3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺滿載工況誤差分析與運(yùn)動學(xué)標(biāo)定

李玉昆 李永泉 佘亞中 張立杰

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，0660043.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動力傳輸與控制實驗室，秦皇島，066004

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺滿載工況誤差分析與運(yùn)動學(xué)標(biāo)定

李玉昆1,2李永泉1,2佘亞中2,3張立杰2,3

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，0660043.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動力傳輸與控制實驗室，秦皇島，066004

當(dāng)負(fù)載達(dá)到一定數(shù)值時，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變形誤差相對于幾何誤差對動平臺輸出精度的影響是不可忽略的。以電液驅(qū)動型3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺為研究對象，分別建立了穩(wěn)定平臺幾何誤差與變形誤差的傳遞模型，并通過線性疊加得到了總的誤差傳遞模型?；趲缀握`差傳遞模型，建立了穩(wěn)定平臺滿載工況下的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定模型。在滿載工況下進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)標(biāo)定實驗，測量了動平臺參考點的位置，計算得到動平臺姿態(tài)誤差δH0，通過分離變形誤差δH1得到了幾何誤差δH，通過最小二乘法完成了穩(wěn)定平臺幾何誤差參數(shù)標(biāo)定。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；幾何誤差；變形誤差；運(yùn)動學(xué)標(biāo)定

0 引言

按照機(jī)構(gòu)誤差源分類，機(jī)構(gòu)誤差包含原理誤差、幾何誤差、變形誤差、測量誤差[1]。承受負(fù)載時，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要誤差來源于幾何誤差與變形誤差，其中，幾何誤差是指由各零部件的加工誤差與裝配誤差導(dǎo)致的動平臺姿態(tài)誤差，變形誤差主要是指由重載引起的各分支的彈性變形導(dǎo)致的動平臺姿態(tài)誤差。并聯(lián)穩(wěn)定平臺[2]主要用來隔離擾動和進(jìn)行姿態(tài)補(bǔ)償，對機(jī)構(gòu)輸出的精度要求較高，因此必須對其進(jìn)行運(yùn)動學(xué)標(biāo)定，進(jìn)而對由幾何誤差和變形誤差導(dǎo)致的姿態(tài)偏差進(jìn)行有效補(bǔ)償。

為了提高并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)的位姿精度，人們對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差分析與補(bǔ)償進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[3]利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法對Stewart平臺機(jī)構(gòu)進(jìn)行了誤差建模，通過可直接微分的輸入輸出方程對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動器誤差、鉸鏈自身誤差及鉸鏈定位誤差做了分析。文獻(xiàn)[4]基于矢量微分法對六自由度運(yùn)動模擬平臺進(jìn)行了幾何誤差的分析與標(biāo)定。文獻(xiàn)[5]建立了操作機(jī)構(gòu)幾何誤差與變形的統(tǒng)一傳遞模型，為非過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩類誤差的線性疊加影響的分析提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)[6]采用運(yùn)動學(xué)外部標(biāo)定法對球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)標(biāo)定，利用三坐標(biāo)測量機(jī)檢測末端位姿誤差，構(gòu)造其與模型計算值間的殘差，進(jìn)而通過相應(yīng)的逆解辨識模型識別幾何參數(shù)。文獻(xiàn)[7]通過改進(jìn)標(biāo)定建模方式將測量參考系與運(yùn)動參考系統(tǒng)一，消除了測量的系統(tǒng)誤差，提高了并聯(lián)機(jī)器人的標(biāo)定精度。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于遺傳算法，以矩陣條件數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定測量點進(jìn)行優(yōu)化篩選的方法。上述運(yùn)動學(xué)標(biāo)定都是在機(jī)構(gòu)空載時完成的，而實際應(yīng)用中的穩(wěn)定平臺都是有負(fù)載的，尤其當(dāng)穩(wěn)定平臺處于滿載工況時，由負(fù)載引起的變形誤差相對于機(jī)構(gòu)本身的幾何誤差對穩(wěn)定平臺輸出姿態(tài)的影響是不可忽略的。本文基于3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)，研究其在滿載工況下的誤差分析及運(yùn)動學(xué)標(biāo)定問題。因為此類非過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何誤差與變形誤差是互相解耦的[5]，所以本文首先分離出變形誤差，再通過最小二乘法建立該機(jī)構(gòu)樣機(jī)的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定模型，最后通過激光跟蹤儀測量動平臺姿態(tài)，借助標(biāo)定迭代方法，獲得滿足精度要求的實際幾何參數(shù)。

1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)位姿描述

圖1 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺實驗樣機(jī)Fig.1 3-UPS/S parallel stabilizing platform prototype

如圖1所示，3-UPS/S 并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)由動平臺、定平臺及3個UPS 驅(qū)動分支和中央球鉸(S)的約束分支組成。機(jī)構(gòu)的中央球鉸約束動平臺的 3個移動自由度，使動平臺只有3個轉(zhuǎn)動自由度，其布局有以下特點：①每個 UPS 支鏈組成1個驅(qū)動分支，分支中的移動副為驅(qū)動副；②3個分支通過在半徑r2圓上均布的3個球鉸與動平臺相連；③3個分支通過在半徑r1圓上均布的3個虎克鉸與定平臺相連。

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)如圖2所示，為描述其位姿，建立定坐標(biāo)系Obx1y1z1，記作{w}，坐標(biāo)原點Ob位于定平臺中心，x1軸平行于ObA1，z1軸垂直于A1A2A3平面；建立動坐標(biāo)系Ox2y2z2，記作{u}，坐標(biāo)原點O位于中間球鉸中心，x2軸平行于OB1，z2軸垂直于B1B2B3平面。

圖2 3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 Sketch of 3-UPS/S parallel mechanism

這里，用RPY角來描述動平臺的姿態(tài)。RPY角描述動坐標(biāo)系的方位法則如下：為使動坐標(biāo)系Ox2y2z2的初始姿態(tài)與定坐標(biāo)系Obx1y1z1相同，首先平移定坐標(biāo)系到動坐標(biāo)系的初始位置，然后再通過旋轉(zhuǎn)變換來調(diào)整定坐標(biāo)Obx1y1z1的姿態(tài)，先繞此時的定坐標(biāo)系x1軸轉(zhuǎn)α角，再繞定坐標(biāo)系y1軸轉(zhuǎn)β角，最后繞定坐標(biāo)系z1軸轉(zhuǎn)γ角，以保證動坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系姿態(tài)重合，從而得到動平臺相對于定平臺的姿態(tài)變換矩陣

T=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)=

(1)

sj=sinjcj=cosjj=α，β，γ

驅(qū)動分支的虎克鉸中心Ai(i=1，2，3)點在定坐標(biāo)系{w}中可表示為

wAi=(r1cosηi，r1sinηi，0)

(2)

驅(qū)動分支球鉸中心Bi點在動坐標(biāo)系{u}中可表示為

uBi=(r2cosηi，r2sinηi，0)

(3)

其中，ηi為鉸鏈點i在xy面的分布角，且有η1=0，η2=2π/3，η3=-2π/3。

Bi點在定坐標(biāo)系{w}中的坐標(biāo)可表示為

wBi=ObO+TuBi

(4)

2 誤差建模與分析

2.1 幾何誤差模型

假設(shè)各構(gòu)件為剛性構(gòu)件，對于驅(qū)動分支AiBi，可得到閉環(huán)矢量

limi=h+TuBi-wAi

(5)

式中，h為動平臺的位置向量，h=ObO；li為驅(qū)動桿AiBi的長度；mi為驅(qū)動桿AiBi在定坐標(biāo)系下的單位方向向量。

對式(5)兩邊進(jìn)行微分得

δlimi+liδmi=δh+δTuBi+TδuBi-δwAi

(6)

由矩陣的微分理論可得微分旋轉(zhuǎn)矩陣

δT=S(δH)T

(7)

式中，δH為動平臺的姿態(tài)誤差向量，δH=(δα，δβ，δγ)；δα、δβ、δγ為RPY角表示的3個動平臺姿態(tài)角誤差；S(δH)為δH的反對稱矩陣。

由mi為單位向量，有

(8)

式(6)中的右邊點乘mi,有

mi·(δTuBi)=mi·(S(δH)TuBi)=

mi·(δH×(TuBi))=((TuBi)×mi)·δH

(9)

此時，式(6)兩邊點乘mi，并代入式(7)～式(9)，化簡整理得

δli=((TuBi)×mi)·δH+mi·(TδuBi)-

mi·δwAi+mi·δh=mi·δh+

((TuBi)×mi)·δH+mi·TδuBi-mi·δwAi

(10)

綜合3個驅(qū)動桿可得

δL=J1δh+J2δH+J3δP

(11)

δL=(δl1，δl2，δl3)

δh=(δx，δy，δz)

δH=(δα，δβ，δγ)

式中，δL為驅(qū)動桿桿長的誤差向量；δl1、δl2、δl3分別為3個驅(qū)動桿桿長的誤差；δh為動平臺的位置誤差向量；δx、δy、δz分別為動平臺在定坐標(biāo)系下的3個位置誤差；δH為動平臺的姿態(tài)誤差向量；δP為鉸鏈中心點的位置誤差，δP∈R18×1；J1為該機(jī)構(gòu)的移動速度雅可比矩陣；J2為該機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動速度雅可比矩陣；J3為該機(jī)構(gòu)的柔性運(yùn)動雅可比矩陣，J3∈R3×18。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3個自由度(動平臺繞中心球鉸的3個轉(zhuǎn)動自由度)，所涉及的工作空間內(nèi)無奇異點時，J2是一個非奇異矩陣，可以對其進(jìn)行求逆計算。由式(11)求得幾何誤差模型：

(12)

2.2 變形誤差模型

通過3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)全解的分析[9]，可知穩(wěn)定平臺承受載荷時，機(jī)構(gòu)的主要變形來自于各分支桿，而分支桿件的變形會直接影響穩(wěn)定平臺的輸出位姿精度。3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)的驅(qū)動形式均為液壓驅(qū)動，驅(qū)動分支的液壓缸三維模型如圖3所示。由靜力學(xué)分析可知驅(qū)動分支均可視為二力桿，為了便于分析該機(jī)構(gòu)的變形誤差，現(xiàn)對樣機(jī)剛度模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕孩偌僭O(shè)球鉸S、動平臺、定平臺以及虎克鉸U為理想剛體，僅將各分支桿作為彈性體考慮；②忽略各個部件的重力及液壓缸中油液質(zhì)量的影響；③將驅(qū)動分支的上下連桿等效成具有相同直徑的均質(zhì)桿。

圖3 驅(qū)動分支Fig.3 Active branch chain

這里主要分析驅(qū)動分支的剛度模型，如圖3所示，驅(qū)動分支的剛度主要包含以下三個部分:

(1)驅(qū)動分支伸縮桿的軸向拉壓剛度

kei=ELALe/lei

(13)

式中，EL為伸縮桿彈性模量，EL=210 GPa；ALe為伸縮桿橫截面積，mm2；lei為伸縮桿的桿長，mm；dLe為伸縮桿的直徑，mm。

(2)驅(qū)動分支液壓缸液壓油的剛度。驅(qū)動分支均由液壓缸驅(qū)動，液壓油的可壓縮性使驅(qū)動分支液壓缸部分必然產(chǎn)生彈性變形。液壓缸內(nèi)兩端液柱的形變位移量相同，故可以將其等效為一個并聯(lián)彈簧系統(tǒng)[10]，則液壓油的軸向剛度為

khi=khi1+khi2=EhAhi1/lhi1+EhAhi2/lhi2

(14)

式中，khi1、khi2分別為分支i液壓缸有桿腔、無桿控的剛度，kN/m；Eh為液壓油的彈性模量，Eh=2.0 GPa；Ahi1、Ahi2分別為分支i液壓缸有桿腔、無桿腔的有效橫截面積，mm2；lhi1、lhi2分別為分支i液壓缸有桿腔的長度，mm；dLh為分i支液壓缸無桿腔的橫截面直徑，mm。

(3)驅(qū)動分支底端定長桿的軸向拉壓剛度

kfi=ELALf/lfi

(15)

式中，ALf為底端定長桿橫截面積，mm2；dLf為底端定長桿的等效直徑，mm；lfi為底端定長桿的桿長，mm。

中間約束分支的末端通過中央球鉸與動平臺連接，受到的力是任意方向的，因此將其剛度分解到定坐標(biāo)系的3個方向上，對應(yīng)的剛度分別為kx、ky、kz，分支剛度記作k0，且有k0=diag(kx，ky，kz)。

圖4所示為3-UPS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)的剛度模型，其周圍均布的3個UPS驅(qū)動分支變換為具有3個串聯(lián)等效線性彈簧的彈性分支，動平臺和定平臺通過中間分支彈性連接，從而建立起3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺樣機(jī)的靜剛度模型。

圖4 樣機(jī)剛度拓?fù)鋱DFig.4 Stiffness topology of prototype

當(dāng)動平臺承受外負(fù)載時，由靜力學(xué)全解[9]可以計算出中間分支受力F0和驅(qū)動分支i沿桿方向受力Fi。由串聯(lián)彈簧剛度計算可以得到UPS驅(qū)動分支i的軸向剛度

(16)

由式(16)可得第i個分支沿桿方向的變形誤差

δli1=Fi/ki

(17)

中間分支的變形引起的動平臺位置誤差為

(18)

由式(17)、式(18)可知，變形的實質(zhì)是各分支桿長的變化，因此可將式(17)、式(18)得到的變形誤差代入到幾何誤差傳遞模型，得到變形誤差模型：

(19)

δL1=[δl11δl21δl31]T

式中，δH1為變形誤差單獨作用下的動平臺姿態(tài)誤差。

2.3 誤差線性疊加及算例分析

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺屬于非過約束機(jī)構(gòu)，變形誤差與幾何誤差可以線性疊加[5]，從而得到機(jī)構(gòu)幾何誤差與變形誤差線性疊加的傳遞模型：

(20)

式中，δH0為幾何誤差與變形誤差共同作用下的動平臺姿態(tài)誤差。

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺樣機(jī)的實際幾何參數(shù)及液壓缸的主要幾何參數(shù)如表1所示。當(dāng)動平臺處于初始姿態(tài)(水平姿態(tài))時，動平臺主要承受垂直向下的負(fù)載F。此時，在變形誤差單獨作用下，由式(19)可以通過MATLAB編程算出動平臺的姿態(tài)誤差隨負(fù)載F的變化曲線，如圖5所示。

表1 樣機(jī)的幾何尺寸參數(shù)

圖5 變形誤差隨負(fù)載變化曲線Fig.5 Curve of deformation error changing with load

從圖5中可以看出，當(dāng)負(fù)載超過5 kN時，γ的姿態(tài)誤差達(dá)到1°，所以平臺滿載時的變形誤差對動平臺姿態(tài)誤差的影響是不可忽略的。

在圖6所示的運(yùn)動軌跡下，由式(16)可以算出驅(qū)動分支剛度，如圖7所示。在圖6所示的運(yùn)動軌跡下，給定外負(fù)載(10 kN)、幾何誤差(表2)時，由式(12)、式(19)、式(20)可以分別算出幾何誤差與變形誤差單獨作用以及二者線性疊加時的動平臺姿態(tài)誤差，如圖8所示。

圖6 動平臺運(yùn)動軌跡Fig.6 Trajectory of moving platform

圖7 驅(qū)動分支剛度Fig.7 Stiffness of active branch chain

mm

(a)幾何誤差引起動平臺誤差

(b)變形誤差引起動平臺誤差

(c)線性疊加的動平臺誤差圖8 動平臺姿態(tài)誤差(γ=28°)Fig.8 Attitude error of moving platform(γ=28°)

通過數(shù)值計算可以看出，幾何誤差與變形誤差共同作用時，它們不是單純地使輸出姿態(tài)誤差增大，還可能互相抵消，使輸出姿態(tài)誤差減小，而且輸出姿態(tài)誤差與動平臺的姿態(tài)有關(guān)。

3 滿載工況下的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定模型

無論是幾何誤差還是變形誤差，都需要通過調(diào)節(jié)驅(qū)動桿長度來補(bǔ)償，因此，運(yùn)動學(xué)標(biāo)定模型必須依托于幾何誤差模型。3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)的誤差源很多，不可能全部分離辨識。又由于動平臺的位置誤差會直接影響上平臺球鉸的位置誤差，因此可以將其整合到動平臺上的球鉸位置誤差中。從而對幾何誤差模型(式(12))進(jìn)行簡化，得簡化后的標(biāo)定模型：

J2δH=δL-J3δP=[E-J3][δLδP]T

(21)

式中，E為3階單位陣。

實驗室中的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定是在滿載情況下進(jìn)行的，所以要辨識幾何誤差模型參數(shù)，需要先分離出變形引起的動平臺姿態(tài)誤差。由式(20)可得

δH=δH0-δH1

(22)

對式(21)進(jìn)行整理可得

δH=WδR

(23)

式中，W為位姿的參數(shù)識別雅可比矩陣；δR為機(jī)構(gòu)的誤差參數(shù)識別矩陣。

待標(biāo)定的誤差模型參數(shù)包括3類共21項誤差：①驅(qū)動桿誤差δli；②定平臺上的虎克鉸的位置誤差，即鉸鏈點i的誤差δxAi、δyAi、δzAi；③動平臺上的球鉸位置誤差，即鉸鏈點i的誤差δxBi、δyBi、δzBi。

對于測量的每個姿態(tài)點可列出3個方程，這樣就至少需要測量7個姿態(tài)來求解這21個未知數(shù)。設(shè)測量了n組位姿，為了使誤差計算的更加準(zhǔn)確，這里取n>7，此時式(23)成為一個超定方程組，由最小二乘法可求得該超定方程組的解：

δR=(WTW)-1WTδH

(24)

式(24)即為該機(jī)構(gòu)的幾何誤差標(biāo)定模型，在試驗中，選取的測量位姿點要保證矩W不奇異，同時保證WTW的奇異值不能過小[4]。

4 運(yùn)動學(xué)標(biāo)定實驗

運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)標(biāo)定中的一個核心環(huán)節(jié)。對于承受重載的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，測量的姿態(tài)誤差是由幾何誤差與變形誤差耦合作用引起的，要進(jìn)行運(yùn)動學(xué)標(biāo)定，辨識幾何誤差參數(shù)，需要先分離出變形誤差引起的動平臺誤差。再通過最小二乘法辨識出并聯(lián)穩(wěn)定平臺的幾何誤差模型參數(shù)，用辨識得到的幾何誤差參數(shù)修正幾何參數(shù)，并將修正后的幾何參數(shù)代入反解控制模型，從而實現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)幾何誤差補(bǔ)償。整個幾何誤差參數(shù)辨識的計算過程是通過MATLAB軟件編程來實現(xiàn)的。根據(jù)文獻(xiàn)[6]提出的辨識流程如圖9所示，圖9中，R為機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)識別矩陣，R0為理想結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣。

圖9 誤差參數(shù)辨識流程圖Fig.9 Flow chart of error parameter identification

4.1 姿態(tài)測量原理

為保證動平臺姿態(tài)測量的精度，避免測量精度不夠?qū)\(yùn)動學(xué)標(biāo)定實驗的影響，本文實驗采用的測量裝置是CREAFOR公司的C-TRACK780激光跟蹤儀(測量精度為0.025 mm)。穩(wěn)定平臺滿載時，激光跟蹤儀測量的布局如圖10所示，在動平臺上固定添加一個1 t的鐵塊。本次實驗共測量了8個位姿點。由空間幾何知識可知三點確定一個平面，因此要確定動平臺的空間姿態(tài)，至少要在動平臺上測量3個參考點的坐標(biāo)。如圖11所示，根據(jù)動平臺上已有的參考點B1、B2與B3在動平臺上表面選擇3個測量點D1、D2、D3來確定動平臺的姿態(tài)。其中，D1D2平行于動坐標(biāo)系的x軸，D3與D1D2不能共線。在不同的測量姿態(tài)點處，測量點D1、D2與D3的位置選擇可以是不同的，要根據(jù)實際測量的需要確定，每個姿態(tài)點處的測量點的實際坐標(biāo)由激光跟蹤儀測量得到。

圖10 滿載時激光跟蹤儀測量現(xiàn)場Fig.10 Laser tracker measurement field in full load condition

圖11 動平臺上測量點分布圖Fig.11 Measuring point distribution on the moving platform

安置激光跟蹤儀，建立測量坐標(biāo)系{m}。此時測量坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換是由一般平移變換和旋轉(zhuǎn)變換組合而成的。由坐標(biāo)變換的相關(guān)知識有

(25)

安裝好激光跟蹤儀后，在圖12所示的中心球鉸外表面上任意測量點P1、P2、P3與P4的坐標(biāo)，此時有

|OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|

(26)

圖12 球鉸表面測量點圖Fig.12 Measuring point on the surface of spherical hinge

由式(26)即可求出球鉸中心在測量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)mO。再通過測量和計算可得到測量坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系之間的一般旋轉(zhuǎn)變換矩陣

(27)

其中，x1、y1、z1分別為固定坐標(biāo)系的x、y、z方向的單位方向向量在測量坐標(biāo)系下的表示。同理，由定平臺上已有的參考點A1、A2與A3，在定平臺上選擇3個測量點D4、D5、D6，且D4D5平行于定坐標(biāo)系的x軸，D6與D4D5不能共線。此時有

(28)

由動坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換可得

(29)

(30)

由式(27)可得

(31)

(32)

式中，Atan2(x,y)為雙變量反正切函數(shù)。

4.2 實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果

實驗共測量8個姿態(tài)點，理論姿態(tài)角的RPY角表示如表3所示。

表3 RPY角表示的理論姿態(tài)

已知實驗穩(wěn)定平臺樣機(jī)滿載時的承重為10 kN，此時可由式(19)計算出8個位姿點處由變形引起的動平臺姿態(tài)誤差δH1的分量，見圖13。

圖13 標(biāo)定前滿載時變形誤差引起的姿態(tài)誤差Fig.13 Posture error caused by the deformation error before calibration in full load condition

由圖13可知，在8個測量姿態(tài)點處，變形引起的姿態(tài)誤差中，|δγ1|較大，因此在重載下要辨識幾何誤差，需要分離出變形引起的姿態(tài)誤差。在穩(wěn)定平臺滿載工況下，由激光跟蹤儀測量并計算出動平臺實際位姿誤差，即誤差標(biāo)定前滿載時動平臺總姿態(tài)誤差(圖14)。

圖14 標(biāo)定前滿載時的總姿態(tài)誤差Fig.14 Total posture error before calibration infull load condition

3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺屬于非過約束機(jī)構(gòu)，變形誤差與幾何誤差可以線性疊加[5]，從圖14中分離出由變形引起的姿態(tài)誤差(圖13)，可得幾何誤差單獨作用引起的平臺姿態(tài)誤差δH，并由此完成運(yùn)動學(xué)標(biāo)定試驗。運(yùn)動學(xué)標(biāo)定是測量—計算—再測量這樣一個循環(huán)進(jìn)行的過程，按照圖9所示的辨識流程，共進(jìn)行了5次迭代實驗，得到的最終誤差參數(shù)辨識結(jié)果如表4所示。

表4 幾何誤差模型參數(shù)辨識結(jié)果

4.3 誤差補(bǔ)償

本文通過控制驅(qū)動桿輸入來補(bǔ)償動平臺姿態(tài)誤差。滿載時要補(bǔ)償?shù)恼`差包含由幾何誤差與變形誤差引起的動平臺姿態(tài)誤差。依據(jù)運(yùn)動學(xué)標(biāo)定實驗得到的幾何誤差模型參數(shù)辨識結(jié)果，與由變形誤差模型計算得到的機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)變形量，共同修正機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)來補(bǔ)償動平臺姿態(tài)誤差。由式(5)計算補(bǔ)償后的運(yùn)動學(xué)反解，得到補(bǔ)償后的各驅(qū)動分支的桿長：

L=h+δh+T(wBi+δuBi)-(wAi+δwAi)-δL

(33)

由式(33)即可完成兩類誤差的補(bǔ)償。誤差補(bǔ)償后，讓實驗穩(wěn)定平臺再次運(yùn)動到各姿態(tài)點處并使用激光跟蹤儀進(jìn)行位姿測量，測得標(biāo)定后的滿載時的動平臺姿態(tài)誤差δH′的分量，見圖15。

圖15 標(biāo)定后滿載時的姿態(tài)誤差Fig.15 Posture error after calibration in full load condition

從圖14、圖15中可以看出，誤差補(bǔ)償后，并聯(lián)穩(wěn)定平臺的位姿精度得到了明顯的提高，誤差標(biāo)定補(bǔ)償前，動平臺姿態(tài)的平均絕對誤差為1.29°，誤差標(biāo)定補(bǔ)償后，動平臺姿態(tài)的平均絕對誤差為0.61°。

5 結(jié)論

(1) 建立了3-UPS/S并聯(lián)穩(wěn)定平臺機(jī)構(gòu)的幾何誤差模型和變形誤差模型。平臺滿載時，將兩類誤差進(jìn)行線性疊加，得到滿載穩(wěn)定平臺總的誤差模型。

(2) 在平臺滿載工況下進(jìn)行了標(biāo)定測量，分離了變形誤差，辨識了幾何誤差模型參數(shù)?；趲缀握`差傳遞模型和變形誤差模型，利用機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)反解在滿載荷工況下完成了穩(wěn)定平臺的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定，實現(xiàn)了兩類誤差的補(bǔ)償。通過標(biāo)定實驗，驗證了這種標(biāo)定方法收斂速度快，經(jīng)過5次迭代，精度可顯著提高，證明了標(biāo)定方法的有效性。

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(編輯 張 洋)

Error Analysis and Kinematics Calibration of 3-UPS/S Parallel Stabilizing Platform in Full Load Conditions

LI Yukun1,2LI Yongquan1,2SHE Yazhong2,3ZHANG Lijie2,3

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 3.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Compared to geometric errors, output accuracy of moving platform influenced by deformation errors might not be ignored when the loads of any parallel mechanism reached a certain values. Geometric and deformation error models were established based on parallel mechanism， which were studied for an electro-hydraulic 3-UPS/S stabilized paltform, and a total error transfer model was established by linear superposition of geometric and deformation errors. Based on the geometric error model, a kinematics calibration model of the stabilized platform was established. Kinematics calibration experiments were completed in full load conditions, positions of the reference points on moving platform were measured. Posture errors δH0of the moving platform were calculated, geometric errors δHwere obtained by separating the deformation errors δH1, and then the calibrations of geometric error parameters were completed based on least-square method.

parallel mechanism; geometric error; deformation error; kinematics calibration

張麗嬌，女，1989年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院博士研究生。主要研究方向為空間機(jī)器人動力學(xué)建模與控制。發(fā)表論文3篇。E-mail:lijiaoz@126.com。陳 力，男，1961年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。

2016-06-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(51405421，51275438)；河北省自然科學(xué)基金資助項目(E2015203101)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.08.014