非剛性軸承潤(rùn)滑與變形耦合下的軸系校中研究

蔣 平，朱漢華，嚴(yán)新平，朱軍超

（武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430063）

非剛性軸承潤(rùn)滑與變形耦合下的軸系校中研究

蔣 平，朱漢華，嚴(yán)新平，朱軍超

（武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430063）

軸承油膜是影響軸系校中的動(dòng)態(tài)因素之一。在油膜剛度的計(jì)算過(guò)程中，較多學(xué)者采用船級(jí)社推薦值，或?qū)⑤S承考慮為剛性，利用差分法或有限元法對(duì)其進(jìn)行求解。文章對(duì)軸承彈性變形與油膜壓力進(jìn)行耦合分析，獲得最優(yōu)小擾動(dòng)量，得到更符合實(shí)際情況的油膜剛度，利用vb.net編寫有限元軸系校中軟件并對(duì)某油船軸系進(jìn)行校中計(jì)算，分析了軸承油膜對(duì)軸系校中的影響程度，可為船舶軸系校中計(jì)算及檢驗(yàn)提供參考。

軸系校中；有限元法；油膜剛度；vb.net

0 引 言

軸系是船舶的重要組成部分，其安裝的好壞與否直接影響船舶的運(yùn)行狀態(tài)。軸系校中常使用的方法主要有：傳遞矩陣法、三彎矩法和有限元法。在上世紀(jì)九十年代，由于計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度不高，傳遞矩陣法成為當(dāng)時(shí)最流行的方法，許多學(xué)者應(yīng)用該方法進(jìn)行分析討論[1]。大連海事大學(xué)的魏海軍[1]將艉軸多支承、油膜剛度利用傳遞矩陣法一一進(jìn)行分析。在本世紀(jì)初，周瑞平[2]對(duì)三彎矩法進(jìn)行了改進(jìn)，加入了影響軸系校中的多個(gè)因素，提高了三彎矩校中的準(zhǔn)確性。隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，有限元法計(jì)算速度和精度得到巨大的提升，大連理工大學(xué)的曹學(xué)濤和劉玉君等[3]利用商用有限元軟件對(duì)軸系進(jìn)行了校中分析，認(rèn)為該方法的計(jì)算結(jié)果具有很高的精度，且計(jì)算時(shí)間也不是很長(zhǎng)。

之前，許多船級(jí)社和學(xué)者對(duì)軸系校中的影響因素進(jìn)行了大量研究。DNV船級(jí)社在校中計(jì)算中考慮了軸承支座的熱變形，同時(shí)也在著手研究船體、支承變形和螺旋槳水動(dòng)力對(duì)軸系校中的影響[4]。中國(guó)船級(jí)社提出了在校中計(jì)算時(shí)需要考慮齒輪箱中的齒輪嚙合力影響[5]。波蘭船舶研究中心的Lech Murawski將船體剛度、軸承剛度、油膜剛度進(jìn)行耦合，分析剛度對(duì)軸承反力的影響[6]。荷蘭的Machine Support公司在其軸系設(shè)計(jì)軟件ShaftDesigner的軸系校中模塊中加入了后艉軸承水力潤(rùn)滑的影響。

隨著船舶的巨型化發(fā)展，油膜潤(rùn)滑對(duì)軸系校中的影響愈顯突出。DNV船級(jí)社在校中計(jì)算中給出油膜剛度推薦值。荷蘭Machine Support公司在其船舶推進(jìn)軸系設(shè)計(jì)軟件Shaft Designer中將水力潤(rùn)滑與接觸應(yīng)力進(jìn)行耦合分析，獲得了更符合實(shí)際的應(yīng)力分布圖。武漢理工大學(xué)的周瑞平利用有限差分法求解了軸承剛度。江南造船集團(tuán)公司的耿厚才利用數(shù)值計(jì)算方法獲取了油膜的剛度與阻尼并計(jì)算了彈性支承下的軸承反力。

1 軸系校中有限元法

1.1 坐標(biāo)系的建立

以軸系螺旋槳末端為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸系理論中心線為x軸，正向指向船艏，過(guò)原點(diǎn)垂直x軸向上為z軸正向；根據(jù)右手法則，y軸方向?yàn)榇怪奔埫嫦騼?nèi)。P為集中載荷，q為均布載荷，Zb為軸承變位，θ為軸截面轉(zhuǎn)角，Q為軸截面剪力，M為彎距，m為外加力偶，R為軸承支反力。一般取與z軸同向?yàn)檎槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，其中軸承位移一般取相對(duì)軸系理論中心線向下為正，向上為負(fù)。

1.2 有限元?jiǎng)偠染仃?/p>

在推導(dǎo)船舶軸系單元?jiǎng)偠染仃嚨臅r(shí)候，將單元看作為一段梁?jiǎn)卧脛?shì)能法、伽遼金法均可得到梁?jiǎn)卧膭偠染仃?。在?guó)內(nèi)外的很多著作中[7]，都對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，故本文就不再進(jìn)行推導(dǎo)，只給出最終結(jié)果。軸系單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎救缦拢?/p>

式中：E為單元材料的彈性模量，船舶軸系材料E一般取2.06×1011Pa；I為單元對(duì)z軸的慣性矩；L為單元的長(zhǎng)度。

在獲得了各個(gè)軸段單元?jiǎng)偠染仃嚭?，將這些剛度矩陣按一定規(guī)則進(jìn)行處理，使其組成一個(gè)總的剛度矩陣K。

1.3 外部載荷的處理

由軸系校中所建立的模型發(fā)現(xiàn)，作用于軸系上的外部載荷分為均布載荷和集中載荷兩大類。集中載荷作用于軸系節(jié)點(diǎn)上，可以直接作為載荷向量分量；而均布載荷平均分布于軸段上，需要進(jìn)行等值節(jié)點(diǎn)力的轉(zhuǎn)換才可以進(jìn)行下一步的計(jì)算。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)均布載荷進(jìn)行等效節(jié)點(diǎn)力的轉(zhuǎn)換，使其能夠產(chǎn)生相同的效果：作用于長(zhǎng)為L(zhǎng)軸段上的均布載荷q等效于分別作用于軸段兩端的集中力qL/2和彎矩qL2/12。

1.4 約束條件的設(shè)置

船舶軸系校中最終是要將軸系敷設(shè)成某種曲線狀態(tài)。因此在校中計(jì)算過(guò)程中，需要對(duì)軸承位移進(jìn)行修改。在有限元校中方法中，對(duì)軸系支承位移進(jìn)行修改主要有兩種方法：置大數(shù)法、置換法。置大數(shù)法是一種近似計(jì)算的方法，其計(jì)算精度沒(méi)有置換法高；另一方面，置大數(shù)法由于需要將整體剛度矩陣中的某一值乘上一個(gè)足夠大的數(shù)，從而導(dǎo)致該剛度矩陣的模在Matlab中顯示為無(wú)窮大，進(jìn)而無(wú)法進(jìn)行求逆運(yùn)算，作者通過(guò)在Matlab中驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)某些剛度矩陣無(wú)法通過(guò)置大數(shù)法進(jìn)行求解。

船舶軸系整根軸受力與變形關(guān)系：

式中：δ=［δ1,δ2,…δ2n］T；F=［F1,F2,…F2n］T

式中：K整個(gè)結(jié)構(gòu)（軸系）的剛度矩陣；δ為作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的線位移和角位移；F為作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的集中力和彎矩；n為所劃分節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

將（2）式展開(kāi)，代入邊界條件并進(jìn)行相關(guān)變換后可得：

式中：k為軸系剛度矩陣中的各個(gè)元素；δ為作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的線位移和角位移；F為作用于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的集中力和彎矩；b為第r處節(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的軸承變位。

通過(guò)（3）式變換，當(dāng)有軸承變位時(shí)，只有載荷量發(fā)生變化，而系統(tǒng)的剛度矩陣沒(méi)有任何改變，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。置換法是一種通用的處理方法，不管單元?jiǎng)偠染仃嚾绾巫兓?，只要結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造正確，集成總體剛度矩陣之后總是可以通過(guò)置換法使得總體剛度矩陣為非奇異，同時(shí)這種方法也存在編程繁瑣的弊端。

2 軸承潤(rùn)滑與變形耦合基本原理

2.1 雷諾方程及其求解[8]

穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的向心滑動(dòng)軸承雷諾二維方程：

式中：h為徑向油膜厚度；U為軸頸線速度；p為油膜分布?jí)毫Α?/p>

式中：r為軸頸半徑；d為軸頸直徑；L為軸承長(zhǎng)度；Cr為軸承半徑間隙；λ，φ為軸承軸向和圓周方向無(wú)量綱坐標(biāo)，）；H為無(wú)量綱油膜厚度；P為無(wú)量綱油膜壓力。

本文分析對(duì)象為穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的向心滑動(dòng)軸承，其油膜厚度是穩(wěn)定不變的，故在對(duì)（5）式進(jìn)行差分迭代計(jì)算之前可給出油膜的厚度方程，將此方程無(wú)量綱處理后可得[9]：

式中：ε為各個(gè)截面上的軸頸偏心率，φ為偏位角。

將油膜離散為長(zhǎng)方形網(wǎng)格，行列分別表示圓周方向和軸向方向，將偏微分方程離散為代數(shù)式形式，進(jìn)而將各節(jié)點(diǎn)油膜壓力用已知量進(jìn)行表示，再加入各個(gè)邊界條件，便可對(duì)其進(jìn)行求解，通過(guò)反復(fù)迭代，便可得到滿足精度要求的油膜壓力分布。編程思路如圖1所示。

本文在進(jìn)行雷諾方程求解的時(shí)候，為了提高計(jì)算精度，同時(shí)加快計(jì)算速度，在對(duì)求解區(qū)域離散時(shí)采用了半步長(zhǎng)插入形式；在進(jìn)行迭代求解時(shí)，采用了超松弛算法（SOR）。

2.3 軸承潤(rùn)滑與變形的耦合[10，13-14]

為了能夠達(dá)到將軸承彈性變形與油膜壓力兩者進(jìn)行耦合分析的目的，在對(duì)軸承變形進(jìn)行計(jì)算時(shí)，采用了有限元的思想。

對(duì)求解區(qū)域 （軸承內(nèi)表面）劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格大小與形式保持與上述求解油膜壓力分布時(shí)所劃分的網(wǎng)格一致。在獲得了油膜各個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力后，將這些壓力以外部載荷形式作用于已進(jìn)行了有限元網(wǎng)格劃分的軸承各節(jié)點(diǎn)上，加入符合實(shí)際的約束，進(jìn)行有限元求解獲得相應(yīng)的軸承表面位移變化Δh。將此Δh疊加到最初油膜厚度中，再次進(jìn)行雷諾方程求解，以此不斷循環(huán)，直至達(dá)到相應(yīng)精度。編程思路如圖2所示。

2.4 油膜剛度計(jì)算算例

根據(jù)上述方法，對(duì)一艘油船后艉軸承油膜進(jìn)行了計(jì)算，該船后艉軸承主要參數(shù)如下：軸承寬1 180 mm，軸頸外徑548 mm，軸承半徑間隙0.5 mm，軸頸偏心距0.23mm。采用Matlab軟件處理可獲得未考慮軸承變形油膜壓力分布圖、考慮軸承變形油膜壓力分布圖以及考慮軸承變形軸承內(nèi)表面變形圖。

圖1 雷諾方程求解Fig.1 Solution of Reynold’s equation

圖2 軸承變形與潤(rùn)滑耦合分析Fig.2 Analysis of coupling bearing deformation with lubrication

圖3 耦合計(jì)算結(jié)果Fig.3 Results of coupling calculation

在Matlab中調(diào)用已編制的m文件，可以獲得不考慮軸承變形與考慮軸承變形這兩種情況下的無(wú)量綱油膜壓力峰值、無(wú)量綱最小油膜厚度以及計(jì)算所耗的時(shí)間，具體數(shù)值如表1所示。

表1 不同因素下的油膜參數(shù)Tab.1 Oil film parameters under different factors

由表1可以看出：在考慮了軸承的彈性變形之后，油膜壓力明顯變小；由于軸承產(chǎn)生彈性變形，導(dǎo)致了最小油膜厚度變大；本文在求解中發(fā)現(xiàn)考慮軸承彈性變形的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不考慮軸承變形的計(jì)算時(shí)間，這主要是因?yàn)橛?jì)算中需要進(jìn)行六面體八節(jié)點(diǎn)單元的剛度矩陣計(jì)算與組裝，而這一過(guò)程需要大量計(jì)算時(shí)間。

在進(jìn)行計(jì)入油膜影響的船舶軸系校中計(jì)算前，需要計(jì)算出油膜的平均剛度，而油膜剛度的計(jì)算分為差分法和有限元法兩種。在利用差分法進(jìn)行油膜剛度計(jì)算時(shí)，小擾動(dòng)量的選擇決定著油膜剛度的正確與否。本文中在1×10-1mm～1×10-10mm之間平均選取10個(gè)小擾動(dòng)量，計(jì)算了在不同擾動(dòng)量下的油膜平均剛度。

由表2可以看出，隨著小擾動(dòng)量Δy逐漸變小，潤(rùn)滑油的油膜剛度也逐漸變小，當(dāng)小擾動(dòng)量小到某一數(shù)值時(shí)，潤(rùn)滑油的油膜剛度將基本不再變化，認(rèn)為此時(shí)的小擾動(dòng)量為最佳值，可以利用該值來(lái)求解油膜剛度。本文中，認(rèn)為最佳小擾動(dòng)量Δy為1×10-5mm。較不考慮軸承彈性變形，在考慮了軸承彈性變形之后的油膜剛度比前者略大。在本文的校中計(jì)算中，取考慮了軸承變形的油膜剛度2.196 450×108N/m。

3 實(shí)船分析

根據(jù)有限元軸系校中原理，作者利用vb.net編制了軸系校中軟件，軟件主要輸入數(shù)據(jù)有：各個(gè)軸段的密度、浮力系數(shù)、外徑及內(nèi)徑等。主要輸出數(shù)據(jù)為：直線校中結(jié)果、軸承影響系數(shù)、合理校中結(jié)果等。

本文以一艘油船軸系為例，利用自編的有限元軸系校中軟件進(jìn)行了計(jì)算，將油船數(shù)據(jù)輸入后，可以直接在輸出文件中得到軸承的影響系數(shù)如表3所示。

在計(jì)及油膜影響時(shí)，引入上述2.3中的油膜剛度計(jì)算方法，利用有限元的校中方法，計(jì)算了油膜影響下的各個(gè)軸承的負(fù)荷情況。

由表4可以看出：考慮了彈性軸承的潤(rùn)滑影響之后，軸系合理校中的各個(gè)軸承負(fù)荷與不考慮任何影響因素的軸承負(fù)荷相比分別變化了-9.074%、2.983%、-6.787%、2.096%和-1.746%?？梢?jiàn)，當(dāng)軸承負(fù)荷較大時(shí)，油膜厚度減小，相當(dāng)于作用在軸系上的等效軸承變位減小，使得軸承負(fù)荷相應(yīng)地減?。环粗嗳?。在軸系校中中，計(jì)入油膜影響后，增加了軸系的柔度，從而實(shí)現(xiàn)了軸系通過(guò)自身對(duì)軸承負(fù)荷進(jìn)行均勻調(diào)配，保證了軸系的安全性與穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

（1）在本文油膜剛度計(jì)算過(guò)程中，將油膜壓力與軸承變形耦合分析并取小擾動(dòng)量為1×10-5mm可以獲得更接近實(shí)際情況的油膜剛度。油膜剛度值一般保留三位有效數(shù)字即可滿足軸系校中計(jì)算的要求，而通過(guò)其他算例的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，一般取小擾動(dòng)量為1×10-5mm可以保證剛度精確到三位有效數(shù)字。

（2）在油膜潤(rùn)滑計(jì)算中，將軸承彈性變形與油膜潤(rùn)滑進(jìn)行耦合分析。即將有限元法與差分法進(jìn)行組合，采用耦合問(wèn)題的方法進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際情況。該方法具有計(jì)算精度高，結(jié)果更合理的優(yōu)點(diǎn)，但是計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

（3）在軸系校中中，計(jì)入軸承潤(rùn)滑油膜影響后，實(shí)現(xiàn)了軸系通過(guò)自身對(duì)軸承負(fù)荷進(jìn)行均勻的調(diào)配，保證了軸系校中安全性與穩(wěn)定性。

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Research on bearing lubrication and deformation on shafting alignment

JIANG Ping,ZHU Han-hua,YAN Xin-ping,ZHU Jun-chao
(Energy and Power Engineering,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China)

In the research of the influence of shafting alignment,rigidity of bearing oil film is one of the dynamic factors.In the calculation of rigidity of bearing oil film,most researchers used the recommended value of Classification Society or considered the bearings as rigid to solve by the finite differencemethod or finite elementmethod.In this paper,the coupled analysis of the bearing elastic deformation and pressure of oil film is carred out,The best small disturbance and most realistic rigidity of bearing oil film are obtained.The shafting alignment program with Visual Basic is developed and the shafting of a tanker is calculated,which could provide reference to the calculation and survey of shaft alignment.

shaft alignment;finite elementmethod;oil film stiffness;vb.net

U664.21

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.02.011

2016-09-23

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（51139005）和校研究生創(chuàng)新基金（2012-zy-045）資助

蔣 平（1987-），男，碩士研究生，E-mail:jsczjp2000@163.com；朱漢華（1968-），男，教授，博士生導(dǎo)師。

1007-7294（2017）02-0211-07