船舶推進軸系縱橫耦合非線性動力學(xué)分析—葉頻激勵下橫向主共振響應(yīng)

鄒冬林，張建波，塔 娜，饒柱石

（上海交通大學(xué) a.振動、沖擊、噪聲研究所；b.機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

船舶推進軸系縱橫耦合非線性動力學(xué)分析—葉頻激勵下橫向主共振響應(yīng)

鄒冬林a，b，張建波a，b，塔 娜a，b，饒柱石a，b

（上海交通大學(xué) a.振動、沖擊、噪聲研究所；b.機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

在考慮Von Karman非線性位移—應(yīng)變關(guān)系下，基于Hamilton變分原理建立了船舶推進軸系縱橫耦合非線性動力學(xué)方程。利用Galerkin方法，導(dǎo)出系統(tǒng)第一階模態(tài)振動微分方程，采用多尺度法求解該方程。獲得了葉頻激勵下橫向主共振響應(yīng)方程組，利用偽弧長延拓法數(shù)值求解了該方程組的平衡解并分析了其穩(wěn)定性。探討了支承剛度、激勵載荷、螺旋槳質(zhì)量、阻尼比以及細(xì)長比對軸系縱橫耦合效應(yīng)的影響。研究表明：細(xì)長比越小，激勵載荷越大，阻尼比越小，系統(tǒng)縱橫耦合效應(yīng)越強；增加后艉軸承剛度可以抑制縱橫耦合效應(yīng)，增加前艉軸承以及推力軸承剛度則增強縱橫耦合效應(yīng)，而中間軸承對其沒有明顯影響；與線性模型相比，縱橫耦合效應(yīng)使軸系橫向共振時的頻率大于其線性固有頻率，在某些激勵頻率處，幅頻響應(yīng)曲線上存在多解使幅值出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。分析結(jié)果對船舶推進軸系的設(shè)計有指導(dǎo)意義。

船舶軸系；縱橫耦合；多尺度法；主共振

0 引 言

船舶推進軸系作為船舶水中航行的動力系統(tǒng)，是船舶組件中非常重要的部件，因此對推進軸系的動力學(xué)特性分析一直以來都是國內(nèi)外研究的熱點[1-3]。早期對推進軸系的研究集中在線性振動問題的分析上，包含了固有頻率、模態(tài)分析以及不平衡響應(yīng)等等。當(dāng)軸系跨度小、激勵力較小而產(chǎn)生的振動幅值較小時，縱向與橫向振動耦合作用較弱，兩者分別為線性振動，可以采用線性振動理論進行分析計算。如文獻[4]分析了不同中間軸承布置方案對船舶軸系力學(xué)性能的影響。文獻[5]分析了不同位置不同支承長度的軸承條件下固有振動特性。文獻[6]分析了艉軸承單點和雙點支承下軸系的振動特性。然而簡單的線性近似不能精確地給出系統(tǒng)動力學(xué)行為，也無法解釋工程實際中的一些非線性現(xiàn)象。例如，多頻現(xiàn)象，組合共振，參激振動，自激振動，極限環(huán)，分岔，振幅跳躍甚至混沌運動等非線性振動特有的現(xiàn)象。這些現(xiàn)象給工程設(shè)計帶來隱患。僅研究線性振動問題無能為力，因此有必要建立系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型來加以分析。對于船舶軸系，一方面由于其跨度大，細(xì)長比小，當(dāng)激勵力較大時，容易引起軸系較大振動；另一方面其葉頻有可能落在軸系第一階橫向固有頻率內(nèi)而引起共振，此時橫向振動變得很大，進而其縱、橫向變形之間的彈性耦合作用變得相當(dāng)嚴(yán)重，從而引起軸系異常振動，所以研究軸系縱橫耦合非線性振動有重要的意義。近年來國內(nèi)外學(xué)者對縱橫耦合引起的非線性現(xiàn)象給予了極大的關(guān)注。文獻[7-8]利用有限差分法研究了海洋平臺的立柱在縱橫耦合下的自由振動與強迫響應(yīng)。文獻[9-10]利用偽弧長延拓法與數(shù)值積分法研究了軸向運動梁在縱橫耦合作用下產(chǎn)生內(nèi)共振時的能量滲透問題。文獻[11]利用有限元法研究了簡支梁在縱橫耦合作用下的強迫振動。文獻[12]利用增量諧波平衡法研究了軸向運動梁在縱橫耦合作用下的內(nèi)共振問題。文獻[13]研究了變質(zhì)量梁（火箭發(fā)射）在縱橫耦合作用下的系統(tǒng)動力學(xué)行為。文獻[14-16]利用多尺度法研究了轉(zhuǎn)子在縱橫耦合作用下的自由振動與主共振響應(yīng)。文獻[17]應(yīng)用多尺度法研究了勻轉(zhuǎn)速、順臂安裝下懸臂梁的主參激共振與外激勵1/2次亞諧共振同時作用時梁的動力學(xué)響應(yīng)。這些文獻都充分揭示了梁或轉(zhuǎn)子在縱耦合作用下的豐富的非線性動力學(xué)特性。

目前大多數(shù)模型都是針對簡支梁或者懸臂梁模型，邊界條件比較簡單，難以滿足工程實際需要。同時由于簡支梁和懸臂梁的一階縱向振動頻率遠(yuǎn)離一階橫向振動頻率，因而多數(shù)研究都是直接忽略縱向慣性的影響。然而船舶推進軸系是一個典型的多支承多質(zhì)量系統(tǒng)，同時由于端部螺旋槳以及縱向推力軸承的影響，其縱向慣性很大，縱向振動對系統(tǒng)振動的影響將不可忽略?；谏鲜鲈?，本文針對船舶實際結(jié)構(gòu)，考慮多支承及端部集中質(zhì)量的影響，建立軸系縱橫耦合動力學(xué)模型，考慮縱向慣性效應(yīng)，研究當(dāng)葉頻接近第一階橫向固有頻率軸系發(fā)生主共振時的動力學(xué)特性。分析結(jié)果對船舶推進軸系的設(shè)計具有一定的指導(dǎo)借鑒意義。

1 動力學(xué)模型

典型的船舶推進軸系由螺旋槳、后艉軸承、前艉軸承、中間軸承以及推力軸承組成，如圖 1所示。為了簡化分析，假設(shè)軸系具有均勻截面，螺旋槳簡化為集中質(zhì)量，各軸承簡化為具有剛度的彈簧。

采用瑞利梁力學(xué)模型，考慮轉(zhuǎn)動慣量忽略剪切變形的影響，利用Hamilton變分原理建立相應(yīng)的非線性動力學(xué)方程。考慮Von Karman位移-應(yīng)變關(guān)系[7]，同時設(shè)O（u）～O（ v2）～O（w2），即軸系縱向應(yīng)變與橫向應(yīng)變相比為高階小量。

圖1 船舶推進軸系簡圖Fig.1 Schematic ofmarine propulsion shafting

軸系的勢能由軸段應(yīng)變能和支承彈簧的彈性勢能組成，其表達(dá)式為：

式中前兩項為線性應(yīng)變能，后兩項為彎縱耦合引起的非線性應(yīng)變能。其中：E為彈性模量；A為軸段截面積；Id為截面慣性矩；L為軸系長度；u，v，w為分別為軸的縱向（x向），橫向（y向）與垂向（z向）振動位移。

式中：kj為各徑向軸承剛度；xj為螺旋槳到各徑向支承的距離；kt為推力軸承剛度。類似地，軸系動能也由軸段動能與螺旋槳動能兩部分組成：

上式中沒有包括旋轉(zhuǎn)動能，因為旋轉(zhuǎn)動能屬于剛體轉(zhuǎn)動，不產(chǎn)生變形。同時也忽略了陀螺效應(yīng)的影響。

式中：M1為螺旋槳質(zhì)量；Jd1為螺旋槳直徑轉(zhuǎn)動慣量。

外載荷做功包括隨轉(zhuǎn)頻激勵的不平衡載荷、隨葉頻激勵的流體載荷以及縱向脈動載荷。由于本文只研究葉頻激勵下的軸系橫向（垂向）主共振，為了簡化分析，設(shè)其它載荷為零，只考慮葉頻載荷。因此外載荷做功為：

式中：F為葉頻激勵載荷；α為相位；Ω為轉(zhuǎn)速，假設(shè)為7葉槳。由Hamilton變分原理可得：代入動能、勢能與外載荷功，引入狄拉克函數(shù)δ（）x描述支承剛度的影響，可推得軸系彎縱耦合下

的振動偏微分方程為：

對應(yīng)的線性邊界條件為：

式中理論上應(yīng)該是非線性邊界條件，取為線性邊界條件時一方面簡化了分析，另一方面對系統(tǒng)全局動力學(xué)不會帶來影響[18]。

2 方程無量剛化與離散

將（9）式代入（7）式中，去掉星號得：

同理，（8）式也可以變?yōu)椋?/p>

利用Galerkin方法將偏微分方程離散為常微分方程，試探函數(shù)采用線性模態(tài)振型。選取一階模態(tài)，記

式中：φ1（x）為縱向第1階模態(tài)振型；φ1（x）為垂向與橫向第1階模態(tài)振型。將（12）式代入（10）式得：

將（13）式乘以φ1（x），并積分得：

將（15）式分部積分并結(jié)合邊界條件（11）式可得：

同理，（14）式也可化為：

由于模態(tài)向量關(guān)于質(zhì)量與剛度正交[19]，假設(shè)模態(tài)振型按質(zhì)量歸一化，則有：

式中：ωun為縱向第n階無量綱固有頻率。

式中：ωzn為橫向第n階無量綱固有頻率。

利用（18）式、（19）式，（16）式和（17）式分別可化為：

引入阻尼比，則（20）式與（21）式進一步可化為：

3 多尺度法求解方程

本文采用多尺度法來求解（23）式這一弱非線性問題。與正則攝動法相比，多尺度法的明顯優(yōu)點是不僅能計算周期運動，而且能計算耗散系統(tǒng)的衰減振動；不僅能計算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而且能計算非穩(wěn)態(tài)過程；可以分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性，描繪非自治系統(tǒng)的全局運動性態(tài)[20]。本文只考慮一次近似解。引入小參數(shù)ε和兩個時間尺度Tn=εn（t）（n=0,2），由求導(dǎo)法則得：

式中：Dn為偏微分算子符號，定義為

由于在推導(dǎo)軸系縱橫耦合動力學(xué)方程時，假設(shè)O（u）～O（ v2）～O（w2），所以設(shè)解的形式為：

為了獲得一致有效的近似解，必須使橫向阻尼、激勵載荷與非線性項均出現(xiàn)在同一階方程上，為此設(shè)ξz1=ε2，f=ε2f*，代入（23）式并去掉星號后得各階近似方程：

將一次近似方程的通解寫成：

式中：A為待定復(fù)函數(shù)，由消去長期項得到。代入二次近似方程右邊得：

其特解為：

代入三次近似方程得：

設(shè)7Ω-ε2σ=ωz1，其中σ為頻率失調(diào)參數(shù)。代入（30）式消去長期項得：

把復(fù)數(shù)A寫成極坐標(biāo)形式：

代入上式，并分離實部與虛部：

令r=-θ+σT2+α，將上式化為自治系統(tǒng)得：

結(jié)合（12）式、（25）式、（27）式和（32）式，橫向振動的一階近似解為：

式中：a，r由（36）式?jīng)Q定。

對穩(wěn)態(tài)解進行穩(wěn)定性分析，對（34）式右端關(guān)于a，r求Jacobian矩陣：

式中：a0，r0為滿足（35）式的平衡解。（38）式的特征多項式為：

由穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)（39）式的根全為負(fù)數(shù)時，平衡解穩(wěn)定。由此可得穩(wěn)定性條件為：

4 算例分析

以某一船舶推進軸系為算例，軸系長度14.5 m，外徑240 mm，內(nèi)徑120 mm，軸系細(xì)長比s為 0.004 6，材料彈性模量210 GPa，密度7 800 kg/m3。軸系各支承參數(shù)：后艉軸承徑向剛度2.5×108N/m；前艉軸承徑向剛度0.8×108N/m；中間軸承徑向剛度3×108N/m；推力軸承剛度3×108N/m。螺旋槳質(zhì)量為6 t，直徑轉(zhuǎn)動慣量為3 000 kg·m2。假設(shè)橫向葉頻載荷F為1 000 N，阻尼比ξz1為0.01。表1是采用有限單元法求得軸系彎曲方向前兩階與縱向第一階線性固有頻率（不考慮軸向靜推力）。

表1 軸系固有頻率Tab.1 The frequency of the shaft

本文探討各支承剛度、螺旋槳質(zhì)量以及細(xì)長比對非線性參數(shù)γ的影響，揭示軸系縱橫耦合效應(yīng)的影響因素與規(guī)律。由（22）式可知，求取γ時要對各階振型進行求導(dǎo)和積分運算。對于船舶推進軸系，由于邊界條件復(fù)雜，難以求得振型的解析解，只能獲取數(shù)值解。本文利用有限單元法求得振型的數(shù)值解，再將這些離散點擬合成B樣條曲線，進而對B樣條曲線進行求導(dǎo)與積分運算[21]。大量實例表明B樣條曲線在數(shù)據(jù)較為稀疏的情形下擬合效果也很理想。

圖2反應(yīng)了軸系各參數(shù)對非線性參數(shù) 的影響。從圖中可以得出：在一定范圍內(nèi)增大后艉軸承剛度可以抑制縱橫耦合效應(yīng)；在一定范圍內(nèi)增大前艉軸承剛度和推力軸承剛度可以增加縱橫耦合效應(yīng)；中間軸承對縱橫耦合效應(yīng)影響不明顯；增大螺旋槳質(zhì)量，減少細(xì)長比可以增加縱橫耦合效應(yīng)。

圖2 軸系各參數(shù)對縱橫耦合效應(yīng)的影響Fig.2 Effectof the shaft parameters on the geometric nonlinear

采用偽弧長延拓法[22]數(shù)值求解（36）式，以σ為分岔參數(shù)，得到幅值頻率響應(yīng)曲線（計算參數(shù)由前面給出）。圖3是考慮與不考慮縱橫耦合作用下幅頻響應(yīng)曲線對比（本文所計算的響應(yīng)均為靠螺旋槳處）。左邊的圖是不考慮縱橫耦合時的幅頻曲線，右邊是考慮其影響時的幅頻曲線。由此可得，縱橫耦合效應(yīng)使軸系共振時的頻率略大于其線性固有頻率，從而使幅頻曲線向右彎曲。對于某些σ值，系統(tǒng)存在三個解，其中有兩個解是穩(wěn)定的，一個解是不穩(wěn)定的（CD間的解不穩(wěn)定），使得幅頻曲線上出現(xiàn)了振幅跳躍現(xiàn)象。在升速時，軸系振幅沿A→B→C跳躍到E→F路徑變化；降速時沿F→E→D跳躍到B→A路徑變化；在BE以內(nèi)，軸系振幅在BC與DE間來回變化。這種跳躍性會使軸系產(chǎn)生應(yīng)力突變，引起疲勞斷裂，工程中應(yīng)避免。

圖3 線性與非線性下幅頻響應(yīng)曲線對比Fig.3 Comparison of linear and nonlinear response curves

圖4反應(yīng)不同載荷下的幅頻響應(yīng)曲線對比，其中計算參數(shù)在上面已給出；圖 5反應(yīng)不同阻尼比，不同載荷下的幅頻響應(yīng)曲線對比，計算時細(xì)長比取為0.004 6；圖 6反應(yīng)軸系不同細(xì)長比，不同載荷時幅頻響應(yīng)曲線對比，計算時阻尼比取為0.01。從各圖中可以得出，隨著載荷的增加，縱橫耦合效應(yīng)越強；阻尼比越小時，縱橫耦合效應(yīng)越強；細(xì)長比越小時，縱橫耦合效應(yīng)越強。

圖4 不同載荷下幅頻響應(yīng)曲線對比Fig.4 Response curve comparison of different excitation loads

圖5 不同阻尼比下幅頻響應(yīng)曲線對比Fig.5 Response curve comparison of different damping ratios

圖6 不同細(xì)長比下幅頻響應(yīng)曲線對比Fig.6 Response curve comparison of different slender ratios

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用Hamilton變分原理建立了軸系縱橫耦合非線性動力學(xué)方程。利用多尺度法研究了橫向振動在葉頻激勵下的主共振動力學(xué)特性，研究表明：（1）與線性模型相比，由于縱橫耦合效應(yīng)使軸系橫向產(chǎn)生共振時的頻率略大于其線性固有頻率，同時在幅頻響應(yīng)曲線上存在多解使幅值出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；（2）在一定范圍內(nèi)增大后艉軸承剛度可以抑制縱橫耦合效應(yīng)，增大前艉軸承剛度與推力軸承剛度可以增加縱橫耦合效應(yīng)，而中間軸承對縱橫耦合效應(yīng)影響不明顯；（3）增大螺旋槳質(zhì)量，減少細(xì)長比可以增加縱橫耦合性效應(yīng)；激勵載荷越大，阻尼比越小時，系統(tǒng)縱橫耦合效應(yīng)越強。

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Coupled longitudinal-transverse nonlinear dynam ics of amarine propulsion shafting—Primary resonance under blade frequency excitation

ZOU Dong-lina,b,ZHANG Jian-boa,b,TA Naa,b,RAO Zhu-shia,b
(a.Insitute of Vibration,Shock and Noise;b.State Key Laboratory ofMechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai200240,China)

Based on Hamilton’s principle and considered the Von Karman’s nonlinear strain-displacement relationship,a coupled longitudinal-transverse nonlinear dynamic model of amarine propulsion shafting is established.The firstmode equations are obtained by Galerkin method and are solved by themethod of multiple scales.The primary resonance equations are derived under the blade frequency excitation.Then, these equations are numerically solved by pseudo-arclength continuationmethod to obtain the steady-state response and the stabilities are analyzed.The influence to the nonlinear effect is discussed about the support stiffness,load,mass of propeller,damping ration and slender ration.Research shows the smaller the slender ration,the bigger the load and the smaller the damping ration is,then the bigger the nonlinear effect is. The nonlinear effect is reduced by increasing the back stern bearing stiffness and increased by increasing the front stern bearing and thrust bearing stiffness.While themiddle bearingmakes no influence to it.Compared with the linearmodel,the lateral resonant frequency is bigger than the linear natural frequency.Insome frequencies,there are multiple solutions in amplitude-frequency curve and has jump phenomena. These analyses have a reference and guidance to the design ofmarine propulsion shafting.

marine shafting;coupled longitudinal-transverse;multiple scales;primary resonance

O322 TH113.1

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.02.010

2016-07-21

鄒冬林（1987-），男，博士研究生，E-mail:zoudonglin.520@sjtu.edu.cn；

饒柱石（1962-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:zsrao@sjtu.edu.cn。

1007-7294（2017）02-0201-10