一種基于系統(tǒng)保形解耦的力源識別方法

王淑娟，王國巧，沈繼紅，韓偉民

（哈爾濱工程大學 理學院，哈爾濱150001）

一種基于系統(tǒng)保形解耦的力源識別方法

王淑娟，王國巧，沈繼紅，韓偉民

（哈爾濱工程大學 理學院，哈爾濱150001）

基于模態(tài)分析法的力源時域識別方法中涉及利用模態(tài)矩陣將系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為非耦合形式，這僅對比例阻尼或經(jīng)典阻尼系統(tǒng)才能實現(xiàn)。文章基于二階系統(tǒng)保結(jié)構(gòu)解耦方法建立了新的力源識別數(shù)學模型。首先利用Lancaster結(jié)構(gòu)建立系統(tǒng)的解耦模型，并求得解耦變換；其次，利用解耦變換推導建立系統(tǒng)非耦合響應模型，并在微小時段內(nèi)力源為線性變化的假設下，推導出具體的力源識別公式。最后，采用精細逐步積分方法，對模型進行解算，由結(jié)構(gòu)動態(tài)響應反求力源的時間歷程。數(shù)值實驗不僅驗證了所提方法可以提高識別精度，而且也驗證了所提方法對非比例阻尼系統(tǒng)也是有效的，這也是文中方法的重點。

Lancaster結(jié)構(gòu)；解耦；精細逐步積分；線性假設

0 引 言

力源識別是根據(jù)已知系統(tǒng)的動態(tài)特性和實測的動力響應反算結(jié)構(gòu)所受的激勵，是一個較難的問題，但又是結(jié)構(gòu)動態(tài)設計的關(guān)鍵之一。力源識別問題的研究在各個工程領域都具有重要的意義，如隨著IMO組織對船舶噪聲尤其是艙室噪聲的要求越來越嚴，機電設備作為船舶主要的激勵源，其振動控制越來越受到人們的關(guān)注。設備的低噪聲設計是解決設備振動問題的最根本方法，而力源識別又是設備低噪聲設計的前提條件之一。

力源識別方法分為頻域法和時域法。頻域法發(fā)展較早，計算方法較為成熟，精度較高。此方法可確定力譜的均值與方差，但對于力的時間歷程還有一定困難，特別是可能會出現(xiàn)奇異值和不穩(wěn)定現(xiàn)象。而時域識別是20世紀80年代中期發(fā)展起來的一種方法，直接依據(jù)結(jié)構(gòu)的響應時程來識別未知力源的時間歷程，便于工程應用，受到工程界的歡迎。其中現(xiàn)有的一類力源時域識別方法利用結(jié)構(gòu)的模態(tài)模型將系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為非耦合形式建立反演模型，具有一定的工程應用價值。

Desanghere等[1]、Ory等[2]于1985年首次將模態(tài)坐標變換方法引入到動態(tài)力源時域識別過程中，將運動微分方程轉(zhuǎn)化為非耦合方程形式，將實際載荷的反演轉(zhuǎn)化為對模態(tài)力的反演，在微小時間間隔內(nèi)力源為階躍力的假設下，推導出已知系統(tǒng)響應等條件下的力源反演公式。唐秀近等[3-4]提出基于模態(tài)分解Duhamel積分的一種較為有效的時域載荷識別模式，并較為系統(tǒng)地對該方法的識別精度、模態(tài)截斷的影響作了初步的研究。初良成等[5]利用正分析的手法來求解反問題，建立了階躍力假設下的時域載荷識別新方法，克服了識別精度受測量信息數(shù)目限制的缺點。徐倩等[6]應用精細逐步積分建立了一種基于階躍力假設下的力源識別模式，由結(jié)構(gòu)動態(tài)響應求出動態(tài)力的時間歷程。張運良等[7]在微小時段內(nèi)力源為線性變化的假設下，推導了僅由結(jié)構(gòu)的一種響應（位移、速度或加速度）進行力源識別的遞推連鎖計算公式，以便于實際應用。

這一類力源識別方法無論是階躍力還是線性力假設，在最初都是利用模態(tài)坐標變換將系統(tǒng)多自由度微分方程轉(zhuǎn)化為非耦合形式，然后建立具體的反演公式。但利用坐標變換將三個系數(shù)矩陣同時對角化，且僅當比例阻尼或經(jīng)典阻尼系統(tǒng)才能夠?qū)崿F(xiàn)，這就使得算法的應用受到了限制。數(shù)值代數(shù)領域認為，通過主坐標變換來實現(xiàn)三個矩陣的同時對角化一般是無法實現(xiàn)的，因此本文將力源識別中涉及的三矩陣同時對角化轉(zhuǎn)化為Lancaster擴展系統(tǒng)的塊陣同時對角化，建立系統(tǒng)解耦模型，求得相應解耦變換，并通過理論推導建立系統(tǒng)的非耦合方程表示形式。最后，在微小時間段線性力假設下推導出力源時域識別公式，并利用精細逐步積分進行模型計算。本文數(shù)值試驗將涉及無阻尼系統(tǒng)和比例阻尼系統(tǒng)，驗證本文方法較現(xiàn)有基于模態(tài)分析載荷識別模型精度高；并將利用兩組船舶運動數(shù)據(jù)驗證本文提出算法對非比例阻尼系統(tǒng)也適用，且精度較滿意。

1 基于模態(tài)分析法的力源識別模型

一個n自由度二階系統(tǒng)往往可由下式來描述：

其中：M、C、K和F分別表示為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外力向量。由實測或有限元分析可得系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)：固有頻率ωr、阻尼比ξr及模態(tài)矩陣Φ，其中，利用模態(tài)矩陣做變換x（t）=Φq（t），得

左乘矩陣ΦT

若上式為無耦合方程，設Φ= ［Φ1，Φ2，…，Φn］則可寫成分解式

其中：r=1，2，…，n，qr（t）為第r階模態(tài)坐標。設（2）式右端項為fr（t），將（2）式降階為一階微分方程

其中：［T（τ）］=eHτ，τ=t-tj，｛vp（t ）｝為方程（3）的特解[5]。利用精細逐步積分法計算指數(shù)矩陣 ［T （τ）］[5]，便可得模態(tài)坐標qr（t）與外力源F（t）之間的關(guān)系式。再由x（t）=Φq（t）推導出結(jié)構(gòu)位移響應x（t）與外力源F（t）的關(guān)系，進而實現(xiàn)由結(jié)構(gòu)響應反向推導力源。

顯然，從（1）式到（2）式的轉(zhuǎn)變意味著主坐標變換x（t）=Φq（t）將三個矩陣M、C、K同時對角化，將多自由度系統(tǒng)簡化為多個單自由度子系統(tǒng)，這個過程也被稱為二階系統(tǒng)解耦[8]。眾所周知，當M和K都為對稱陣，且其中之一為正定陣時，廣義特征值分解可實現(xiàn)M和K的同時對角化，相關(guān)的研究方法已經(jīng)很成熟[8]。三個矩陣的同時對角化不僅要求M、C、K同為對稱陣和某個矩陣為正定陣，還需要滿足KM-1C=CM-1K，但這個條件是很難滿足的，因此工程上涉及到二階系統(tǒng)解耦只能在比例阻尼的假設下實現(xiàn)[8]。

目前數(shù)值代數(shù)領域利用Lancaster解耦來研究二階系統(tǒng)的解耦問題，將三個矩陣同時對角化轉(zhuǎn)化為Lancaster擴展系統(tǒng)塊陣同時對角化，已證明幾乎所有二階系統(tǒng)都可以通過這樣的方式實現(xiàn)解耦。文獻[8]詳細地研究和介紹了這一問題，并提出基于Sylvester方程的解耦變換求解方法。本文將利用基于Lancaster結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)解耦方法建立新的力源識別模型，利用解耦變換通過理論推導建立系統(tǒng)受力相應模型，假設力源在微小時間段內(nèi)成線性變化的前提下推導力源計算公式。

2 基于系統(tǒng)解耦的力源識別模型建立

2.1 基于Lancaster結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)解耦

顯然，當M可逆時（1）式與（4）式對應的特征值問題等價，

左乘可逆矩陣Πl(fā)得

若Πr、Πl(fā)可實現(xiàn)（4）式系數(shù)矩陣的塊陣同時對角化，便將（4）式轉(zhuǎn)化為

其中：MD、CD和KD為對角矩陣。顯然，（5）式與（4）式對應的特征值問題等價，若設代入

（6）式即為（1）式所描述原始二階系統(tǒng)的非耦合形式。

2.2 基于精細逐步積分的力源計算

且MDr表示對角陣MD對角線上第r個元素，表示矩陣l11第r行第i列所對應的元素）表示矩陣l21第r行第i列所對應的元素。將（6）式降階為一階微分方程

取等間距積分步長τ=tj+1-tj，利用tj時刻的值計算tj+1時刻，令s=tj+ξ，則上式可改寫為

其中：［T （τ）］=eHτ為指數(shù)矩陣，利用精細積分方法計算[8-10]。

假設在時間步長 （tj， tj+1）內(nèi)力r（t）呈線性變化，即

其中：ξ∈ （tj， tj+1），｛r1｝和 ｛r2｝在區(qū)間 （tj， tj+1）內(nèi)為時不變向量，且有

則將（10）式代入（9）式，整理可得線性力源精細積分格式

式中：Tij表示矩陣 ［T （τ）］的第i行第j列，其余類推。

2.3 基于線性力假設的力源識別公式

假設在時間步長 （tj， tj+1）內(nèi)，力源f（t）是線性變化的，即

則有

將上式一階導代入（7）式，再將（7）式代入（11）-（12）式，整理得

將上式中第2個式子整理得出fi（tj+1）的表達式代入第1個式子，就可以得到fi（ tj）的表達式，從而求解得力源的數(shù)值解。

3 算 例

例1針對文獻[6]中涉及的兩自由度無阻尼系統(tǒng)

進行模型仿真計算。首先利用文獻[8]中的方法構(gòu)造解耦后系統(tǒng)參數(shù)矩陣MD和KD，并利用基于Sylvester方程的解耦變換求解方法計算得解耦變換Πr、Πl(fā)。然后利用Πr、Πl(fā)獲得如（6）式所示的系統(tǒng)非耦合形式。最后在線性力源假設下，取時間步長△t=0.28，利用（13）式計算得力源估計值。表1給出了本文方法與文獻[6]中方法計算的力源估計值，由表中數(shù)據(jù)可知本文提出的基于系統(tǒng)解耦的力源識別方法精度較高，具體模型計算的絕對誤差如圖1所示。

圖1 基于系統(tǒng)解耦力源識別絕對誤差Fig.1 The absolute error of load identification based on decouplingmethod

表1 兩自由度系統(tǒng)力源識別計算結(jié)果Tab.1 Calculation result of dynam ic load identification for two DOF system

例2本例將對一船舶振動系統(tǒng)進行力源識別估算，且該力源為動態(tài)力，具體系統(tǒng)方程如下：

很顯然，該系統(tǒng)為比例阻尼系統(tǒng)，因此既可以利用模態(tài)分析法獲得系統(tǒng)非耦合形式，也可以利用本文方法進行獲得系統(tǒng)解耦形式，下面將給出基于這兩種方法的力源識別模型計算情況。同樣選取時間步長τ=0.02，圖2（a）給出了本文方法計算的力源估計值和真實值曲線，可以看出估計值與真實值基本吻合，圖2（b）則給出了本文方法的誤差曲線；圖2（c）給出了基于模態(tài)分析法的力源估計值和真實值曲線，圖2（d）則給出了基于模態(tài)分析法的力源估計誤差曲線；從圖2（b）和圖2（d）的幅值比較來看，本文方法精度較高。

圖2 （a） 基于系統(tǒng)解耦力源識別計算值與真值比較曲線Fig.2(a)The comparation between the calculated value and the real value of load identification based on decouplingmethod

圖2 （b） 基于系統(tǒng)解耦力源識別絕對誤差曲線Fig.2(b)The absolute error curve of load identification based on decouplingmethod

圖2 （c） 基于模態(tài)法力源識別計算值與真值比較曲線Fig.2(c)The comparation between the calculated value and the real value of load identification based onmodal identification

圖2 （d） 基于模態(tài)法力源識別絕對誤差曲線Fig.2(d)The absolute error curve of load identification based onmodal identification

例3本例將對文獻[8]中水池實驗獲得的船舶運動系統(tǒng)數(shù)據(jù)進行力源識別，所涉及船舶質(zhì)量為425 t，船長為60m，船舶浪向角為0°，其中共測得18 kns和27 kns航速下各20個遭遇頻率的艦船縱搖—升沉運動數(shù)據(jù)。

已知船舶運動系統(tǒng)為非比例系統(tǒng)，因此，無法利用模態(tài)分析法獲得系統(tǒng)的非耦合方程。利用本文提出的力源識別方法，選取迭代步長τ=0.02進行解算，下面將給出兩組不同航速下不同遭遇頻率下的力源識別結(jié)果，圖3和圖4分別給出了計算值與真實值對比圖，以及相應的絕對誤差曲線圖。實驗驗證了此方法對非比例阻尼系統(tǒng)同樣適用。

（1）航速18 kns遭遇頻率Ome=0.889：

（2）數(shù)據(jù)2：航速27 kns遭遇頻率Ome=0.945：

圖3 （a）力源識別計算值與真值對比圖（Ome=0.889）Fig.3(a)The comparation between the calculated value and the real value of load identification(Ome=0.889)

圖3 （b）力源識別絕對誤差曲線圖（Ome=0.889）Fig.3(b)The absolute error curve of load identification(Ome=0.889)

圖4 （a）力源識別計算值與真值對比圖（Ome=0.945） Fig.4(a)The comparation between the calculated value and the real value of load identification(Ome=0.945)

圖4 （b）力源識別絕對誤差曲線圖（Ome=0.945）Fig.4(b)The absolute error curve of load identification(Ome=0.945)

4 結(jié) 論

動態(tài)載荷的確定在結(jié)構(gòu)的分析與研究中意義重大，準確地識別動態(tài)載荷是工程結(jié)構(gòu)可靠性與安全性的重要保證。然而在工程實行中，常常是很難對作用于結(jié)構(gòu)的外載荷作直接測量和計算。因此，對動態(tài)載荷的確定只能從可測的系統(tǒng)響應信息來間接地確定。由于其廣泛的工程背景和明顯的應用價值，使這一問題的理論和應用成為研究的熱點。

本文把現(xiàn)有一類載荷時域識別方法涉及到的解耦問題作為切入點，將基于Lancaster結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)解耦方法應用于系統(tǒng)動力學方程解耦中，并利用解耦變換通過數(shù)學理論推導提出了基于系統(tǒng)解耦的載荷識別數(shù)學模型，最后采用精細時程積分法進行模型計算。本文提出的模型一方面克服了模態(tài)分析法只適用于比例阻尼系統(tǒng)解耦的問題，另一方面從數(shù)值試驗來看，針對比例阻尼系統(tǒng)的力源識別精度要高于現(xiàn)有方法，而針對非比例阻尼系統(tǒng)該方法仍然有效。基于Lancaster結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)解耦方法是數(shù)值代數(shù)領域的前沿研究之一，一直處于理論研究的階段，因此本文方法也是數(shù)學理論研究在工程應用中的一個嘗試。

參 考 文 獻：

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A load identification method based on decoup ling of Lancaster structure

WANG Shu-juan,WANG Guo-qiao,SHEN Ji-hong,HANWei-min
(School of Science,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

The way of the load identification in time domain which is based on themodal analysis that the system equation is transformed into a non-coupling form bymodalmatrix,is only applicable for the proportional damping or classical damping system.In this paper,based on structure-preserving decoupling method of second-order system,a new mathematicalmodel of load identification was established.The system-decouplingmodel was established based on the Lancaster structure and the decoupling transformation was obtained;then,themodel of uncoupled response system based on the decoupling transformation was established,and on the assumption of linear load identification in tiny-time,the formula of load identification was deduced;finally,themodelwas calculated based on high precision direct integration scheme, and the history of force identification was obtained by structural dynamic response.The experiments verify that the proposed method could improve the accuracy of recognition,and is effective for the non-proportional damping system.And it is the focus of the paper.

Lancaster structure;decoupling;high precision direct integration scheme;linear assumption

TB535

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.01.007

2016-09-09

國家自然科學基金資助項目（11226324）；黑龍江省基金資助項目（A201407）

王淑娟（1982-），女，碩士生導師，E-mail：wangshujuan@hrbeu.edu.cn；

王國巧（1990-），女，碩士研究生，E-mail：Wgq19900424@163.com；

沈繼紅（1966-），男，教授，博士生導師；

韓偉民（1990-）；男，碩士研究生。

1007-7294（2017）01-0052-09