加法累數(shù)制與乘法累數(shù)制

文︳張新春

加法累數(shù)制與乘法累數(shù)制

文︳張新春

1.加法累數(shù)制與羅馬記數(shù)

先人們在利用刻痕記數(shù)時，會遇到“奈何姓萬”的麻煩。于是，在一次次的刻痕過程中，他們逐漸意識到可以用一些簡單的辦法來處理：刻到一定的數(shù)量后，為了表示比當(dāng)前刻的再多一個，不再用多刻一條的辦法了，而是改用一個新的符號表示。比如，為了表示10，不是在刻了9條后再刻1條，而是用一個新的記號X表示。當(dāng)然，20就用XX表示，而當(dāng)X累加到一定個數(shù)時（比如X個）后，又創(chuàng)造一個新的符號表示。這就是加法累數(shù)制度。

所謂加法累數(shù)制，是指這樣一種記數(shù)方法，它為每一個較高級的單位創(chuàng)造一個新的符號，而記錄多少個單位就把這個單位重復(fù)寫多少次（有時再配以適當(dāng)?shù)钠渌幚?，隨后將介紹）。由于創(chuàng)造了符號（比如用M表示1000），與簡單的刻痕記數(shù)相比，這種加法累數(shù)制的優(yōu)勢是明顯的：只要想想寫一個M與刻1000道刻痕的區(qū)別就知道了。羅馬記數(shù)就是典型的加法累數(shù)制。

羅馬記數(shù)于12世紀(jì)以前盛行于歐洲，今天某些特定的場合還在使用，比如與文件內(nèi)容、書籍章節(jié)等相關(guān)的序號。羅馬記數(shù)用一些拉丁大寫字母表示數(shù)目，下表中是基本的羅馬記數(shù)符號。

羅馬記數(shù)基本字符I V X L C D M相應(yīng)的阿拉伯?dāng)?shù)字表示1 5 10 50 100 500 1000

用V表示5，據(jù)說是因為V是一只手掌的形象（四指并攏，大拇指分開），字母X表示10，則是因為X是兩個V合起來。C是表示一百的拉丁語centum的第一個字母，而L則是由C的一半變形而得。M是千的拉丁語mille的第一個字母。

作為一種典型的加法累數(shù)制記數(shù)法，羅馬記數(shù)有“重復(fù)幾次”“左右加減”和“加橫線”等法則。

（1）“重復(fù)幾次”：若干個相同符號并排排列，等于各個符號所表示數(shù)相加的總和。比如，III表示3，XX表示20，CCC表示300等?！爸貜?fù)幾次”的法則是加法累數(shù)制記數(shù)法的基本特征。

（2）兩個不同符號并列，若右邊符號表示的數(shù)大于左邊符號表示的數(shù)，由“減法原則”即大減小的原則，表示大數(shù)與小數(shù)的差，比如，IV=5-1=4，IX=10-1=9。

（3）兩個不同符號并列，若右邊符號表示的數(shù)小于左邊符號表示的數(shù)，由“加法原則”即兩數(shù)相加的原則，表示大數(shù)與小數(shù)的和。比如，VII=5+1+ 1=7，XVI=10+5+1=16。

（4）在符號上加橫線，表示“1000倍”，比如，V=5×1000=5000。

像羅馬記數(shù)這樣的加法累數(shù)制記數(shù)法還是相當(dāng)笨拙的，一個簡單的數(shù)，寫起來會有一長串，比如，3888=MMMDCCCLXXXVIII。

另外，畢竟符號是有限的，要表示大數(shù)，會有更明顯的局限。更重要的是，羅馬記數(shù)的四則運算異常復(fù)雜，甚至一些基本的四則運算都只有專家才掌握。丹齊克先生在《數(shù)：科學(xué)的語言》一書中描述過一個關(guān)于15世紀(jì)一位德國商人送兒子求學(xué)的故事：“話說這位商人有一個兒子，他想使兒子學(xué)些高深的商業(yè)教育。于是他去求教大學(xué)里的一位名教授，該把兒子送到哪兒去念書。教授回答說：如果這位青年的數(shù)學(xué)課程將只限于加和減，他可以進(jìn)國內(nèi)的大學(xué)學(xué)習(xí)這些功課；至于乘和除，還是意大利最先進(jìn)。他認(rèn)為，只有到那里去才能得到那種高等的教育。”因此，這種記數(shù)法不得不退出歷史舞臺。

2.乘法累數(shù)制與中國記數(shù)

乘法累數(shù)制是將加法累數(shù)制中的重復(fù)幾次的辦法改為乘法。比如，500，借用羅馬記數(shù)的符號，不用把表示100的符號C重復(fù)寫5次（記作CCCCC），也不用發(fā)明一個新符號D表示500，只需把表示5的符號V和表示100的符號C寫在一起，即VC。這樣做即可避免重復(fù)。

中國的記數(shù)法是典型的乘法累數(shù)制。比如，4560，不用寫作“千千千千百百百百百十十十十十十”，也不需要發(fā)明表示4000、500、60等數(shù)的新符號，而只需記為“四千五百六十”。

顯然，乘法累數(shù)制也需要一些表示特定的數(shù)的符號（不然就成了“結(jié)繩記數(shù)”或“刻痕記數(shù)”了）。中國記數(shù)法使用十進(jìn)的乘法累數(shù)制。用以下13個字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬，就可以表示相當(dāng)大的數(shù)。《周髀算經(jīng)》中即有很多大數(shù)。比如，“從周南至日照處三十萬二千里，周北至日照處五十萬八千里，東西各三十九萬一千六百八十三里半”。這里的三十九萬一千六百八十三=39×10000＋1×1000＋6×100＋8× 10＋3。

而據(jù)考證，以上13個字早在甲骨文中就有了，只是寫法有些不同，大體如下圖所示。

其實，我們在小學(xué)數(shù)學(xué)里教學(xué)的“讀數(shù)”，就是把數(shù)寫成中國的乘法累數(shù)制。

乘法累數(shù)制也有一個規(guī)定多少個單位的問題。事實上，如果最大的單位只到“萬”，那么九千九百九十九萬九千九百九十九后面的一個自然數(shù)就應(yīng)該記作“一萬萬”，這樣數(shù)下去，還會出現(xiàn)“一萬萬萬”“一萬萬萬萬”……

對于萬以上的數(shù)，后來又增加一些新字，以表示更大的單位。如，《數(shù)術(shù)記遺》提出億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載等10種名稱。但有三種不同的進(jìn)位法：

1.十進(jìn)：十萬為億，十億為兆，十兆為京，……

2.萬萬進(jìn)：萬萬為億，萬萬億為兆，萬萬兆為京，……

3.自乘進(jìn)位：萬萬為億，億億為兆，兆兆為京，……

……

這種規(guī)定相當(dāng)繁瑣，又不統(tǒng)一，很容易弄錯，所以已被淘汰。現(xiàn)在只剩下“萬萬為億”還在使用。

數(shù)學(xué)教育的真功夫是對數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的把握，唯此才能成就好的數(shù)學(xué)課堂。湖南數(shù)學(xué)教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數(shù)學(xué)老師談心”，請關(guān)注。