獨(dú)歸為一類研究。近年來(lái)，許多專家學(xué)者將目光鎖向少快拍甚至單快拍的陣列信號(hào)處理。

本文分析了MSCS算法不適用于單快拍的原因，并對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種適用于單快拍的 MSCS（Improved-single-snapshot MSCS，ISSMSCS）算法，該算法對(duì)原MSCS算法進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)單快拍陣列接收信號(hào)構(gòu)建一個(gè)偽協(xié)方差矩陣，使得算法適用于單快拍陣列。

再將共軛增強(qiáng)法運(yùn)用到偽協(xié)方差矩陣中，增強(qiáng)算法的整體性能。實(shí)驗(yàn)仿真證明本文算法適用于單快拍陣列，且提升了算法側(cè)向精度。

2 信號(hào)模型及相關(guān)算法

2.1 信號(hào)模型

假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)波導(dǎo)條件下有K個(gè)窄帶信號(hào)源入射到M個(gè)均勻線陣（uniform Linear Array，ULA）上，定義其入射角度為 θ ，θ={θ1,θ2,…,θK}，每個(gè)陣元之間的距離為d，故其陣元接收數(shù)據(jù)模型如下：

式子中，A(θ)為陣列方向矩陣其表達(dá)式為 A(θ)=[a(θ1),…,a(θK)]，其中，a(θk)為 M×1維的導(dǎo)向矢量，任取第k個(gè)波達(dá)角，可表示為 a(θk)=[1,e-j2πdsin(θk)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θk)/λ]TS(t)=[s1(t),…,sK(t)]T為信號(hào)源矢量，N(t)=[n1(t),…nM(t)]T為M×1維噪聲矢量，符號(hào)T代表轉(zhuǎn)置運(yùn)算。設(shè)每個(gè)陣元的噪聲為相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲。可得陣接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣用R表示，則R可由下面表達(dá)式求得：

其中，Rs=E[S(t)SH(t)]表示信號(hào)的協(xié)方差矩陣，表示噪聲功率，I為M階單位矩陣，符號(hào)H表示共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)R進(jìn)行特征分解得：

式中，US=[u1,u2,…uk]為信號(hào)子空間；US=[uk+1,uk+2,…uM]為噪聲子空間；Σs=[λ1,λ2,…,λk]為對(duì)角矩陣，其元素按照大小排列為 λ1≥λ2≥…≥λk＞λk+1=…=λM=σ2n。實(shí)際應(yīng)用中，只能得到協(xié)方差矩陣R的估計(jì)值采樣協(xié)方差矩陣R'，通常?。?/p>

2.2 MSCS算法不適用于單快拍的原因

MSCS算法是建立在MUSIC算法原理的基礎(chǔ)上，其主要思想是構(gòu)造共軛噪聲子空間，再對(duì)噪聲子空間與其共軛子空間的交集進(jìn)行奇異值分解得到。其物理意義為空間信號(hào)源以原點(diǎn)為對(duì)稱的位置構(gòu)建等幅度等數(shù)量的鏡面信號(hào)源。設(shè)陣列為均勻線陣，空間內(nèi)存在一個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源P，其到達(dá)角度為θ1。根據(jù)歐拉公式與奇函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)導(dǎo)向矢量a(θ1)進(jìn)行取共軛處理，可得下式：

根據(jù)正交性原則已知aH(θ1)UN=0，對(duì)該式的左右兩邊進(jìn)行取共軛可得：

由上述推導(dǎo)可知，信號(hào)源P在以原點(diǎn)為對(duì)稱的位置存在一個(gè)鏡面信號(hào)源P'，即兩者的入射角度為相反數(shù)。前者的導(dǎo)向矢量與UN滿足正交原則，后者的導(dǎo)向矢量與U*N滿足正交性原則，兩者分別對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量為復(fù)共軛關(guān)系。根據(jù)上述原理，可對(duì)MUSIC算法空間譜函數(shù)對(duì)稱壓縮，構(gòu)造了一個(gè)新的譜函數(shù)：

再對(duì)式（8）在［-90000］或［00900］范圍進(jìn)行譜搜索，得到所有譜峰對(duì)應(yīng)的入射角度。再將正半軸半或負(fù)半軸所有譜峰對(duì)應(yīng)角度代入公式≈0進(jìn)行判別，若成立即為真實(shí)信號(hào)源，若不成立即為鏡面信號(hào)源，再進(jìn)行取反操作，從而得到真實(shí)的全部方位角。

如果只有一個(gè)快拍可用，由式（4）可知，采樣協(xié)方差矩陣的秩為1，而信號(hào)子空間的秩是大于信號(hào)個(gè)數(shù)的，所以利用R'的特征分解無(wú)法辨別出信號(hào)子空間與噪聲子空間，因此MSCS算法不適用于單快拍。

3 ISS-MSCS算法

3.1 偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法

偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法的主要思想是：在單次快拍的情況下，將陣列所接收信號(hào)作為可利用信息，構(gòu)造一個(gè)偽協(xié)方差矩陣且滿足矩陣的秩為信源個(gè)數(shù)；再對(duì)該矩陣進(jìn)行特征分解構(gòu)建MSCS算法的空間譜函數(shù)。該矩陣可寫為 Y=Aˉ(θ)DAˉ(θ)，其中 D為 K × K 維 的 滿 秩 矩 陣 ，Aˉ(θ)=[aˉ(θ1),aˉ(θ2),…,aˉ(θk)]為 H×K 維的均勻線陣陣列流型矩陣，且滿足H小于M。aˉ(θk)中第p個(gè)元素的數(shù)學(xué)表達(dá)式為exp{j[φn+(p-1)?φn]}，式中 ?φk=(2π/λ)sinθk。應(yīng)滿足H＞K，這樣所構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣滿足秩為K，即Y是H×H維的。

矩陣Y的元素Y(p,q)表達(dá)式為

式中：dnω為矩陣D的元素。

其中矩陣的可用信息的表示式如下：

若矩陣D是對(duì)角矩陣時(shí)，則式（9）可寫為

此時(shí)，若矩陣D的對(duì)角不為0，即為滿秩矩陣，從而偽協(xié)方差矩陣 Y 可寫為 Y=Aˉ(θ)DAˉ(θ)。由上述可得，偽協(xié)方差矩陣最終由式（10）所構(gòu)造。

根據(jù)式（10）可得，陣列所接收的M個(gè)信號(hào)相位以等差數(shù)列的形式分布在區(qū)間[φn,φn+(M-1)?φn]內(nèi)，且相位參考點(diǎn)的選取決定了φn的取值。上述即為偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造時(shí)的有用信息。

設(shè)Sn=S*n，可得：

式（12）的相位以等差數(shù)列的形式位于[-φn,-φn-(M-1)?φn]區(qū)間內(nèi)，因此增加了可用的信息量。

根據(jù)上述的原理，令 H=M ，φn=0，dnn=Sn再代入式（11），可得此時(shí)偽協(xié)方差矩陣的表達(dá)式為

3.2 共軛增強(qiáng)方法

為了進(jìn)一步提高算法性能，充分利用陣列輸出數(shù)據(jù)的共軛信息，在式（13）的基礎(chǔ)上，構(gòu)造以下偽協(xié)方差矩陣：

式中：J為交換矩陣，其反對(duì)角線元素為1，其他元素為0。

由于式（12）可知，此方法將M×M 維偽協(xié)方差矩陣拓展為M×2M維。

對(duì)拓展的偽協(xié)方差矩陣進(jìn)行二階積累［15］，公式如下：

3.3 本文算法流程

1）通過(guò)單快拍采樣信號(hào)利用式（13）構(gòu)造出偽協(xié)方差矩陣Y；

5）在［-90000］或［00900］范圍進(jìn)行譜搜索，得到所有譜峰對(duì)應(yīng)的入射角度。

6）最后將所得方位帶入判別式：‖aH(θ )UN‖ ≈0，若判別式成立即為真實(shí)信號(hào)源，若不成立即為鏡面信號(hào)源，再對(duì)鏡面信號(hào)源進(jìn)行取負(fù)值，從而得出所有波達(dá)角。

4 仿真分析

4.1 性能分析

為了驗(yàn)證本文算法的估計(jì)性能，這里將ISS-MSCS算法與未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MSCS算法進(jìn)行比較。設(shè)陣元數(shù)為10，陣元間距為半波長(zhǎng)的均勻線陣，快拍數(shù)為1，信噪比為-5dB。將入射角度設(shè)置為-30°、60°，搜索步長(zhǎng)為 1°，搜索范圍為［-90°，90°］，仿真圖如圖 1所示。圖1可以看出在兩種算法在-30°的正半軸30o，在60°的負(fù)半軸-60°形成等幅度的譜峰，說(shuō)明了兩種算法經(jīng)過(guò)偽協(xié)方差重構(gòu)后，都可以適用于單快拍側(cè)向；ISS-MSCS算法在經(jīng)過(guò)共軛增強(qiáng)后，對(duì)比未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣的單快拍MSCS算法，本文算法旁瓣壓制的更低，譜峰更加的尖銳，具有較好的信號(hào)分辨能力。

圖1 兩種算法的空間譜圖

4.2 成功率分析

陣元數(shù)為10的均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，將入射角度設(shè)置為30°、60°，取信噪比從-8dB，按照-2dB的間隔增加至12dB，快拍數(shù)取1，進(jìn)行100次獨(dú)立計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，算法成功的偏差范圍為0.5o，成功率定義為成功次數(shù)與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，在單快拍情況下，兩種算法的成功率隨著信噪比的增加而提高；在相同信噪比下，本文所提ISS-MSCS算法的成功率優(yōu)于未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MSCS算法。

圖2 兩種算法的成功率

4.3 標(biāo)準(zhǔn)差分析

仿真條件不變，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，在單快拍情況下，兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差隨著信噪比的提高而降低；在相同信噪比，本文所提ISS-MSCS算法的成功率優(yōu)于未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MSCS算法。

圖3 兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了適用于單快拍的MSCS算法，該算法對(duì)原MSCS算法進(jìn)行了改進(jìn)，將偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造法與共軛增強(qiáng)法相結(jié)合。仿真實(shí)驗(yàn)表明：ISS-MSCS算法適用于單快拍陣列，有較好的信號(hào)分辨能力且側(cè)向精度優(yōu)于未進(jìn)行共軛增強(qiáng)的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MSCS算法。