論類比在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

胡瑩

一、引言

在2009年版的《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中提到的技能與能力培養(yǎng)要求中，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是這樣要求的：“依據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用類比、歸納、綜合等方法，對(duì)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用問題能進(jìn)行有條理的思考、判斷、推理和求解；針對(duì)不同的問題（或需求），會(huì)選擇合適的模型（模式）。” 大綱要求中職學(xué)生要掌握類比的思想方法，在解決數(shù)學(xué)及相關(guān)問題時(shí)，能夠做出理性的思考、合理的判斷以及正確的求解。教師可以在平時(shí)的教學(xué)中充分利用各種條件加強(qiáng)學(xué)生在類比思維方面的訓(xùn)練。

類比作為數(shù)學(xué)方法中較為常見的一種思維方法，對(duì)中職數(shù)學(xué)教學(xué)的有效展開起著重要作用。其在概念學(xué)習(xí)、解題方法、運(yùn)算法則和定理教學(xué)諸方面都起著積極的作用。為了幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中能夠熟練掌握并運(yùn)用類比方法，教師在整個(gè)課堂教學(xué)演示過程中應(yīng)該由淺入深、舉一反三地為學(xué)生示范類比方法的運(yùn)用，以開發(fā)學(xué)生思維的創(chuàng)造力。

二、類比的概念

1.定義

類比，就是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在屬性上的相同或相似，而推斷它們?cè)谔卣魃系南嗤蛳嗨频囊环N推理形式。類比，實(shí)際上具有一定程度上的主觀性，故也被認(rèn)為是一種不充分的似真推理。要確定其主觀性的正確性，就必須以邏輯論證的清晰性來確認(rèn)。簡(jiǎn)單來說，類比就是從特殊推到特殊。類比推理的基本原理可以通過下列表達(dá)式闡釋其內(nèi)涵： A有a、b、c三屬性，也有d屬性；B有a、b、c三屬性，所以，B也有d屬性。這個(gè)結(jié)論并不是必然的。因?yàn)樯鲜鐾普撝皇锹?lián)想，如果想證明這個(gè)結(jié)論的正確性，就需要驗(yàn)證過程。經(jīng)過檢驗(yàn)確實(shí)無疑后，上述結(jié)論即為成立。如果不能完成證明過程，就不能確認(rèn)上述結(jié)果成立。但是無論何種情況，都可以算是類比推理過程的完成。

通過上述內(nèi)容，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在利用類比方法的過程中，可以提高自身學(xué)習(xí)能力。因此，類比是需要學(xué)生在掌握原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)下去尋找新知識(shí)與舊知識(shí)的聯(lián)系，利用舊知識(shí)解決新問題。只要堅(jiān)持這個(gè)過程，學(xué)生就會(huì)養(yǎng)成運(yùn)用類比的習(xí)慣，這對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)大有裨益。

2.與其它推理方法的差異

作為思維方法的類比，意在對(duì)比發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象、不同領(lǐng)域在屬性上的相同或相似，而推斷它們?cè)谔卣魃系南嗤蛳嗨?。由于它是從一個(gè)個(gè)別的對(duì)象、領(lǐng)域推論到另一個(gè)個(gè)別的對(duì)象、領(lǐng)域，故既與從普遍到特殊的演繹推理不同，也從特殊到普遍的歸納推理不同。由于教學(xué)本身的特點(diǎn)，在概念的推導(dǎo)過程中，以及平常的解題教學(xué)中，用演繹推理和歸納推理較多，而常常忽視了類比推理的運(yùn)用。因此，類比推理運(yùn)用的知識(shí)跨度往往很大，學(xué)生不一定能夠很好地找到類比的對(duì)象，這就需要教師尋找類比源，然后在教學(xué)過程中滲透類比的思維方法。

三、類比的分類

在使用類比時(shí)，最關(guān)鍵的是要確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)膮⒄諏?duì)象。依據(jù)確立參照對(duì)象的角度，類比可以大致分為三種類別：降維類比、結(jié)構(gòu)類比、簡(jiǎn)化類比。

所謂降維類比，就是將對(duì)象從高維度降到低維度層面進(jìn)行比較。例如，在講解立體幾何圖形的一系列相關(guān)定理的證明時(shí)，就可以將對(duì)象從二維空間降到一維平面層面上來比較說明。

所謂結(jié)構(gòu)類比，就是從對(duì)象的結(jié)構(gòu)上來尋找參照對(duì)象而進(jìn)行比較。例如，在講解三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，由于已經(jīng)講解了f（x）=sinx的圖象及其性質(zhì)的諸方面內(nèi)容，當(dāng)講解f（x）=cosx時(shí)，就可以通過誘導(dǎo)公式，將其與f（x）=sinx進(jìn)行類比而獲得余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)。

所謂簡(jiǎn)化類比，就是將對(duì)象與比其更簡(jiǎn)化簡(jiǎn)單的對(duì)象進(jìn)行比較。例如，在講解求長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)度時(shí)，由于已經(jīng)講解了長(zhǎng)方形對(duì)角線長(zhǎng)度的求解方法，這時(shí)就可以將長(zhǎng)方體的對(duì)角線問題簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方形對(duì)角線問題來講解，從而令學(xué)生更容易理解接受。

四、類比法的作用

1.培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間或直接或間接地有著各種聯(lián)系。只有學(xué)生掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，學(xué)生才能建構(gòu)自己的知識(shí)體系，在解題過程中才能激發(fā)多種想象和靈感，建立知識(shí)間的聯(lián)系，才能有效應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)中的各種問題。知識(shí)遷移能力對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尤為重要。而類比教學(xué)可以逐步開發(fā)學(xué)生在知識(shí)遷移方面的思維能力。類比教學(xué)利用學(xué)生的已有知識(shí)學(xué)習(xí)新知。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比思維的訓(xùn)練，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)利用熟悉的知識(shí)不斷進(jìn)行類比聯(lián)想，建立知識(shí)間的有效聯(lián)系，不斷激活思維，遷移能力得以提升。類比教學(xué)講究同中有異，學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)需要大膽創(chuàng)新，學(xué)生會(huì)從同中找不同，掌握全新的方法，不斷解決問題，創(chuàng)造性思維得到，進(jìn)而提升探究未知領(lǐng)域的能力。

2.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于如何培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題的分析能力，能夠提高學(xué)生對(duì)習(xí)題的辨識(shí)度，在遇見習(xí)題的時(shí)候，能夠充分利用類比來分析新知識(shí)和遇見的新題型。例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的過程中，會(huì)用倒序相加法，運(yùn)用公差和通項(xiàng)公式推導(dǎo)求和公式，那么在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的時(shí)候，就可以讓學(xué)生利用類比，推算出等比數(shù)列的求和公式。

3.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不感興趣，因?yàn)樗麄兏械綌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)很有難度，而類比教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生基于已有的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)自己熟悉的事物極為感興趣，類比教學(xué)能夠帶給學(xué)生那種熟悉感，學(xué)生也更積極追求新知。在新知學(xué)習(xí)中，完全可以憑著自身努力習(xí)得知識(shí)，如此一來，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣就可以得到極大提升，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可以不斷地掌握新知，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，不斷地積淀自己的知識(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可以為日后的數(shù)學(xué)教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，在高中數(shù)學(xué)中，有指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，在確定了指數(shù)函數(shù)的值域和定義域之后，再學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，就可以利用類比演示出：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域和定義域與指數(shù)函數(shù)是相對(duì)的，這能夠讓學(xué)生更加注重知識(shí)學(xué)習(xí)中的細(xì)節(jié)之處，也可以讓學(xué)生更易理解對(duì)數(shù)函數(shù)。

五、類比的應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)概念的類比

中職數(shù)學(xué)教學(xué)涉及到很多數(shù)學(xué)概念，需要學(xué)生花大量時(shí)間去理解不同的數(shù)學(xué)概念。因此，為了減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)和加深概念的理解程度，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)可以通過類比教學(xué)法提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的把握程度。

例如，在講等比數(shù)列的概念時(shí)，我們可以讓學(xué)生先復(fù)習(xí)等差數(shù)列的概念，然后類比等差數(shù)列的特點(diǎn)，得出等比數(shù)列的概念。在對(duì)這兩個(gè)概念進(jìn)行記憶時(shí)，也可以讓學(xué)生借助類比的方法進(jìn)行記憶，這樣學(xué)生只要記住一個(gè)概念就能聯(lián)想到另一個(gè)。

再如，對(duì)球的概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可以引入圓的概念與之進(jìn)行類比教學(xué)，使學(xué)生有效地理解并掌握球的概念。首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的概念：“平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓。其中，定點(diǎn)是圓心，而定長(zhǎng)是半徑?！比缓?，教師引出球的概念，“到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做球體，定點(diǎn)叫球心，定長(zhǎng)叫做球的半徑?！鼻蝮w的概念有一定的抽象性，學(xué)生在頭腦中難以有效建立起球體的形象認(rèn)知，難以有效理解球的概念。學(xué)生借助圓的概念來學(xué)習(xí)和理解球的概念時(shí)，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。操作過程如下：在進(jìn)行兩個(gè)概念的類比時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想“如果我們將概念中的‘平面換成‘空間會(huì)得到什么結(jié)果呢？” 這樣，學(xué)生會(huì)進(jìn)行不斷的聯(lián)想，并尋找兩者之間的聯(lián)系，他們不斷討論，概念學(xué)習(xí)的積極性很強(qiáng)。在學(xué)生充分聯(lián)想的過程中，他們可以有效地掌握球的概念。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能夠建立自己的知識(shí)體系。

2.解題方法上的類比

波利亞指出：“選出一個(gè)類似的，較易的問題，去解決問題，以便日后成為一個(gè)模式。然后，利用剛剛建立的模式，以解決原有的問題。這種方法看來似乎是一個(gè)迂回繞圈子的過程，但在數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)以外的科學(xué)研究中是十分普遍的?！辈ɡ麃喫傅木褪怯妙惐鹊姆椒▉斫忸}。我們?cè)谡n堂教學(xué)時(shí)，也應(yīng)借助于學(xué)生熟悉的知識(shí)或以前做過的題目，用類比的方式，找到要解決問題的方法。

例如，求cos75°的值。前面學(xué)習(xí)了求sin75°=sin（30°+45°）=sin30° ·cos45°+cos30°·sin45°， 那么在解決求cos75°這個(gè)問題時(shí)，就可以讓學(xué)生運(yùn)用類比借助于兩角和的正弦公式的解法解決這一問題。對(duì)于這樣簡(jiǎn)單的類比，學(xué)生自然而然地就會(huì)想到問題的答案。

3.在數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、定理教學(xué)中的類比

平面向量的運(yùn)算法則可以利用含字母的類比運(yùn)算法則來進(jìn)行。又如，在講空間兩個(gè)平面平行的定理時(shí)，α∥β，β∥γ=>α∥γ，我們就可以類比平面幾何中的兩條直線平行的定理：a∥b，b∥c =>a∥c。運(yùn)用平面幾何中兩直線平行的傳遞性，類比推出空間平面的平行定理。

六、結(jié)語

總之，在學(xué)習(xí)中，類比是有效地發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的思維方法。在實(shí)際的教學(xué)過程中，類比相對(duì)于嚴(yán)密的邏輯推證更容易取得顯著效果。需要注意的是，在用類比來探究新概念、新規(guī)律時(shí)，一定不能忽視二者之間的差別。教師在課堂教學(xué)中一定要恰當(dāng)使用類比教學(xué)法，以幫助學(xué)生理解和掌握這一思維方法。這不僅有利于學(xué)生有效積累具體的知識(shí)要點(diǎn)，還有利于其深層次思維創(chuàng)造潛力的發(fā)掘和培育。

責(zé)任編輯 何麗華