基于z標(biāo)記的灰色GERT多任務(wù)項(xiàng)目費(fèi)用優(yōu)化研究

耿 瑞，朱建軍，王翯華，劉小弟,3

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106；2.金陵科技學(xué)院，江蘇 南京 211169；3.安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

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基于z標(biāo)記的灰色GERT多任務(wù)項(xiàng)目費(fèi)用優(yōu)化研究

耿 瑞1，朱建軍1，王翯華2，劉小弟1,3

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106；2.金陵科技學(xué)院，江蘇 南京 211169；3.安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

研究灰色GERT網(wǎng)絡(luò)在多任務(wù)情況下的費(fèi)用優(yōu)化問題。當(dāng)任務(wù)網(wǎng)絡(luò)中流動(dòng)的費(fèi)用變量為時(shí)間變量的函數(shù)時(shí)，針對(duì)多個(gè)存在依賴關(guān)系的任務(wù)，運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)中的z標(biāo)記探尋各任務(wù)之間的時(shí)間依賴關(guān)系，通過對(duì)彈性活動(dòng)的時(shí)間安排進(jìn)行調(diào)整，在保證工期不被延誤的前提行下使得整個(gè)項(xiàng)目的費(fèi)用達(dá)到優(yōu)化。以某大型客機(jī)客艙環(huán)境控制系統(tǒng)為例，對(duì)項(xiàng)目中各彈性活動(dòng)的完成時(shí)間和費(fèi)用進(jìn)行了研究。

項(xiàng)目管理；多任務(wù)；灰色GERT網(wǎng)絡(luò)；費(fèi)用優(yōu)化；最大滿意度

1 引言

圖示評(píng)審技術(shù)(Graphical Evaluation and Review Technique，簡(jiǎn)稱GERT網(wǎng)絡(luò)技術(shù))是系統(tǒng)工程的一個(gè)重要分支。在GERT中，工作的各個(gè)參數(shù)(如時(shí)間、費(fèi)用等) 具有隨機(jī)性，工作的實(shí)現(xiàn)也具有隨機(jī)性，從而能反映科研、生產(chǎn)和施工中可能遇到的許多復(fù)雜情況。經(jīng)典概率描述的GERT應(yīng)用范圍涵蓋系統(tǒng)分析建模[1-2]、產(chǎn)品開發(fā)管理[3]、產(chǎn)品質(zhì)量管理[4-5]、可靠性評(píng)估[6]、生產(chǎn)能力評(píng)估[7]、資源配置[8]、政策設(shè)計(jì)[9]等多個(gè)領(lǐng)域。但在現(xiàn)實(shí)生活中，人們對(duì)事物的認(rèn)知和判斷都存在一定的不確定性，于是阮愛清和劉思峰[10]定義了灰色GERT網(wǎng)絡(luò)，用以表征網(wǎng)絡(luò)中參數(shù)不確定的特征。肖先剛等[11]將不確定區(qū)間灰數(shù)引入GERT網(wǎng)絡(luò)，楊保華等[12]利用信號(hào)流圖原理研究了不確定信息的GERT網(wǎng)絡(luò)仿真算法；劉思峰等[13]從價(jià)值循環(huán)流動(dòng)及價(jià)值增值角度研究了一種新的灰色價(jià)值流動(dòng)G-GERT網(wǎng)絡(luò);Xu Ruiting等[14]通過建立灰色成功樹分析-圖示評(píng)審技術(shù)(GSTA-GERT)找出了復(fù)雜產(chǎn)品的評(píng)審辦法。

但這些GERT網(wǎng)絡(luò)的研究對(duì)象都是單一的任務(wù)，沒有涉及多個(gè)任務(wù)并行的情況。為此，我們考慮在描述多個(gè)任務(wù)引入最常使用的甘特圖方法。甘特圖最早由 Henrry L.Ganntt于1917年提出。它通常包括項(xiàng)目活動(dòng)列表、工作開始時(shí)間和持續(xù)時(shí)間，能夠清楚地表達(dá)各施工過程的開始、結(jié)束和持續(xù)時(shí)間，允許施工過程時(shí)間的重疊，在處理多個(gè)項(xiàng)目活動(dòng)時(shí)發(fā)揮著巨大優(yōu)勢(shì)。但同時(shí)，甘特圖不能顯示出各工序之間的相互依賴、相互制約、相互聯(lián)系的邏輯關(guān)系，且主要關(guān)注進(jìn)程管理中的時(shí)間，不能綜合反映項(xiàng)目的成本等其他因素。我們都知道，除了時(shí)間，成本也是項(xiàng)目管理者十分關(guān)注的因素，因而對(duì)時(shí)間-費(fèi)用的優(yōu)化研究一直層出不窮。Hajiagha等[15]研究了模糊目標(biāo)規(guī)劃和灰數(shù)混合模式下的時(shí)間、成本、質(zhì)量的權(quán)衡，Haque和Hasin[16]在建模中引入了三角模糊數(shù)，解決了項(xiàng)目的時(shí)間成本優(yōu)化問題，Salmasnia等[17]研究了項(xiàng)目時(shí)間，成本和質(zhì)量的魯棒性調(diào)度;在算法方面，Cai Jinling[18]研究了一種改進(jìn)的人工蜂群算法用以解決最短時(shí)間內(nèi)成本降低，Afruzi等[19]采用多目標(biāo)帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法研究了在模式定義和資源受限情況下的時(shí)間、成本、質(zhì)量權(quán)衡問題。

本文針對(duì)多個(gè)時(shí)間-費(fèi)用不確定的任務(wù)，將灰色GERT網(wǎng)絡(luò)與甘特圖進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)中的z標(biāo)記探尋各個(gè)任務(wù)之間的時(shí)間依賴關(guān)系，通過對(duì)任務(wù)中的活動(dòng)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，達(dá)到優(yōu)化整個(gè)項(xiàng)目費(fèi)用的目的。

2 分析及建模過程

2.1 經(jīng)典GERT的基本概念及定義

GERT是指網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中活動(dòng)與活動(dòng)之間的邏輯關(guān)系具有不確定性，且活動(dòng)的費(fèi)用和時(shí)間參數(shù)也不確定，而按隨機(jī)變量進(jìn)行分析的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)。GERT網(wǎng)絡(luò)的組成部分是定向的支線和邏輯節(jié)點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 GERT網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)成單元示意圖

經(jīng)典的GERT網(wǎng)絡(luò)的解析算法綜合了概率論的矩母函數(shù)、線性系統(tǒng)的信號(hào)流圖理論等幾方面的理論。通過矩母函數(shù)和梅森公式，提供了求解隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的工具。

2.2 基于Z標(biāo)記的GERT過程時(shí)間矩母函數(shù)

在GERT網(wǎng)絡(luò)中，若用一個(gè)未限定的變量z乘以網(wǎng)絡(luò)中某一活動(dòng)的W函數(shù)，則稱對(duì)該活動(dòng)做了z標(biāo)記。

定義W(s|j)為當(dāng)用z做過“標(biāo)記”的活動(dòng)經(jīng)過j次實(shí)現(xiàn)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的W函數(shù)，或稱經(jīng)過“標(biāo)記”的活動(dòng)實(shí)現(xiàn)j次時(shí)網(wǎng)絡(luò)的條件函數(shù)。在GERT網(wǎng)絡(luò)分析中，常常需要知道在網(wǎng)絡(luò)執(zhí)行中某個(gè)節(jié)點(diǎn)或者某項(xiàng)活動(dòng)首次實(shí)現(xiàn)的過程時(shí)間，而在網(wǎng)絡(luò)執(zhí)行中首次到達(dá)某一節(jié)點(diǎn)的過程時(shí)間就是該節(jié)點(diǎn)首次實(shí)現(xiàn)時(shí)間。

圖2 費(fèi)用與時(shí)間的關(guān)系圖

定理1 若隨機(jī)變量T的概率密度函數(shù)為f(tij)，且cij=φ(tij)為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則隨機(jī)變量C的概率密度函數(shù)g(cij)為：

其中，h(cij)是φ(tij)的反函數(shù)，

c1=min{φ(-∞),φ(+∞)}，

c2=max{φ(-∞),φ(+∞)}。

證明 因?yàn)閏ij=φ(tij)是單調(diào)函數(shù)，所以cij=φ(tij)存在反函數(shù)h(cij)

C的分布函數(shù)為:

因而c的概率密度函數(shù)g(cij)為:

得證。

2.4 任務(wù)活動(dòng)費(fèi)用和時(shí)間相關(guān)的灰色GERT網(wǎng)絡(luò)模型的解析求解

根據(jù)上述分析，當(dāng)活動(dòng)費(fèi)用與時(shí)間相關(guān)時(shí)，運(yùn)用定理1就可將費(fèi)用的概率密度函數(shù)以時(shí)間的概率密度函數(shù)表示出來。由此，在GERT網(wǎng)絡(luò)中引入該關(guān)系，并結(jié)合GERT網(wǎng)絡(luò)的解析法的相關(guān)定理可得:

定理2 若隨機(jī)變量T的概率密度函數(shù)為f(tij)，且cij=φ(tij)為單調(diào)函數(shù)，則隨機(jī)變量C的矩母函數(shù)函數(shù)MC(s)為:

MCij(s)=

證明 因?yàn)閏ij=φ(tij)是單調(diào)函數(shù)，所以cij=φ(tij)存在反函數(shù)h(cij)

根據(jù)矩母函數(shù)的定義，有：

其中f(tij)是隨機(jī)變量T的概率密度函數(shù)，g(cij)是隨機(jī)變量C的概率密度函數(shù)。

由定理1，

得證。

當(dāng)已知網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)活動(dòng)的作業(yè)時(shí)間t和費(fèi)用c的矩母函數(shù)，就可求得GERT網(wǎng)絡(luò)中含有時(shí)間和費(fèi)用這兩個(gè)參數(shù)的矩母函數(shù)為:

如果要考察時(shí)間的參數(shù)，即令s2=0，有：

如果要考察費(fèi)用的參數(shù)，即令s1=0，有：

有了各活動(dòng)的矩母函數(shù)，便可求得GERT網(wǎng)絡(luò)中各活動(dòng)上的傳遞函數(shù)：

當(dāng)知道各活動(dòng)的傳遞函數(shù)，即可根據(jù)梅森公式求得網(wǎng)絡(luò)的等價(jià)傳遞函數(shù)：

=pijMTij(s1)MCij(s2)

當(dāng)s1=s2=0時(shí)，

由定理2可知，MCij(0)=1

節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的等價(jià)時(shí)間:

節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的等價(jià)費(fèi)用:

節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的方差:

節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的風(fēng)險(xiǎn)度:

2.5 基于Z標(biāo)記的多任務(wù)灰色GERT時(shí)間-費(fèi)用模型求解

2.4中我們討論了單任務(wù)的灰色GERT網(wǎng)絡(luò)模型的解析求解，它相對(duì)獨(dú)立，可以運(yùn)用GERT的知識(shí)進(jìn)行分析。但對(duì)于大型的工程，往往需要完成不止一個(gè)單任務(wù)，多個(gè)單任務(wù)(即多任務(wù))就構(gòu)成了一個(gè)項(xiàng)目。一個(gè)項(xiàng)目中的多任務(wù)之間往往互相依賴又互相約束，這種依賴和約束體現(xiàn)在時(shí)間和資源上。如果多任務(wù)中的單任務(wù)相對(duì)獨(dú)立，共用資源所導(dǎo)致的互相約束就可適當(dāng)簡(jiǎn)化。本文研究的就是這種在時(shí)間上互相依賴，但在資源上互相獨(dú)立的多任務(wù)情況。這種情況下，多個(gè)任務(wù)之間呈現(xiàn)出時(shí)間上的相互依賴關(guān)系[21]，即一個(gè)任務(wù)的執(zhí)行以另一個(gè)任務(wù)的執(zhí)行為前提，它的簡(jiǎn)單示例如圖3所示。

圖3 多任務(wù)GERT示例圖

圖3中，任務(wù)2需要任務(wù)一中的1-i節(jié)點(diǎn)開始后方能啟動(dòng)，任務(wù)3需要任務(wù)二中的2-j節(jié)點(diǎn)開始后方能啟動(dòng)……任務(wù)N需要任務(wù)N-1中的(N-1)-k節(jié)點(diǎn)開始后方能啟動(dòng)。這種情況下，任務(wù)1中從節(jié)點(diǎn)1-1到1-i的過程時(shí)間，任務(wù)2中從節(jié)點(diǎn)2-1到2-j的過程時(shí)間，……，任務(wù)N-1中的從節(jié)點(diǎn)(N-1)-1到(N-1)-k的過程時(shí)間都分別決定了下一個(gè)任務(wù)的開始時(shí)間。

定義1 在互相依賴的多任務(wù)GERT網(wǎng)絡(luò)中，我們將影響下一個(gè)任務(wù)啟動(dòng)的節(jié)點(diǎn)稱為依賴節(jié)點(diǎn)，圖3中，節(jié)點(diǎn)1-i，2-j，…，(N-1)-k均為依賴節(jié)點(diǎn)；將依賴節(jié)點(diǎn)以前的過程時(shí)間稱為固定時(shí)間，圖3中，t1-1,1-i，t2-1,2-j，…，t(N-1)-1,(N-1)-k均為固定時(shí)間；將在依賴節(jié)點(diǎn)以后的過程時(shí)間稱為彈性時(shí)間，圖3中， (t1-t1-1,1-i)，(t2-t2-1,2-j)，…， (tN-t(N-1)-1,(N-1)-k)，tN-1,N-M均為彈性時(shí)間；將彈性時(shí)間中的各項(xiàng)活動(dòng)稱為彈性活動(dòng)。

對(duì)于一個(gè)有N個(gè)任務(wù)的項(xiàng)目，整個(gè)項(xiàng)目的時(shí)間為:T=t1-1,1-i+t2-1,2-j+…+t(N-1)-1,(N-1)-k+ max{tN-1,N-M，(tN-t(N-1)-1,(N-1)-k)，…，(t2-t2-1,2-j)， (t1-t1-1,1-i)}。其中t1-1,1-i，t2-1,2-j，…，t(N-1)-1,(N-1)-k為每個(gè)任務(wù)從原點(diǎn)到依賴節(jié)點(diǎn)的過程時(shí)間，即固定時(shí)間；tN-1,N-M，(tN-t(N-1)-1,(N-1)-k)，…，(t2-t2-1,2-j)， (t1-t1-1,1-i)為每個(gè)任務(wù)從依賴節(jié)點(diǎn)到終點(diǎn)的過程時(shí)間，即彈性時(shí)間，t1，t2，…，tN為每個(gè)任務(wù)的完成時(shí)間。

項(xiàng)目完成時(shí)間T由兩部分組成，第一部分T固=t1-1,1-i+t2-1,2-j+…+t(N-1)-1,(N-1)-k是所有固定時(shí)間的總和，這部分時(shí)間一旦調(diào)整將影響整個(gè)項(xiàng)目的進(jìn)度；第二部分T彈=max{tN-1,N-M，(tN-t(N-1)-1,(N-1)-k)，…，(t2-t2-1,2-j)，(t1-t1-1,1-i)}是所有彈性時(shí)間中的最大值，這部分時(shí)間由N個(gè)任務(wù)中最大的彈性時(shí)間決定。

定義2 在多任務(wù)灰色GERT網(wǎng)絡(luò)中，如果對(duì)項(xiàng)目中各任務(wù)的時(shí)間進(jìn)行約束，則稱該網(wǎng)絡(luò)為時(shí)間輸出受控的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)TRMG-GERT(TimeRestrictedMultitaskingGreyGraphicalEvaluationandReviewTechnique)。

TRMG-GERT網(wǎng)絡(luò)模型中，存在多個(gè)單任務(wù)的GERT網(wǎng)絡(luò)，單個(gè)任務(wù)的圖形一般由箭線、節(jié)點(diǎn)、流以及約束條件四個(gè)要素組成，其基本構(gòu)成單元如圖4所示。

圖4 TRMG-GERT網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)成單元示意圖

在本文研究的背景中，為了保證項(xiàng)目工期不被延長(zhǎng)，只能對(duì)彈性活動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，使得總工期不變，總費(fèi)用得到優(yōu)化。為了描述客戶對(duì)各個(gè)任務(wù)的要求，引入客戶滿意度μ，應(yīng)滿足下列條件:當(dāng)限制被嚴(yán)重違反時(shí)，μ=0；當(dāng)限制完全滿足時(shí)，μ=1；隨著限制從被嚴(yán)重違反到完全滿足時(shí)，μ從0單調(diào)地增加到1。

圖5 時(shí)間的滿意度函數(shù)

定義4 對(duì)于任務(wù)N時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)度，定義其時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)滿意度為μN(yùn)-2，如圖6所示：

圖6 時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)度的滿意度函數(shù)

令總體滿意度為μN(yùn)，則有μN(yùn)=ωN-1μN(yùn)-1+ωN-2μN(yùn)-2(ωN-1，ωN-2∈[0，1]，ωN-1+ωN-2=1)，ωN-1，ωN-2為客戶針對(duì)時(shí)間和時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)度分別給出的權(quán)重，可以通過AHP層次分析法、Delphi法等得到。

為了使客戶的滿意度高，即得到如下模型:

maxμN(yùn)

其中N表示需要優(yōu)化的任務(wù)。

由此，我們從最大化客戶滿意度的角度，建立基于z標(biāo)記的灰色GERT多任務(wù)費(fèi)用優(yōu)化模型，從而能夠在保證項(xiàng)目工期不被延長(zhǎng)的條件下降低費(fèi)用。

2.6 TRMG-GERT模型的求解步驟

(1)根據(jù)項(xiàng)目的基本特征，構(gòu)建TRMG-GERT網(wǎng)絡(luò)，確定多任務(wù)之間的時(shí)間依賴關(guān)系。

(2)收集趕工作業(yè)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中活動(dòng)ij的基本參數(shù)tije,cije，應(yīng)用信號(hào)流圖的梅森公式來確定項(xiàng)目時(shí)間TE；通過對(duì)依賴節(jié)點(diǎn)進(jìn)行z標(biāo)記，確定各任務(wù)的固定時(shí)間和彈性時(shí)間。

(3)以區(qū)間灰數(shù)t(?)ij∈[tij0,tije]表征彈性活動(dòng)ij的完成時(shí)間，cij可由與tij的函數(shù)關(guān)系求得。

(4)結(jié)合客戶對(duì)時(shí)間的要求TR，建立客戶滿意度μ優(yōu)化模型，用模糊規(guī)劃求出符合最佳滿意度的精確網(wǎng)絡(luò)參數(shù)tij，cij可進(jìn)一步由與tij的函數(shù)關(guān)系求得。

3 算例分析

某大型客機(jī)正在研制環(huán)境控制系統(tǒng)。由于客機(jī)的研制過程一再推遲，目前研制方正全力趕工，投入大量的資金和人力，多條生產(chǎn)線并行，以期能盡快完成項(xiàng)目。在趕工狀態(tài)下，項(xiàng)目的研制雖然能夠以最快速度進(jìn)行，但花費(fèi)較大。在項(xiàng)目研制過程中，適當(dāng)延長(zhǎng)活動(dòng)時(shí)間可以降低趕工的費(fèi)用。為了能夠在保證項(xiàng)目工期的前提下適當(dāng)節(jié)省費(fèi)用，需要對(duì)項(xiàng)目中的任務(wù)進(jìn)行重新規(guī)劃和安排。

現(xiàn)以研制過程中一條研制生產(chǎn)線“制冷組件-溫度控制系統(tǒng)-環(huán)境控制系統(tǒng)”為例，項(xiàng)目的三個(gè)任務(wù)分別為(1)制冷組建的研制；(2)溫度控制系統(tǒng)的研制；(3)環(huán)境控制系統(tǒng)的研制。其中，環(huán)境控制系統(tǒng)依賴于溫度控制系統(tǒng)，溫度控制系統(tǒng)依賴于制冷組件，其研制過程的TRMG-GERT網(wǎng)絡(luò)模型如下圖7、8、9所示。

圖7 某大型客機(jī)制冷組件研制GERT網(wǎng)絡(luò)

圖8 某大型客機(jī)溫度控制系統(tǒng)研制GERT網(wǎng)絡(luò)

圖9 某大型客機(jī)溫度控制系統(tǒng)研制GERT網(wǎng)絡(luò)

三個(gè)任務(wù)中，任務(wù)二需要任務(wù)一中的1-3節(jié)點(diǎn)開始后方能啟動(dòng)，任務(wù)三需要任務(wù)二中的2-4節(jié)點(diǎn)開始后方能啟動(dòng)。這種情況下，節(jié)點(diǎn)1-3和節(jié)點(diǎn)2-4首次實(shí)現(xiàn)的過程時(shí)間分別決定了任務(wù)二和任務(wù)三的開始時(shí)間。

由于客艙環(huán)境控制系統(tǒng)的研制在國(guó)內(nèi)外已經(jīng)具備了一定的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)目前的研制進(jìn)展，通過對(duì)歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，同時(shí)通過專家意見Delphi法，可對(duì)各活動(dòng)的概率以及趕工狀態(tài)下的作業(yè)時(shí)間和費(fèi)用做出估計(jì)，并給出非趕工狀態(tài)下時(shí)間和費(fèi)用可能的范圍。若多個(gè)專家組出的估計(jì)值不一致，可運(yùn)用群決策和數(shù)據(jù)融合的相關(guān)方法進(jìn)行處理，以便獲得一個(gè)滿意的估計(jì)值，在此不做贅述。某大型客機(jī)客艙環(huán)境控制系統(tǒng)項(xiàng)目中三個(gè)任務(wù)的活動(dòng)參數(shù)見下表1、2、3。

表1 制冷組件研制活動(dòng)參數(shù)表

表2 溫度控制系統(tǒng)研制活動(dòng)參數(shù)表

表3 環(huán)境控制系統(tǒng)研制活動(dòng)參數(shù)表

以任務(wù)一為例，成功的概率P1=1

等價(jià)傳遞函數(shù)

等價(jià)矩母函數(shù)

將te,ce代入，可求得該網(wǎng)絡(luò)在趕工狀態(tài)時(shí)的時(shí)間及費(fèi)用:

將t0,c0代入，可求得該網(wǎng)絡(luò)在調(diào)整彈性時(shí)間至最佳狀態(tài)時(shí)的時(shí)間及費(fèi)用:

在節(jié)點(diǎn)1-3引入z標(biāo)記，得到由任務(wù)一的節(jié)點(diǎn)1-1到達(dá)節(jié)點(diǎn)1-3的等價(jià)W函數(shù)為：

由此可得：

同理，可求得各個(gè)任務(wù)的時(shí)間及費(fèi)用如表4所示。

表4 各任務(wù)參數(shù)表

為保證工期不改變，可以對(duì)任務(wù)一和任務(wù)三中的彈性活動(dòng)進(jìn)行時(shí)間的重新規(guī)化。構(gòu)建時(shí)間及時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)度滿意度的加權(quán)最優(yōu)化模型。即：

maxμN(yùn)

其中，N分別表示1和3，即任務(wù)一和任務(wù)三。μN(yùn)-1是任務(wù)N時(shí)間的滿意度，μN(yùn)-2是任務(wù)N時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)的滿意度。以任務(wù)一為例，根據(jù)客戶需求，給出ω1-1=0.8，ω1-2=0.2，δ1-1=32.4，δ1-2=47.4%，δ1-3=46.7%，代入最優(yōu)化模型可分別求得任務(wù)一的優(yōu)化方案，類似可求得任務(wù)三的優(yōu)化方案，如下表5、6所示。

表5 制冷組件研制彈性活動(dòng)參數(shù)調(diào)整前后對(duì)比

此時(shí)項(xiàng)目的總工期T=122.6=TE，工期沒有延長(zhǎng)，而費(fèi)用C=250.9

表6 環(huán)境控制系統(tǒng)研制彈性活動(dòng)參數(shù)調(diào)整前后對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了現(xiàn)實(shí)情況中一種多任務(wù)并行的費(fèi)用優(yōu)化問題。通過引入甘特圖的思想，解決了多任務(wù)并行的問題；通過利用GERT網(wǎng)絡(luò)描述任務(wù)，彌補(bǔ)了甘特圖只能反映時(shí)間的缺陷。在假定項(xiàng)目中各項(xiàng)活動(dòng)的費(fèi)用與時(shí)間線性相關(guān)的前提下，借助時(shí)間的分布導(dǎo)出了費(fèi)用的分布。同時(shí)利用GERT網(wǎng)絡(luò)中的z標(biāo)記，求解出各依賴節(jié)點(diǎn)的過程時(shí)間，研究了彈性時(shí)間部分的費(fèi)用優(yōu)化問題，從而時(shí)間了在保證項(xiàng)目總工期不被延期的條件下，通過適當(dāng)延長(zhǎng)各個(gè)彈性活動(dòng)的時(shí)間，爭(zhēng)取了費(fèi)用的降低。為了處理方便，本文研究了費(fèi)用和時(shí)間線性相關(guān)的情況，但現(xiàn)實(shí)情況中由于項(xiàng)目本身的特點(diǎn)，費(fèi)用與時(shí)間的關(guān)系也將呈現(xiàn)更加復(fù)雜的關(guān)系。如何系統(tǒng)地考慮時(shí)間與費(fèi)用之間的復(fù)雜關(guān)系，求解非線性情況下多任務(wù)的費(fèi)用優(yōu)化問題是今后需要繼續(xù)深入的方向。

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Optimization of the Costs in Multi-tasking Grey GERT Based on z Tags

GENG Rui1，ZHU Jian-jun1, WANG He-hua2，LIU Xiao-di1,3

(1.School of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China;2.Jinling Institute of Technology, Nanjing 211106, China;3.School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243002, China)

During a project, the period and the cost are often what the customer pays closo attertion to. For a multitask one, the ultimate completion time depends the slowest task. As a result, there is certain flexibility for those tasks that could be finished before the last one. We can make good use of the flexible time to reduce the overtime pay and equipment upgrade fee etc. so that the overall expense can be reduced. Based on the previous research, there is a certain relationship between time and expense. For multiple dependent projects, better time schedule could not only slow down the whole project but also reduce the overall expense. In this paper, this problem is addressed by GERT network. To be more specific, in the GERT network, the relationship between the progresses of each task is traced via Z-tags. The fixed time and flexible time are also defined, and the experiments of the expense are conduced involved in flexible time and fixed time respectively. When the flowing money in task network becomes a function of time, we can optimize the overall project fee can be optimized while avoiding delaying the whole project by adjusting the time schedule. Moreover, the customer content maximization (CCM) method is used to optimize the project fee. The CCM is defined as the weighted sum of expense content and risk content. At last, the project of one large passenger cabin environmental control system and work on the flexible time and expense of each task are investigated. It is found that our method is able to make full use of the flexible time of each task so as to reduce the overall project fee, which is full of practical values.

project management; multi-tasking; grey GERT network; optimization of the costs; maximum satisfaction

2014-12-03；

2017-01-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171112);高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(2012ZDIXM007);國(guó)家自然科學(xué)青年基金(71502073);教育部人文社科基金(14YJC630120)

耿瑞(1988-)，女(漢族)，江蘇人，南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院碩士研究生，研究方向:項(xiàng)目管理，E-mail:grace881028@163.com.

1003-207(2017)04-0133-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.016

C935

A