一類非線性發(fā)生率植被恢復(fù)模型的穩(wěn)定性分析

紀(jì)德龍,李硯,趙新俊

（石河子大學(xué)理學(xué)院，新疆 石河子832003）

植被是生態(tài)系統(tǒng)中最基本也是最重要的元素，植被恢復(fù)不僅可以修復(fù)地表和地下的生態(tài)系統(tǒng)[1]，還對(duì)土壤理化性質(zhì)[2]有極其重要影響。沙漠邊緣區(qū)的環(huán)境惡劣，依靠人工保護(hù)措施是植被生態(tài)系統(tǒng)恢復(fù)的重要手段之一。目前，植被生態(tài)系統(tǒng)恢復(fù)的方式主要以人工保護(hù)措施為主，其中主要有圍欄封育、人工植被重建以及改善植被退化的影響因子等方式。圍欄封育可以改善土壤成分[3]和植被特征[4-5]，但過(guò)長(zhǎng)的圍封年限會(huì)導(dǎo)致植被結(jié)構(gòu)和功能的退化[6]。影響人工植被重建的因素有很多，其中以植被蒸騰蒸發(fā)和土壤特性最為突出。通過(guò)對(duì)植被蒸騰蒸發(fā)[7]、土壤呼吸特性[8]的實(shí)驗(yàn)研究以及采用植被指標(biāo)對(duì)退化草地植被效果進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)[9]，為人工植被合理重建提供了一定的理論依據(jù)。在荒漠區(qū)，影響植被生長(zhǎng)的關(guān)鍵因子地失調(diào)會(huì)導(dǎo)致植被生態(tài)系統(tǒng)的失衡，所以改善荒漠化驅(qū)動(dòng)因子是植被生態(tài)系統(tǒng)恢復(fù)的根本手段。在遏制植被退化過(guò)程中，考慮空間尺度效應(yīng)下的驅(qū)動(dòng)因子[10]、沙漠化驅(qū)動(dòng)因子的分類[11]及其動(dòng)力學(xué)模型[12]，對(duì)遏制植被退化更具有針對(duì)性。隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，人們開(kāi)始利用RS、GIS技術(shù)和激光雷達(dá)圖像研究大規(guī)模植被重建下的時(shí)空演變和植被退化特征[13-14]，這對(duì)植被恢復(fù)具有重要的意義。

以上文獻(xiàn)主要圍繞人工保護(hù)措施的方式及其影響因素進(jìn)行研究，未能有效預(yù)測(cè)植被生態(tài)系統(tǒng)恢復(fù)狀況以及恢復(fù)所用時(shí)間。荒漠區(qū)資源匱乏這一特性對(duì)植被人工修復(fù)有很大的遏制作用，從而對(duì)人工保護(hù)措施力度也提出了苛刻的要求?；诖?，本文通過(guò)建立植被恢復(fù)模型定性分析人工保護(hù)措施力度對(duì)植被恢復(fù)的影響，并利用數(shù)值模擬驗(yàn)證所建模型的適用性，為失衡的植被生態(tài)系統(tǒng)更平穩(wěn)的恢復(fù)平衡提供參考依據(jù)。

1 模型的建立

由于植被蓋度大小與侵蝕大小是相互驅(qū)動(dòng)的，故本文基于非線性發(fā)生率的SIS傳染病模型，構(gòu)造加入人工保護(hù)系數(shù)的植被恢復(fù)模型，并對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。傳染病模型的研究核心是對(duì)發(fā)生率的刻畫(huà)，并且在經(jīng)典的傳染病傳播模型中，還常常設(shè)定發(fā)生率是雙線性的。Moghadas S M討論了DS(Differential Susceptibility)和DI(Differential Infectivity)模型的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，并分析了2種模型的穩(wěn)定性[17]。本文在Moghadas S M提出的DS和DI模型的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率基礎(chǔ)之上，針對(duì)植被被侵蝕后，人工保護(hù)措施對(duì)侵蝕速率 (即植被覆蓋面積的動(dòng)態(tài)變化)的影響，研究一類具有非線性發(fā)生率的被侵蝕植被恢復(fù)模型。通過(guò)加入人工保護(hù)措施因素預(yù)測(cè)植被恢復(fù)的動(dòng)態(tài)變化，對(duì)資源匱乏的沙漠邊緣區(qū)的植被恢復(fù)具有深刻意義。

基于SIS傳染病模型[18-19]，構(gòu)造加入人工保護(hù)系數(shù)的模型，其具體系統(tǒng)模型為：

其中：S表示t時(shí)刻健康且脆弱(即易被侵蝕)的植被覆蓋面積；I表示t時(shí)刻被侵蝕植被的覆蓋面積；r為內(nèi)稟自然增長(zhǎng)率；K為環(huán)境容納量；β為侵蝕率；α為植被被侵蝕后，人工保護(hù)的作用系數(shù)；θ為自然恢復(fù)率；d為因植被被侵蝕后生長(zhǎng)環(huán)境改變所造成的死亡率。系統(tǒng)中所有的參數(shù)均為正數(shù)。

為了證明和分析的簡(jiǎn)便，對(duì)系統(tǒng)模型(1)作變換dt=K(1+αS)dτ，則模型(1)變?yōu)?/p>

基于系統(tǒng)模型(1)、(2)的實(shí)際生態(tài)學(xué)意義，本文只在區(qū)域G={(S,I)|S≥0,I≥0}內(nèi)討論問(wèn)題。

2 平衡點(diǎn)的存在性

引理1：模型(2)在G內(nèi)總存在無(wú)侵蝕平衡點(diǎn)E0(0,0)和E1(K,0)，當(dāng)θα＜β＜ad-γ/K時(shí)，模型(2)在G內(nèi)存在唯一的侵蝕平衡點(diǎn)E2(S*,I*),即植被生態(tài)系統(tǒng)始終被侵蝕，但植被生態(tài)系統(tǒng)不會(huì)崩潰，其中

證明：分別令模型(2)中兩式為0，即

可求得：

故模型平衡點(diǎn)分別為E0(0,0)、E1(K,0)和E2(S*,I*)。

引理1的生態(tài)學(xué)意義是：E0是無(wú)效的，即現(xiàn)實(shí)中不存在這中情況或?qū)е孪到y(tǒng)發(fā)散，E1和E2與現(xiàn)實(shí)中的植被被侵蝕的狀況相一致。

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

下面分析模型及其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[20-21]。由于模型(2)是模型(1)轉(zhuǎn)換而來(lái)的，所以這2個(gè)模型具有相同的平衡點(diǎn)和系統(tǒng)穩(wěn)定性。下面對(duì)模型(2)進(jìn)行分析。其中，定理2-5都是在定理1的基礎(chǔ)上展開(kāi)分析證明的，定理2和定理3分別分析證明了平衡點(diǎn)E0(0,0)和E1(K,0)的穩(wěn)定性，定理4和定理5分別證明了平衡點(diǎn)E2(S*,I*)的不同穩(wěn)定性，二者屬于一種遞進(jìn)關(guān)系。

定理1：模型(2)的一切正解一定有界。

證明：由模型(1)，令V=S+I，則

所以∨ε＞0,T＞0,當(dāng)t＞T時(shí)，

因此，模型(1)的一切正解一定有界。

故模型(2)的一切正解一定有界，證畢。

定理2：無(wú)侵蝕平衡點(diǎn)E0(0,0)是不穩(wěn)定的。

證明：模型(2)在E0(0,0)處的Jacobi矩陣為：

則系統(tǒng)(2)所對(duì)應(yīng)的特征方程為

顯然特征方程有2個(gè)正實(shí)根，故E0(0,0)是不穩(wěn)定的。

定理3：當(dāng)β＜θα?xí)r，無(wú)侵蝕平衡點(diǎn)E1(K,0)不僅是局部漸近穩(wěn)定的，還在區(qū)域G內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明:(i)首先證明平衡點(diǎn)E1(K,0)的局部漸近穩(wěn)定。模型(2)在E1(K,0)處的Jacobi矩陣為：

則模型(2)所對(duì)應(yīng)的特征方程為

特征根λ1=-rK(1+αK)根為負(fù)實(shí)根；

又因?yàn)棣拢鸡圈?，從而?＜0，故無(wú)侵蝕平衡點(diǎn)E1(K,0)是局部漸近穩(wěn)定的。

(ii)再證明平衡點(diǎn)E1(K,0)在G內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。事實(shí)上，當(dāng)β＜θα?xí)r，模型(2)在區(qū)域G內(nèi)存在唯一的無(wú)侵蝕平衡點(diǎn)E1(K,0)，而且平衡點(diǎn)處在邊界上，故在區(qū)域G內(nèi)不存在閉軌線，且模型(2)從G內(nèi)出發(fā)的軌線均會(huì)一直停留在G內(nèi)。又由于區(qū)域G的有界性，對(duì)任給的一個(gè)初始條件，模型(2)滿足初值的解(S,J)最終都會(huì)趨于平衡點(diǎn)E1(K,0)，再由平衡點(diǎn)E1(K,0)的局部漸近穩(wěn)定性，知可E1(K,0)是全局漸近穩(wěn)定的。

由上面定理推導(dǎo)可知：在所研究區(qū)域內(nèi)，無(wú)論初始被侵蝕植被生態(tài)系統(tǒng)有多么脆弱，最終被侵蝕植被生態(tài)系統(tǒng)都會(huì)轉(zhuǎn)化為健康的植被生態(tài)系統(tǒng)。

定理4：當(dāng)θα＜β＜αd-r/K時(shí)，被侵蝕平衡點(diǎn)E2(S*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明：模型(2)在E2(S*,I*)處的Jacobi矩陣為：

其中：

再由Hurwitz判別法可知:

當(dāng)θα＜β＜αd-r/K時(shí)，侵蝕平衡點(diǎn)E2(S*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

從上述定理可知，模型(2)在侵蝕平衡點(diǎn)E2(S*,I*)的鄰域內(nèi)是吸引的。若初始點(diǎn)(S0,I0)在其鄰域內(nèi)，則模型(2)所描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即隨著時(shí)間推移，植被生態(tài)系統(tǒng)會(huì)達(dá)到一種平衡狀態(tài)；若初始點(diǎn)不在(S0,I0)其鄰域內(nèi)，模型(2)就有可能是不穩(wěn)定的，即隨著時(shí)間推移，植被生態(tài)系統(tǒng)就有可能趨于崩潰狀態(tài)。

定理 5：當(dāng)θα＜β＜αd-r/K且Kα-1＜0時(shí)，侵蝕平衡點(diǎn)E2(S*,I*)在G內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)定理4可知：一旦植被被侵蝕，侵蝕狀態(tài)就會(huì)一直存在，最終的植被易被侵蝕覆蓋面積S和被侵蝕覆蓋面積面積I將會(huì)穩(wěn)定在S*和I*。

4 數(shù)值模擬及分析

4.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

模型中涉及的參數(shù)是依據(jù)古爾班通古特沙漠南緣地區(qū)植被覆蓋面積變化以及植被各等級(jí)度之間實(shí)際覆蓋面積轉(zhuǎn)移的百分比[22]賦值的，這使得參數(shù)更具有實(shí)際效果，從而更加準(zhǔn)確地驗(yàn)證模型的適用性。

表1是從2001年開(kāi)始到2005年，由于大型工程和居民活動(dòng)導(dǎo)致植被生態(tài)系統(tǒng)失衡后，該地區(qū)植被覆蓋面積的變化。

表2是2004年國(guó)家對(duì)古爾班通古特沙漠南緣地區(qū)實(shí)施人工保護(hù)措施后，2005-2008年植被覆蓋面積的變化。

表3和表4分別是表1和表2的覆蓋度等級(jí)之間的轉(zhuǎn)移矩陣，其中植被覆蓋度等級(jí)如下：a為覆蓋度 0-0.1；b為覆蓋度 0.1-0.2；c為覆蓋度 0.2-0.3；d為覆蓋度0.3-0.4；e為覆蓋度>0.4。

表1 2001-2005年古爾班通古特沙漠南緣植被覆蓋面積變化 hm2Tab.1 Vegetation coverage area variation of the south rim of Gurbantunggut from 2001 to 2005

表2 2005-2008年古爾班通古特沙漠南緣植被覆蓋面積變化 hm2Tab.2 Vegetation coverage area variation of the south rim of Gurbantunggut from 2005 to 2008

表3 2001-2005年植被覆蓋度之間的轉(zhuǎn)移矩陣Tab.3 Transition matrix between vegetation coverage from 2001 to 2005 %

表4 2005-2008年植被覆蓋度之間的轉(zhuǎn)移矩陣Tab.4 Transition matrix between vegetation coverage from 2005 to 2008 %

依據(jù)表1和表2植被覆蓋度面積的變化情況，確定未被且易被侵蝕的植被覆蓋面積S為植被覆蓋度等級(jí)c、d的實(shí)際面積之和，被侵蝕植被覆蓋面積I為植被覆蓋度等級(jí)a、b的實(shí)際面積之和。

4.2 參數(shù)的確定

4.2.1 環(huán)境容納量的確定

從表1可以看出，2001年覆蓋度等級(jí)為c的植被為82305 hm2，占所研究區(qū)域 90000 hm2的91.45%。

由以上數(shù)據(jù)可知，植被幾乎未被侵蝕，植被生態(tài)系統(tǒng)正處于平衡狀態(tài)。故此時(shí)的植被覆蓋面積可近似看作已經(jīng)達(dá)到環(huán)境承載量，這具有一定的合理性。故環(huán)境承載量等于各等級(jí)植被實(shí)際蓋度面積之和，即K0=22400。由于作圖時(shí)，取值不宜過(guò)大，故取K=22.4。

4.2.2 內(nèi)稟增長(zhǎng)率r的確定

在2001-2005年間，由于古爾班通古特沙漠南緣受到居民活動(dòng)和大型工程的影響，其自然內(nèi)稟增長(zhǎng)率也受到很大影響。自2004年起，國(guó)家在此地區(qū)開(kāi)始實(shí)施人工保護(hù)措施后，表2中圍欄內(nèi)覆蓋度等級(jí)為c、d的植被覆蓋面積不僅基數(shù)較大，而且增長(zhǎng)相對(duì)穩(wěn)定，故其轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)出的綜合情況所體現(xiàn)的自然內(nèi)稟增長(zhǎng)率更加接近實(shí)際(由于e的等級(jí)范圍過(guò)大，選取=0.5)。經(jīng)分析，內(nèi)稟增長(zhǎng)率r由下列公式確定：

代入數(shù)據(jù)，可求得r=0.2470。其中：λi→j表示覆蓋等級(jí)度i向覆蓋等級(jí)度j轉(zhuǎn)移的百分比，i(i=a,b,c,d,e)表示各覆蓋等級(jí)度的平均值。

4.2.3 植被恢復(fù)率θ，被侵蝕率β，死亡率d、初值S0、I0和保護(hù)系數(shù)α的確定

（1）通過(guò)表1和表2的覆蓋面積變化，以及表3和表4的植被等級(jí)度之間的面積轉(zhuǎn)移百分比可知：對(duì)于植被覆蓋等極度由b→c正向轉(zhuǎn)化73.74%，故由可得，θ=0.4910。

（2）被侵蝕率β由c→b和d→b轉(zhuǎn)移的綜合情況確定，從而可得下列公式：

采用表2和表4數(shù)據(jù)，由上式解得β=0.0036。

（3）對(duì)死亡率d的確定，通過(guò)覆蓋度等級(jí)為a,b的植被面積自身增長(zhǎng)率和r之間的差距來(lái)確定。結(jié)合4.2.2可知，d=0.0245。

（4）對(duì)于初值的確定，通過(guò)表2數(shù)據(jù)并計(jì)算，可知2005年植被覆蓋度等級(jí)為c、d實(shí)際覆蓋面積之和為11000 hm2，植被覆蓋度等級(jí)為a、b的實(shí)際覆蓋面積之和為 7000 hm2，故令S0=11，I0=7。

（5）通過(guò)模型1的結(jié)構(gòu)以及所確定的初值，并結(jié)合表3和表4的對(duì)比，可令人工保護(hù)系數(shù)α=0.8。

4.3 模型求解

將K=22.4，S0=11，I0=7，r=0.2470，θ=0.4910，β=0.0036，d=0.0245，α=0.8 代入模型(1)，并利用軟件MATLAB7.1得到圖1。

圖1 模型（1）的數(shù)值模擬圖Fig.1 Numerical simulation chart of model(1)

由圖1可知：

（1）經(jīng)過(guò)數(shù)年后，植被將逐漸趨于無(wú)侵蝕平衡點(diǎn)E1(K,0)，即植被生態(tài)系統(tǒng)無(wú)侵蝕。

（2）通過(guò)參數(shù)的選取可知β＜θα，該圖符合定理3的結(jié)論。

4.4 補(bǔ)充性檢驗(yàn)

由于模型 (1)中所涉及參數(shù)均是由2001年至2008年古爾班通古特沙漠南緣植被覆蓋面積及覆蓋度等級(jí)面積轉(zhuǎn)移程度得到的，故圖1的曲線走勢(shì)與此地區(qū)2001年至2008年的植被覆蓋面積有很大關(guān)聯(lián)，圖1中2005-2008年的植被覆蓋面積并不能很好的驗(yàn)證模型的可靠性。為了充分檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?1)的預(yù)測(cè)功能，本文選取2010-2013年古爾班通古特沙漠南緣植被覆蓋面積實(shí)際值[23-24]（通過(guò)文獻(xiàn)中數(shù)據(jù)及數(shù)學(xué)反演得到），并通過(guò)模型（1）計(jì)算得出2010-2013年此地區(qū)植被覆蓋面積預(yù)測(cè)值。具體數(shù)據(jù)如下：

表5 近年古爾班通古特沙漠南緣植被覆蓋面積Tab.5 Vegetation coverage area of the south rim of Gurbantunggut from 2010 to 2013 hm2

利用軟件SPSS對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行配對(duì)t檢驗(yàn)分析，得到下列分析結(jié)果：

表6 配對(duì)t檢驗(yàn)分析結(jié)果Tab 6 Pairingt-testing results

由表6可知：Sig.=0.303>0.05，這說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)顯著性差異很小。由此可知，模型（1）的預(yù)測(cè)功能良好。

5 結(jié)論

由模型分析及數(shù)值模擬，并結(jié)合生態(tài)學(xué)原理，可得出以下結(jié)論：

（1）本文通過(guò)微分方程幾何理論和生態(tài)學(xué)原理建立了植被恢復(fù)模型，該模型能有效預(yù)測(cè)植被恢復(fù)狀況，以便當(dāng)植被恢復(fù)狀況異常時(shí)，能夠及時(shí)查明原因并采取應(yīng)對(duì)措施。

（2）在植被恢復(fù)過(guò)程中，通過(guò)調(diào)控人工保護(hù)措施力度，即當(dāng)α≈β/θ時(shí)，可以更好地節(jié)省植被恢復(fù)所需資源，這對(duì)資源匱乏的沙漠邊緣區(qū)的植被恢復(fù)具有重要意義。

（3）當(dāng)β＜θα?xí)r，根據(jù)植被生態(tài)系統(tǒng)所具有的特性，隨著時(shí)間推移，被侵蝕的植被生態(tài)系統(tǒng)將會(huì)逐漸恢復(fù)，毗鄰已恢復(fù)植被生態(tài)系統(tǒng)地區(qū)的完全沙漠化地帶(植物極其稀少或不存在)的植被數(shù)量與種類也會(huì)趨向于增多的態(tài)勢(shì)。這表明：植被覆蓋面積的增大，生態(tài)系統(tǒng)的不斷修復(fù)，土壤中微生物數(shù)量及種類也會(huì)不斷增多，進(jìn)而改善土壤環(huán)境，促進(jìn)植被生長(zhǎng)，形成一種良性循環(huán)。

（4）當(dāng)θα＜β＜αd-r/K且Kα-1＜0時(shí)，沙漠化面積會(huì)持續(xù)增大，侵蝕區(qū)域不斷向外拓展。從模型平衡點(diǎn)分析上看，沙漠化侵蝕持續(xù)存在，其侵蝕速度較為溫和，短時(shí)期內(nèi)生態(tài)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)崩潰狀態(tài)。這表明：隨著沙漠化面積越來(lái)越大，沙漠化侵蝕速度也會(huì)越來(lái)越快，這就形成了一種惡性循環(huán)。因此，應(yīng)加大保護(hù)力度，以改變參數(shù)之間的關(guān)系，以遏制沙漠化侵蝕。

6 討論

（1）大多數(shù)文獻(xiàn)通過(guò)植被生態(tài)因子的變化研究植被修復(fù)問(wèn)題，由于實(shí)驗(yàn)方法的不同和生態(tài)因子的側(cè)重點(diǎn)不同，其研究結(jié)果帶有一定的主觀性。本文所建立的模型，利用植被的種群特征及其數(shù)量關(guān)系，從宏觀層面上研究植被修復(fù)問(wèn)題，這使得研究結(jié)果更傾向于客觀化。

（2）模型所涉及的參數(shù)由植被受保護(hù)前后若干年份的覆蓋面積變化來(lái)確定，所以，實(shí)施人工保護(hù)措施后，并不能在短時(shí)間內(nèi)預(yù)測(cè)未來(lái)植被恢復(fù)狀態(tài)。另外，此類模型并未考慮自然降水的異常改變，一旦降水量變化過(guò)大，模型所涉及的參數(shù)就會(huì)出現(xiàn)差異，這對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果有一定影響。

（3）由于人工保護(hù)系數(shù)的改變，使得植被覆蓋面積的內(nèi)稟自然增長(zhǎng)率、恢復(fù)率、非自然死亡率以及被侵蝕率產(chǎn)生變化，從而對(duì)植被生態(tài)系統(tǒng)恢復(fù)時(shí)間的預(yù)測(cè)也會(huì)產(chǎn)生較大的影響。因此，有待對(duì)模型(1)中相關(guān)參數(shù)之間的相互影響進(jìn)行更深入的研究。

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