經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展及一致性模型研究
——宏觀低碳經(jīng)濟(jì)的數(shù)理分析

李愛華，宿 潔，賈傳亮

(中央財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100081)

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經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展及一致性模型研究
——宏觀低碳經(jīng)濟(jì)的數(shù)理分析

李愛華，宿 潔，賈傳亮

(中央財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100081)

在全球化背景下，未來經(jīng)濟(jì)增長將更多地依靠制度改進(jìn)、科技創(chuàng)新和技術(shù)進(jìn)步，因此，調(diào)整經(jīng)濟(jì)的增長方式和產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)可以在保證經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定發(fā)展的同時實(shí)現(xiàn)碳排放總量下降。在科技進(jìn)步不變的情況下，即經(jīng)濟(jì)增長與碳排放二者之間仍存在正相關(guān)時，從華氏經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型出發(fā)，給出了碳排放減少優(yōu)化模型，通過將二者合并得到經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展的分式規(guī)劃模型，并給出其求解方法；同時,通過分析和證明經(jīng)濟(jì)增長率、Frobenius根的關(guān)系、消耗系數(shù)、消耗碳排放系數(shù)之間關(guān)系，得出了經(jīng)濟(jì)增長與碳排放的一致性模型和解決方法。

正特征矢量；碳排放；經(jīng)濟(jì)增長;一致性

1 引言

碳排放問題和經(jīng)濟(jì)發(fā)展問題始終被世界各國所重視。經(jīng)濟(jì)發(fā)展中需要不斷地消耗能源，而其資源數(shù)量有限，且能源在投入生產(chǎn)的過程中會產(chǎn)生溫室氣體，有可能對人類的生存發(fā)展構(gòu)成了威脅；另一方面，人們對于碳排放問題越來越關(guān)注，碳排放直接影響到呼吸的空氣，與人們的健康息息相關(guān)。因此，低碳經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展模式研究十分重要，其研究結(jié)果是制定符合本國的低碳經(jīng)濟(jì)發(fā)展之路的重要決策依據(jù)。

經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平是影響碳排放總量的重要因素[1]。在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，經(jīng)濟(jì)增長與碳排放二者之間通常存在相關(guān)關(guān)系，目前關(guān)于兩者的研究可以分為兩個類型，類型一是利用所獲得數(shù)據(jù)從計量角度實(shí)證分析，如有些學(xué)者利用中國的數(shù)據(jù)實(shí)證分析了中國經(jīng)濟(jì)增長是碳排放增長的推動原因[2]。也有學(xué)者利用數(shù)據(jù)實(shí)證研究了碳排放增長率的運(yùn)行機(jī)理[3]；或者基于中國的省際面板數(shù)據(jù)研究經(jīng)濟(jì)增長、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)對碳排放的影響[4]。類型二是以數(shù)理模型為工具，研究能源投入要素與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系和機(jī)制；如根據(jù)經(jīng)濟(jì)增長理論建立模型，如考慮能源約束下經(jīng)濟(jì)增長的穩(wěn)態(tài)路徑或考慮污染因素的經(jīng)濟(jì)增長模型[5-7]，從研究成果來看，盡管存在資源約束或者環(huán)境污染，但是在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)滿足一定條件下，可持續(xù)增長是可以實(shí)現(xiàn)的，這符合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的樂觀派觀點(diǎn)。類型三則是將上面兩個類型的方法結(jié)合起來使用，如基于內(nèi)生增長理論與GVAR模型的能源消費(fèi)控制目標(biāo)下對經(jīng)濟(jì)增長與碳減排研究[8]。

如上所述，碳排放和經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系一直受到關(guān)注，如何通過經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化以實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)最優(yōu)增長也一直都是各個國家和地區(qū)所關(guān)心的重要問題。不同的經(jīng)濟(jì)體制和社會發(fā)展時期，人們提出了不同的經(jīng)濟(jì)增長模型，如針對在計劃期末以資本存量最大化為目標(biāo)的經(jīng)濟(jì)增長問題，Samuelson等[9]提出Turnpike Theorem，證明了當(dāng)計劃期相當(dāng)長時，此問題最優(yōu)解的軌跡收斂于Neumann均衡解。早在上個世紀(jì)六十年代，華羅庚教授就開始研究經(jīng)濟(jì)增長問題的正特征矢量法，針對沒有技術(shù)進(jìn)步和消費(fèi)的封閉動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),證明了初始投入須按直接消耗系數(shù)矩陣的正特征矢量進(jìn)行，才能保證經(jīng)濟(jì)增長速度最快，即經(jīng)濟(jì)在最優(yōu)軌道上運(yùn)行[10-16]。而后又有眾多學(xué)者對宏觀經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行了推廣，研究了帶有消費(fèi)或投資的動態(tài)投入產(chǎn)出經(jīng)濟(jì)模型[17-19]。里昂惕夫[20]提出了投入產(chǎn)出分析方法，得到了靜態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總產(chǎn)出與最終產(chǎn)品(由消費(fèi)、投資和出口三部分組成)之間的平衡模型。李愛華等[21]從我國當(dāng)前經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中消費(fèi)、投資和出口的實(shí)際作用和現(xiàn)有的國民經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計口徑出發(fā)，借助于Leontief平衡模型，對經(jīng)典的華氏經(jīng)濟(jì)增長模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了一類實(shí)用華氏宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型，論證了該經(jīng)濟(jì)增長模型能夠?qū)崿F(xiàn)宏觀經(jīng)濟(jì)均衡較快的發(fā)展，并且給出了利用實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)估算投入系數(shù)的方法。

目前對于碳排放和經(jīng)濟(jì)增長的研究多是從可以收集的數(shù)據(jù)，利用實(shí)證分析的方法研究兩者的關(guān)系，在數(shù)據(jù)真實(shí)的前提下，實(shí)證結(jié)果可以描述出兩者的關(guān)系，但是不能給出其相應(yīng)的策略分析，本文基于華氏經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型以及正特征矢量法的研究結(jié)果[10-16，19,21-22]，討論了在科技進(jìn)步不變的情況下，即經(jīng)濟(jì)增長與碳排放二者之間仍存在正相關(guān)的情況下，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)如何通過產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長與碳排放的協(xié)調(diào)發(fā)展。首先從華氏經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型出發(fā)，給出碳排放減少優(yōu)化模型，將二者合并得到經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展的分式規(guī)劃模型，并給出其求解方法;同時論證了經(jīng)濟(jì)增長和碳排放減少的一致性,兩者可以通過技術(shù)改造、技術(shù)革新等科技進(jìn)步的途徑達(dá)到一致性。

2 華氏經(jīng)濟(jì)增長模型及其推廣

2.1 經(jīng)典華氏經(jīng)濟(jì)增長模型

早在上個世紀(jì)六十年代初期，針對經(jīng)濟(jì)增長問題的正特征矢量法就被提出和研究，對于沒有技術(shù)進(jìn)步和消費(fèi)的封閉動態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)[10]：

(1)

其中，A表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣；X(t)表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在第t年的產(chǎn)出向量；Y(t)和Y(t+1)分別表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在第t年和第t+1年的投入向量。

若記：

H=A-1

則有：

X(t+1)=HX(t)

(2)

2.2 有消費(fèi)的華氏宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型

實(shí)際經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，每年的消費(fèi)、投資和出口會有很大一部分作為隨后時期的“投入來源”重新進(jìn)入經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中來，因此不妨設(shè)β為每年經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品再投入的比例，令β1表示第t年增長部分的投入系數(shù)(積累率)，A表示直接消耗系數(shù)矩陣，e表示單位行向量，Q表示資源限制列向量。這時經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(1)可以寫成：

(3)

整理后得到：

AX(t+1)=[(1-β1)A+β1I]X(t)

(4)

即：

X(t+1)=[βA-1+(1-β)I]X(t)

(5)

若記：

H=βA-1+(1-β)I

則有：

X(t+1)=HX(t)

(6)

由Perron-Frobenuis定理[17]可知，如果A是一個不可約非負(fù)方陣，則A存在最大特征根λ>0和其對應(yīng)特征向量U>0，使得AU=λU。

2.3 實(shí)用華氏宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型

按照我國現(xiàn)在使用的國民經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法和口徑可知，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在第t年的最終產(chǎn)品值為[C(t)+B(t)+E(t)+R(t)]X(t)，其中R(t)表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在第t年的誤差占總產(chǎn)出份額的比例向量。

仍考慮2.2研究中的投入系數(shù)β(每年經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品再投入的比例)，則每年經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品再進(jìn)入經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的實(shí)際值如下：

F(t)=β[C(t)+B(t)+E(t)+R(t)]

(7)

從而，借助于Leontief平衡模型，在經(jīng)典華氏經(jīng)濟(jì)增長模型(1)中考慮每年經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品再進(jìn)入經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的實(shí)際值(7)的作用，可得到一個改進(jìn)的經(jīng)濟(jì)增長模型如下：

(8)

3 經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少優(yōu)化模型

3.1 經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型

對于有消費(fèi)的華氏宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型(3)，如果投入產(chǎn)出平衡表為價值型，則由華羅庚[12]知公式(5)有如下線性規(guī)劃模型(9)，該模型記為經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型。

maxe[βA-1+(1-β)I]X

(9)

上述經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型中X表示第t+1年投入列向量，β表示第t年增長部分的投入系數(shù)(積累率)，A表示直接消耗系數(shù)矩陣，e表示單位行向量，Q表示資源限制列向量。

3.2 碳排放減少優(yōu)化模型

設(shè)ci表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第i部門的碳排放強(qiáng)度，即表示第i部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品碳排放的數(shù)量，C={c1,c2,…,cn}表示碳排放強(qiáng)度行向量。則有線性規(guī)劃(10)所示，該模型即為碳排放減少優(yōu)化模型。

minC[βA-1+(1-β)I]X

(10)

上述碳排放減少優(yōu)化模型中X，β，A，e，Q的意義同上。

3.3 經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展模型

由于經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型(9)與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展模型(10)的約束條件相同，若同時追求經(jīng)濟(jì)增長最大和碳排放最少，則有多目標(biāo)線性規(guī)劃模型如下:

maxe[βA-1+(1-β)I]X

minC[βA-1+(1-β)I]X

(11)

如果把追求經(jīng)濟(jì)增長與碳排放之比達(dá)到最大，作為經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展的目標(biāo)，則多目標(biāo)規(guī)劃模型(11)又可寫成如下線性分式規(guī)劃模型:

(12)

線性分式規(guī)劃模型(12)中X，β，A，e，Q的意義同上；模型(12)即為經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展模型。

定理:如果把追求經(jīng)濟(jì)增長與碳排放之比達(dá)到最大，作為經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展的目標(biāo)，經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展模型(12)存在最優(yōu)解。

證明: 由charnes-cooper方法[12]知:

令:

Y=zX

則經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展模型即線性分式規(guī)劃(12)轉(zhuǎn)化為如下線性規(guī)劃:

maxe[βA-1+(1-β)I]Y

(13)

由于解線性規(guī)劃(13)有多項(xiàng)式算法[19]，于是線性分式規(guī)劃(12)即經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展模型是多項(xiàng)式時間可解的。

4 經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少的一致性

4.1 經(jīng)濟(jì)增長率與Frobenius根的關(guān)系

關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長率和Frobenius根的關(guān)系有如下命題。

命題1：在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(3)中，經(jīng)濟(jì)增長率是消耗系數(shù)矩陣Frobenius根的嚴(yán)格減函數(shù)。

設(shè)A為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的消耗系數(shù)矩陣，若A是不可約非負(fù)方陣，則A存在最大特征根λA>0，并稱之為A的Frobenius根。由華氏宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型[10-16]知：

X(t+1)=[βA-1+(1-β)I]X(t)

令:

H=βA-1+(1-β)I

則有:

X(t+1)=HX(t)

即:

可得:

該結(jié)論說明，經(jīng)濟(jì)增長率是消耗系數(shù)矩陣Frobenius根的嚴(yán)格減函數(shù)。證畢。

4.2 Frobenius根與消耗系數(shù)之間的關(guān)系

關(guān)于Frobenius根與消耗系數(shù)有如下關(guān)系成立。

命題2：在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(3)中，消耗系數(shù)矩陣的Frobenius根是消耗系數(shù)的嚴(yán)格增函數(shù)。

證明：

對于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(3)，令:

A=(aij)n×n

其中aij表示j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需i部門產(chǎn)品的數(shù)量。設(shè)A為不可約非負(fù)方陣，λA為A的Frobenius根，VT、U分別為A對應(yīng)于λA的左、右特征向量。根據(jù)華羅庚[10-16]，有：

該定理說明，消耗系數(shù)矩陣的Frobenius根是消耗系數(shù)的嚴(yán)格增函數(shù)。

4.3 消耗系數(shù)與消耗碳排放系數(shù)的關(guān)系

關(guān)于消耗碳排放系數(shù)和消耗碳排放系數(shù)之間有如下關(guān)系成立。

命題3：對于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(3)，設(shè)cij表示j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品消耗i部門產(chǎn)品時碳排放的數(shù)量，稱為消耗碳排放系數(shù)；ci表示i部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品碳排放的數(shù)量，稱為碳排放系數(shù)。

則有：

cij=ciaij

可得：

該結(jié)論說明，消耗系數(shù)是消耗碳排放系數(shù)的嚴(yán)格增函數(shù)。證畢。

4.4 經(jīng)濟(jì)增長率與消耗碳排放系數(shù)的關(guān)系

關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長率與消耗碳排放系數(shù)之間有如下關(guān)系成立。

命題4：對于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)(3)，經(jīng)濟(jì)增長率是消耗碳排放系數(shù)的嚴(yán)格減函數(shù)，即經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少二者是一致的。

證明：

所以：

該結(jié)論說明，經(jīng)濟(jì)增長率是消耗碳排放系數(shù)的嚴(yán)格減函數(shù)，即經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少二者是一致的。證畢。

5 經(jīng)濟(jì)增長率與碳排放減少一致性的實(shí)現(xiàn)途徑

基于命題4的結(jié)論，由于：

若記：

則ci0j0的減少將會引起α最快的增加。又由于：

若記：

則減少j0部門消耗i0部門時的消耗碳排放系數(shù)ci0j0，將是經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少同時實(shí)現(xiàn)的最佳選擇。

由于：

ci0j0=ci0ai0j0

于是減少i0部門的碳排放系數(shù)ci0和j0部門消耗i0部門時的消耗系數(shù)ai0j0，將是經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少同時實(shí)現(xiàn)的最有效途徑。

6 結(jié)語

隨著社會的發(fā)展與科技的進(jìn)步，碳排放和經(jīng)濟(jì)增長的問題引起了越來越多的關(guān)注，兩者之間的關(guān)系如何以及如何同時實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長與碳排放減少是一個重要研究議題。本文通對過宏觀低炭經(jīng)濟(jì)的數(shù)理分析,證明了在全球化背景下未來經(jīng)濟(jì)增長將更多地依靠制度改進(jìn)、科技創(chuàng)新和技術(shù)進(jìn)步。因此，調(diào)整經(jīng)濟(jì)的增長方式和產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)可以在保證經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定發(fā)展的同時實(shí)現(xiàn)碳排放總量下降。

研究從華氏經(jīng)濟(jì)增長優(yōu)化模型出發(fā)，推出了碳排放減少優(yōu)化模型，通過將二者合并得到經(jīng)濟(jì)增長與碳排放協(xié)調(diào)發(fā)展的分式規(guī)劃模型，并給出分式規(guī)劃模型的求解方法。同時,通過分析和證明經(jīng)濟(jì)增長率、Frobenius根、消耗系數(shù)、消耗碳排放系數(shù)之間關(guān)系，得出了經(jīng)濟(jì)增長與碳排放的一致性模型和解決方法。本文的研究結(jié)果對于當(dāng)前政府進(jìn)行經(jīng)濟(jì)增長與碳排放控制宏觀決策具有重要的指導(dǎo)意義。

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[15] 華羅庚.計劃經(jīng)濟(jì)大范圍最優(yōu)化的數(shù)學(xué)理論—基本定量的證明[J].科學(xué)通報，1985,30(1)：1-2.

[16] 華羅庚.計劃經(jīng)濟(jì)大范圍最優(yōu)化的數(shù)學(xué)理論—生產(chǎn)危機(jī)的產(chǎn)生[J].科學(xué)通報，1985,30(9)：641-645.

[17] 張金水．可計算非線性動態(tài)投入產(chǎn)出模型[M]．北京: 清華大學(xué)出版社，2000.

[18] 徐大舉, 劉家壯, 陳曉蘭．多部門經(jīng)濟(jì)平衡增長研究[J]．中國管理科學(xué), 2002，10(5): 39-41．

[19] 徐大舉, 劉家壯, 孔淑蘭．華氏宏觀經(jīng)濟(jì)模型的推廣[J]．中國管理科學(xué)，2003,11 (5): 16-19．

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[24] 吳文江, 袁儀方, 實(shí)用數(shù)學(xué)規(guī)劃[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 1993.

The Coordinated Development and Consistent ModelBetween Economic Growth and Carbon Emissions

LI Ai-hua, SU Jie, JIA Chuan-liang

(School of Management Science and Engineering, Central University of Finance and Economics,Beijing 100081，China)

Under the background of globalization, the future economic growth will more rely on the improvement of the system of science and technology innovation and technological progress. Therefore, the adjustment of economic growth and industrial structure can guarantee the stable economic development and at the same time to achieve a decrease in total carbon emissions. When the technology advance is invariant, which means there exists positive correlation between economic growth and carbon emissions, the carbon emission reduction model could be drawn from HUA’S economic growth and optimization model.The fractional programming model could be drawn from the coordinated development of economics growth with carbon emissions, and the method to solve the model is given. At the same time, the consistency between economic growth and carbon emission model could be concluded through the analysis of the relationship among economic growth rate, Frobenius root, consumption coefficient and carbon emission coefficient of consumption.The research result would help government to make decision for increasing economy and controlling carbon emissions at the same time.

positive feature vector; carbon emission; economic growth; consistency

2016-04-25；

2016-08-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71401188);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目

李愛華(1978-)，女(漢族)，山東人， 中央財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院副教授，研究方向：優(yōu)化決策、數(shù)據(jù)挖掘理論與應(yīng)用，E-mail:aihuali@cufe.edu.cn.

1003-207(2017)04-0001-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.001

C931

A