基于XFEM與Cohesive模型分析PBX裂紋產(chǎn)生與擴(kuò)展

黃西成, 李尚昆, 魏 強(qiáng), 田 榮, 陳成軍, 王理想, 柳 明

(1. 中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所, 四川 綿陽(yáng) 621999; 2. 中物院高性能數(shù)值模擬軟件中心, 北京 100088)

1 引 言

高聚物粘結(jié)炸藥(PBX)是由顆粒性主體炸藥(如HMX)和高聚物粘結(jié)劑、增塑劑、鈍感劑等經(jīng)一定工藝壓制而成[1-2],如PBX-9502炸藥是95%的TATB晶粒與5%的粘結(jié)劑Kel-F800組成的復(fù)合材料[4]。最近幾十年,由于低速撞擊下結(jié)構(gòu)安全性和可靠性受到政府與工程界的高度重視,PBX炸藥的破壞問(wèn)題也備受學(xué)術(shù)界關(guān)注[5-12]。

通常認(rèn)為低速撞擊下炸藥的點(diǎn)火機(jī)制包括: 彈塑性或粘彈塑性變形、損傷與破壞、裂紋萌生與發(fā)展、塑性功局域化及塑性功轉(zhuǎn)化為熱、熱傳導(dǎo)等[13]。從試驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn),含能材料的塑性變形與后繼開(kāi)裂問(wèn)題,直接影響了反應(yīng)演化(如增加表面積會(huì)加速燃燒率)以及響應(yīng)等級(jí)[14]; 材料內(nèi)部的非均質(zhì)損傷對(duì)炸藥的力學(xué)性能及感度影響很大,裂紋擴(kuò)展也將直接影響到結(jié)構(gòu)完整性[15-16]。因此,研究PBX的裂紋產(chǎn)生及擴(kuò)展,對(duì)正確認(rèn)識(shí)這種材料對(duì)機(jī)械刺激的響應(yīng)非常必要,同時(shí)也為評(píng)估裂紋發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)、研發(fā)裂紋抑制技術(shù)等提供理論支撐。

材料力學(xué)性能試驗(yàn)表明,不同應(yīng)力狀態(tài)下PBX表現(xiàn)出不同的力學(xué)特性[17-19],這給數(shù)值建模帶來(lái)很大的困難[20-22]。本研究采用應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的強(qiáng)度模型、非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則, 描述材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的非線性本構(gòu)行為。同時(shí),PBX在破壞模式方面表現(xiàn)出脆性/準(zhǔn)脆性特點(diǎn),這種材料即使整體上承受壓縮載荷,但由于材料內(nèi)部存在非均質(zhì)(如微孔洞)特性[23-24],在外部壓應(yīng)力作用下,材料內(nèi)部微孔洞附近產(chǎn)生局部的拉伸裂紋,隨著載荷發(fā)展微裂紋進(jìn)一步演化、擴(kuò)展,最終導(dǎo)致材料或結(jié)構(gòu)的整體破壞[25-27]。在模擬PBX脆性拉伸裂紋行為方面,通常方法有: 連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)的數(shù)值模擬方法[28-29]、直接數(shù)值模擬方法[30]、以及多尺度[31]或細(xì)觀數(shù)值模擬方法[32],以及擴(kuò)展有限元(XFEM)[33-37]。由于XFEM在模擬裂紋時(shí)無(wú)需對(duì)齊網(wǎng)格、裂紋擴(kuò)展計(jì)算時(shí)無(wú)需重新劃分網(wǎng)格等優(yōu)點(diǎn),目前備受學(xué)術(shù)界關(guān)注。本研究利用XFEM方法,針對(duì)PBX帶孔板壓縮破壞試驗(yàn)[26],分析PBX-9502炸藥的啟裂與擴(kuò)展,在材料損傷與破壞方面,采用cohesive模型。

2 XFEM基本思想

XFEM是一種解決斷裂力學(xué)問(wèn)題的新的有限元方法,首先由Belytschko和Black[38]提出,該方法基于單位分解[39],將常規(guī)有限元法進(jìn)行了擴(kuò)展,采用獨(dú)立于網(wǎng)格剖分的思想解決有限元中的裂紋擴(kuò)展問(wèn)題,在保留傳統(tǒng)有限元所有優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),并不需要對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在的裂紋等缺陷進(jìn)行網(wǎng)格劃分。XFEM是迄今為止求解不連續(xù)問(wèn)題最有效的數(shù)值方法,它在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架內(nèi)研究問(wèn)題,保留了有限元方法的所有優(yōu)點(diǎn),因此XFEM成為目前裂紋擴(kuò)展模擬的主要方法之一,也代表了計(jì)算力學(xué)數(shù)值方法近十多年來(lái)的主要進(jìn)展。XFEM在處理裂紋時(shí),無(wú)需對(duì)齊網(wǎng)格,裂紋擴(kuò)展也無(wú)需重新劃分網(wǎng)格,而且稀疏網(wǎng)格也可以得到高精度數(shù)值解。XFEM這些優(yōu)點(diǎn)使得這一方法在近十多年的計(jì)算力學(xué)界十分活躍[33,35]。

在分析斷裂問(wèn)題中,XFEM引入強(qiáng)化基函數(shù),包括: 裂尖附近漸進(jìn)函數(shù),以刻畫(huà)裂尖附近的應(yīng)力奇異性; 不連續(xù)函數(shù),以表征跨越裂紋面的位移跳躍。本研究在裂紋張開(kāi)與移動(dòng)的計(jì)算中,采用內(nèi)聚力模型[40]和虛擬節(jié)點(diǎn)方法[41-42],即在XFEM方法的框架中,引入單元材料的拉伸-分離的內(nèi)聚行為,以模擬裂紋的萌生及擴(kuò)展過(guò)程。在材料破壞方面,采用內(nèi)聚力方法; 在裂紋行為方法,基于XFEM模擬方法,這樣結(jié)合起來(lái),可以模擬材料內(nèi)裂紋產(chǎn)生及沿任意路徑分析的擴(kuò)展過(guò)程,而且裂紋擴(kuò)展并不必強(qiáng)制沿著單元邊界。

3 基于XFEM的內(nèi)聚力模型

Cohesive模型屬于損傷模型,最先由Barenblatt[40]引入,使用拉伸-分離法則來(lái)模擬原子晶格的減聚力,避免了裂紋尖端的奇異性[43]。Cohesive模型與有限元方法結(jié)合首先被用于混凝土計(jì)算和模擬,后來(lái)也被引入金屬、陶瓷、復(fù)合材料等。Cohesive界面/單元須服從Cohesive分離法則,包括粘塑性、粘彈性、破裂、纖維斷裂、動(dòng)力學(xué)失效及循環(huán)載荷失效等行為。典型的分離法則有Needleman律[44]、Hillerborg律[45]、Ba?ant律[46]。

本研究的裂紋擴(kuò)展分析中,采用了基于XFEM的內(nèi)聚片段法,應(yīng)用了線彈性拉伸-分離模型、損傷啟動(dòng)準(zhǔn)則和損傷演化律。在線彈性拉伸-分離模型中,假設(shè)初始為線彈性行為,后跟損傷啟動(dòng)與演化。線彈性行為表示為裂紋單元的內(nèi)聚應(yīng)力t與張開(kāi)位移δ之間的線性關(guān)系,即:

t=Kδ

(1)

式中:

t=[tn,ts,tt]T

δ=[δn,δs,δt]T

K=diag[Knn,Kss,Ktt]

(2)

tn為法向應(yīng)力分量,tn和tt為兩個(gè)切向應(yīng)力分量,相應(yīng)的分離量分別為δn,δs,δt。法向與切向剛度分量間不存在耦合現(xiàn)象: 純法向分離量并不會(huì)引起切向內(nèi)聚力,純切向滑動(dòng)也不會(huì)引起法向內(nèi)聚力。剛度陣中的分量Knn,Kss,Ktt可通過(guò)強(qiáng)化單元的彈性參數(shù)計(jì)算。

在模擬拉伸開(kāi)裂時(shí),采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則作為啟裂準(zhǔn)則,即當(dāng)

(3)

采用標(biāo)量損傷變量D∈[0,1]描述內(nèi)聚剛度退化率,即損傷演化律,以表征裂紋面與裂開(kāi)單元邊之間交集部分的整體平均損傷程度。在裂紋張開(kāi)過(guò)程采用損傷演化方程描述,采用能量形式的線性或指數(shù)型演化方程:

(4)

式中,GeqC為等效的臨界斷裂能釋放率,J·m-2,采用BK冪律模型[47]:

(5)

受損材料后,方程(1)中的法向與切線應(yīng)力分量表示為:

tn=(1-D)Tn

ts=(1-D)Ts

tt=(1-D)Tt

(6)

式中,當(dāng)法向受壓縮即Tn<0時(shí),不產(chǎn)生裂紋,即tn=Tn。Tn、Ts和Tt分別為無(wú)損線彈性情況下預(yù)測(cè)的法向、切向應(yīng)力分量。為了描述跨越界面同時(shí)存在法向與切線分離時(shí)的損傷演化,采用有效分量:

(7)

4 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下PBX塑性變形描述

根據(jù)TATB基炸藥變形特征,如50 ℃溫度下準(zhǔn)靜態(tài)拉、壓不對(duì)稱性[19],如圖1所示,本研究采用壓力相關(guān)的屈服面、非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則以及應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的拉、壓加權(quán)函數(shù),來(lái)描述復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的力學(xué)行為,模型中引入拉伸與壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖1TATB基炸藥在50 ℃下準(zhǔn)靜態(tài)拉、壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線[19]

Fig.1Quasi-static stress-strain curve of TATB based explosive in tension and compression at 50 ℃[19]

4.1 屈服面

(8)

α=[(σb0/σc0)-1]/[2(σb0/σc0)-1],

γ=3(1-Kc)/(2Kc-1);

4.2 流動(dòng)勢(shì)

與金屬材料不同的是,內(nèi)聚摩擦類材料表現(xiàn)出剪

脹特性,需采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則[51]:

(9)

(10)

(11)

4.3 塑性應(yīng)變演化

(12)

(13)

根據(jù)TATB鈍感炸藥相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[17,50,53],本研究采用表1的材料模型參數(shù)。

表150 ℃下PBX-9502材料參數(shù)

Table1Material parameters of PBX-9502 at 50 ℃

E/GPavφ/(°)ψ/(°)eσcs/MPaσts/MPaσc0/MPaσt0/MPaGⅠC/J·m-22．30．42010．17．123．217．88100

5 計(jì)算模型及結(jié)果分析

本研究采用文獻(xiàn)[26]的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。試?yàn)材料為T(mén)ATB基鈍感炸藥,試驗(yàn)溫度為50 ℃,試驗(yàn)采用單軸壓縮加載,加載速率為1.27 mm·min-1。試件幾何為中心帶橢圓形孔板,如圖2所示。板尺寸的高×寬×厚為76.2 mm×38.1 mm×12.7 mm,中心孔由四段直線和兩段弧線圍成,弧線段的直徑為12.7 mm和3.81 mm,孔的高度d為19.05 mm,孔的上端頂點(diǎn)為A,側(cè)邊頂點(diǎn)為B。數(shù)值模擬的網(wǎng)格為四邊形平面應(yīng)力單元,單元尺寸約0.5 mm; 采用最大主應(yīng)力和斷裂能準(zhǔn)則,無(wú)需預(yù)置初始裂紋。

圖2PBX-9502帶孔板受壓下斷裂試驗(yàn)試件尺寸

Fig.2Specimen plate with cavity for fracture experiment on PBX-9502 subject to compression

采用PANDA_Fracture進(jìn)行XFEM分析,計(jì)算結(jié)果表明,板在整體壓縮作用下,中心孔的四周受力與變形很不均勻,在孔的上、下兩端點(diǎn)承受的第一主應(yīng)力為拉應(yīng)力,且沿孔內(nèi)壁分布為最大點(diǎn)。圖3a為拉伸裂紋產(chǎn)生前孔內(nèi)壁從頂點(diǎn)A到側(cè)邊B點(diǎn)之間、沿孔內(nèi)壁的主應(yīng)力分布; 可見(jiàn)A點(diǎn)所受的第一主應(yīng)力為最大,B點(diǎn)所受的第三主應(yīng)力和剪應(yīng)力為最大(絕對(duì)值),因此開(kāi)裂破壞模式首先在A點(diǎn)萌生,裂紋方向?qū)⑴c最大主應(yīng)力方向垂直; 其次在B點(diǎn)將會(huì)萌生剪切破壞模式; 從實(shí)測(cè)相關(guān)系數(shù)場(chǎng)圖3b中也可以證實(shí)這一結(jié)果[26]。

數(shù)值模擬表明,在外部壓應(yīng)力作用下,試件內(nèi)部孔洞附近產(chǎn)生非均勻變形場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng),導(dǎo)致應(yīng)力集中或高的應(yīng)力梯度,當(dāng)局部應(yīng)力如拉應(yīng)力到達(dá)材料破壞應(yīng)力時(shí),產(chǎn)生局部的拉伸裂紋,隨著外載于變形進(jìn)一步發(fā)展,裂紋在萌生處迅速沿著最大主應(yīng)力區(qū)域擴(kuò)展,最終形成兩條宏觀裂紋,如圖4所示,其中圖4a為試驗(yàn)圖,圖4b為數(shù)值模擬獲得的裂紋最終圖,圖4c為典型時(shí)

a. principal stresses distribution

b. measured correlation coefficient field[26]

圖3試件橢圓形孔內(nèi)壁應(yīng)力分布圖

Fig.3stress distribution on the inner wall of elliptical hole in specimen

a. experimental measured cracksb. simulated cracks

c. simulated crack position at different moments

圖4PBX-9502帶孔板狀試件在整體壓縮下啟裂及裂紋路徑

Fig.4Crack initiation and growth of PBX-9502 platy specimen with cavity subjected to overall compression

刻的裂紋位置圖。圖5為數(shù)值模擬,其中孔內(nèi)壁A點(diǎn)的拉伸裂紋萌生及裂紋方向圖像見(jiàn)圖5b。圖5c為混合裂紋預(yù)測(cè)圖: 當(dāng)把端面位移載荷同時(shí)施加到縱向與橫向時(shí),從孔內(nèi)壁頂點(diǎn)附近產(chǎn)生Ⅰ-Ⅱ型混合裂紋。

a. crack initiation position

b. partial enlarged view

c. simulation of mixed crack of type Ⅰ and Ⅱ

圖5PBX-9502裂紋萌生點(diǎn)與裂紋方向的數(shù)值模擬

Fig.5Simulation of crack initiation location and direction of PBX

圖6為啟裂時(shí)間、裂紋擴(kuò)展速度、裂紋擴(kuò)展歷程的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)[26]對(duì)比。整體上數(shù)值模擬給出的裂紋發(fā)展趨勢(shì)與試驗(yàn)結(jié)果相吻合,如上、下裂紋時(shí)程的整體走勢(shì)和拐點(diǎn),啟裂時(shí)刻均在δ/H=0.32%(約0.2 min),裂紋初期擴(kuò)展速度的試驗(yàn)值為1.76 mm·s-1,數(shù)值模擬值為1.77 mm·s-1。這說(shuō)明基于XFEM和內(nèi)聚模型的方法,對(duì)Ⅰ型裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展的模擬是可行的; 在裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展等整體發(fā)展規(guī)律上,數(shù)值模擬可以給出好的預(yù)測(cè)。但在一些細(xì)節(jié)上,如裂紋產(chǎn)生后,數(shù)值模擬得到的裂紋擴(kuò)展較實(shí)測(cè)值有一個(gè)滯后; 且裂紋發(fā)展后期,模擬與實(shí)測(cè)的裂紋位置有一定的偏差?？赡艿脑蛴?

(1) 試驗(yàn)測(cè)試裂紋位置時(shí),理論上需要足夠高的分辨率以識(shí)別裂紋、捕捉裂尖位置,但在實(shí)際測(cè)量中很難做到,這可能導(dǎo)致裂紋位置、長(zhǎng)度等的測(cè)試值與實(shí)際有差異。

(2) 目前采用的XFEM計(jì)算,簡(jiǎn)化的算法導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展時(shí)一次性地穿越一個(gè)單元,顯式上單元內(nèi)裂紋的速度為無(wú)窮大,當(dāng)網(wǎng)格不是足夠精細(xì)時(shí),會(huì)導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展在時(shí)間預(yù)測(cè)方面有一定的誤差。

(3) 在模擬裂紋間斷面時(shí)材料損傷破壞導(dǎo)致材料軟化、剛度劣化,數(shù)值算法遇到收斂困難; 為克服這種困難,在內(nèi)聚本構(gòu)模型的算法中引入表征粘性系統(tǒng)松弛時(shí)間的粘性系數(shù),進(jìn)行粘性正則化處理。這也導(dǎo)致材料破壞模擬方面出現(xiàn)很小程度的松弛效應(yīng)。

(4) 由于PBX炸藥具有細(xì)觀非均質(zhì)特性,力學(xué)參數(shù)有一定的隨機(jī)分散性,而且在加工過(guò)程中,孔周邊受到一定程度的損傷,可能導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展曲線上出現(xiàn)局部的跳躍,如下端曲線,本研究 的數(shù)值方法沒(méi)有計(jì)及這些影響。

圖6啟裂時(shí)間與裂紋擴(kuò)展速度、裂紋擴(kuò)展歷程的關(guān)系曲線

Fig.6Crack initiation moment, initial crack speed and growth history curves

6 結(jié) 論

(1) PBX-9502帶孔板在整體壓應(yīng)力條件下,孔洞周圍產(chǎn)生非均勻應(yīng)力與變形場(chǎng),導(dǎo)致局部應(yīng)力集中; 當(dāng)拉應(yīng)力到達(dá)材料破壞強(qiáng)度時(shí),局部位置萌生開(kāi)裂破壞模式; 隨著載荷與變形的發(fā)展,裂紋單元損傷繼續(xù)演化,當(dāng)達(dá)到臨界值時(shí),裂紋進(jìn)一步張開(kāi),沿著最大主應(yīng)力區(qū)域擴(kuò)展,最終導(dǎo)致材料整體開(kāi)裂破壞。這是含孔洞板受壓開(kāi)裂機(jī)理,減小孔洞內(nèi)壁或周邊的拉伸應(yīng)力集中的措施,將有助于防止開(kāi)裂破壞。

(2) 整體上數(shù)值模擬給出的裂紋發(fā)展趨勢(shì)與試驗(yàn)結(jié)果相吻合,包括裂紋時(shí)程的整體走勢(shì)和拐點(diǎn)、啟裂時(shí)刻、裂紋初期擴(kuò)展速度等; 表明基于XFEM和內(nèi)聚模型的方法,對(duì)I型裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展的模擬是可行的; 在裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展等整體發(fā)展規(guī)律上,數(shù)值模擬可以給出較好預(yù)測(cè)。

(3) 由于PBX炸藥具有細(xì)觀非均質(zhì)特性,其宏觀上力學(xué)參數(shù)有一定的分散性或隨機(jī)性,因此良好的數(shù)值預(yù)測(cè)需要統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)作支撐,將材料參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性引入到數(shù)值模擬中。

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