經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

賴蔓馥+余廣武

[摘 要]數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，僅靠教師單向地傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，不能真正地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、思維方法和學(xué)習(xí)興趣，也無(wú)法使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)課程提出了重視讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程的過(guò)程性目標(biāo)，其目的在于讓學(xué)生有機(jī)會(huì)獲得直接的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，重視概念的形成和同化過(guò)程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，使學(xué)生理解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，能夠有效地利用數(shù)學(xué)的抽象思想、推理思想和模型思想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并解決問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]經(jīng)歷；過(guò)程；領(lǐng)悟；數(shù)學(xué)思想

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）11-0032-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想?！?“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！睌?shù)學(xué)反映的是客觀世界的本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)最重要的一個(gè)特征就是抽象性。小學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)本身就是了解數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，而數(shù)學(xué)思想方法恰恰就蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，尤其蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程中。東北師大孔凡哲教授認(rèn)為：“基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)只能在過(guò)程中加以培養(yǎng)，而不能采取簡(jiǎn)單的結(jié)果式的教育方式?！币虼耍谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程中，經(jīng)歷抽象、預(yù)測(cè)、探究、思考、推理、反思等過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)思想。

一、在概念形成中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

概念是指客觀事物在人們頭腦中概括的、間接的反映。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，一般需要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察、分析、比較和綜合，從中抽象出其本質(zhì)屬性。教材在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念時(shí)，通常采用描述性的方法，而小學(xué)生由于受年齡、認(rèn)知水平等因素的限制，他們不易理解文字?jǐn)⑹龅膬?nèi)容，即使是描述性的語(yǔ)言，他們也無(wú)法一聽就能理解。因此，在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，可以通過(guò)操作活動(dòng)幫助學(xué)生形成動(dòng)作表征，再借助畫一畫建立形象表征，最后才用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表征。

例如，教學(xué)計(jì)數(shù)單位“十”時(shí)，首先讓學(xué)生用小棒進(jìn)行操作，從1數(shù)到20，邊操作邊說(shuō)數(shù)。當(dāng)學(xué)生數(shù)到10根的時(shí)候，要求學(xué)生將10根小棒捆成一捆，這樣，學(xué)生就看到1捆是1個(gè)“十”，2捆是2個(gè)“十”。在數(shù)小棒的過(guò)程中，學(xué)生很容易就看到小棒由1到20的累積過(guò)程，逐步形成數(shù)感。由于學(xué)生有數(shù)小棒和捆小棒的經(jīng)驗(yàn)，很快就建立1個(gè)10就是“十”的概念。在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)個(gè)位和十位，把“十位上的數(shù)表示幾個(gè)十，個(gè)位上的數(shù)表示幾個(gè)一”與之前的操作“十根就是一捆”建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而深刻地理解了“十”這一計(jì)數(shù)單位。

又如，教學(xué)二年級(jí)下冊(cè)“平均分”時(shí)，首先通過(guò)操作活動(dòng)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)“同樣是6顆糖果，分的結(jié)果各不相同”，然后通過(guò)比較、分類、歸納，逐步抽象出“每份分得同樣多”這一共同的屬性，也就是平均分的本質(zhì)屬性。這樣，學(xué)生能比較容易地理解“平均分”這一概念。

上面兩個(gè)例子都說(shuō)明了，通過(guò)提供豐富的、典型的、正確的材料，讓學(xué)生借助具體形象的感性材料進(jìn)行分析、綜合、比較、分類、抽象、概括，學(xué)生就能夠主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的對(duì)應(yīng)思想、分類思想、抽象思想和歸納思想。

有些數(shù)學(xué)的概念本身就蘊(yùn)含著某種思想方法。例如，教學(xué)自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等這些概念時(shí)，教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)，讓學(xué)生初步體會(huì)“無(wú)限”思想；教學(xué)直線、平行線時(shí)，可讓學(xué)生體會(huì)“直線的兩端是可以無(wú)限延長(zhǎng)的”；教學(xué)“認(rèn)識(shí)圓”時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟“圓是由無(wú)限個(gè)點(diǎn)組成的”……在教學(xué)這些知識(shí)點(diǎn)時(shí)，都可以很好地滲透“有限與無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想。

二、在概念同化中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

概念的同化就是學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念的時(shí)候，將認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念與新概念建立聯(lián)系，從而掌握新概念的本質(zhì)屬性。一個(gè)新概念往往跟學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有著一定的聯(lián)系，因此，教師可以利用這種聯(lián)系，在知識(shí)的遷移中讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。

例如，教學(xué)人教版六年級(jí)上冊(cè)“百分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，是一種特殊的分?jǐn)?shù)。因此，有關(guān)百分?jǐn)?shù)的意義可以從分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)遷移過(guò)來(lái)。教學(xué)時(shí)，教師可先從學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā)，從電腦安裝程序格式化進(jìn)度、服裝面料和里料的成分、汽車銷售情況等生活中的例子引入百分?jǐn)?shù)，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，溝通新知與生活、新知與舊知的聯(lián)系，通過(guò)知識(shí)遷移，使學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的實(shí)際含義；接著，出示分別用分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)表示月餅的含糖量，使學(xué)生明白用百分?jǐn)?shù)表示更便于比較，從而體會(huì)學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的價(jià)值；然后，通過(guò)比較百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步明確“百分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量之間的關(guān)系的一種‘率，因此不能帶單位，以及百分號(hào)前面的數(shù)可以是小數(shù)，而一般情況下，分?jǐn)?shù)的分子和分母都是以整數(shù)形式呈現(xiàn)的”。這樣，通過(guò)比較分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)，學(xué)生能從三個(gè)不同的層面理解百分?jǐn)?shù)的意義，從而明確概念的內(nèi)涵與外延，更重要的是，通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)的類比思想和歸納思想。

三、在規(guī)則學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

“規(guī)則是公式、定律、法則、原理等的總稱，小學(xué)數(shù)學(xué)中的規(guī)則主要是指運(yùn)算規(guī)則、算律和公式。”數(shù)學(xué)規(guī)則是一種具有陳述性形式的程序性知識(shí)，它們是形成認(rèn)知技能的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，離不開規(guī)則的學(xué)習(xí)，而數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)是學(xué)生發(fā)展推理能力、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的重要載體，教師必須加以重視。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，一些運(yùn)算定律的得出都會(huì)用到合情推理。合情推理也是讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的重要途徑。例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“加法運(yùn)算定律”時(shí)，為了讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，我首先出示例題：李叔叔騎車去旅行，上午騎了40千米，下午騎了56千米，一共騎了多少千米？學(xué)生得出等式：40+56=56+40。接著教師提出要求：“仔細(xì)觀察，猜一猜、想一想，看看等式左右兩邊的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生猜想：“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。”為了讓學(xué)生完整地經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，教師讓學(xué)生舉例驗(yàn)證，并嘗試舉出反例。通過(guò)舉例，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所有的例子都能說(shuō)明“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”這個(gè)結(jié)論，但沒(méi)有辦法舉出反例，從而證明了合情推理所得到結(jié)論的可靠性。最后，教師讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示加法交換律，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，使學(xué)生感受到用字母表示“加法交換律”的簡(jiǎn)潔性。學(xué)生經(jīng)歷了“形成猜想、舉例驗(yàn)證、得出結(jié)論”的完整、真實(shí)的過(guò)程，從中領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)的類比思想、歸納思想、符號(hào)表示思想、簡(jiǎn)化思想和優(yōu)化思想。

學(xué)習(xí)運(yùn)算法則，也是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的重要內(nèi)容。例如，教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，對(duì)于算式“3/10+1/4”，學(xué)生給出了兩種算法：

算法一：3/10+1/4=12/40+10/40=22/40=11/20。

算法二：3/10+1/4=6/20+5/20=11/20。

學(xué)生在交流和評(píng)價(jià)中初步理解方法的合理性，同時(shí)領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化和優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想。緊接著，教師通過(guò)課件演示“3/10+1/4”化為同分母分?jǐn)?shù)相加的過(guò)程，讓學(xué)生具體說(shuō)一說(shuō)是怎樣算的，使學(xué)生在直觀形象的演示中理解算理，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加法之后，教師讓學(xué)生計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)相減，學(xué)生通過(guò)將知識(shí)進(jìn)行遷移，并探究、計(jì)算、表達(dá)，從中感悟類比推理的數(shù)學(xué)思想。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括異分母分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法。由于異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算過(guò)程都是學(xué)生自己探索出來(lái)的，他們很快就歸納出異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算法則：先通分，然后按同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計(jì)算。在這一教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生不但經(jīng)歷了知識(shí)的形成過(guò)程，也領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化、優(yōu)化、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想。

學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，必須通過(guò)具體的教學(xué)過(guò)程加以實(shí)現(xiàn)。因此，只有加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)體驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成、概念的同化、揭示數(shù)學(xué)規(guī)律、探求數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)之中的數(shù)學(xué)思想，才能使數(shù)學(xué)思想的教學(xué)變成一種實(shí)實(shí)在在的、可以把握的學(xué)習(xí)內(nèi)容。要注意的是，教學(xué)過(guò)程中教師要防止生搬硬套，不要直接告訴學(xué)生是什么數(shù)學(xué)思想，避免學(xué)生為記住“是什么數(shù)學(xué)思想”而增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

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（責(zé)編 金 鈴）