初中數(shù)學(xué)問題“轉(zhuǎn)化”典例評(píng)析

沈志明 沈曉生

摘 要：常見一些學(xué)生接受知識(shí)的能力還算可以，但主動(dòng)獲取知識(shí)的能力則有所欠缺。學(xué)習(xí)上較為被動(dòng)的學(xué)生，究其原因，大都是遇問題時(shí)不善轉(zhuǎn)化，所學(xué)知識(shí)不能融會(huì)貫通。面對(duì)一個(gè)新問題時(shí)，沒有意識(shí)或沒有方法將問題轉(zhuǎn)化。學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，從某種意義上講，就是要學(xué)會(huì)“轉(zhuǎn)化”，學(xué)會(huì)在遇新問題時(shí)，能觸類旁通，能根據(jù)自己已有的知識(shí)，將問題一步步轉(zhuǎn)化，直至將新問題轉(zhuǎn)化為已解決問題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化；思想；幾何變換

轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)，就是在已有的簡單的具體的基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，把未知化為已知，把復(fù)雜化為簡單，把一般化為特殊，把抽象化為具體，把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問題。下面筆者就以上幾種情形，舉一些典型教學(xué)實(shí)例加以解釋。

一、 數(shù)（式）與數(shù)（式）的轉(zhuǎn)化

在解題中，我們常把某個(gè)式子看成一個(gè)新的未知數(shù)，進(jìn)行變量替換，這一思想方法，?？墒刮覀儗栴}化新為舊，化繁為簡，化難為易，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，使未解問題轉(zhuǎn)化為已解問題。

譬如，學(xué)會(huì)了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法a（m+n）=am+an，把（x+y）看成a，便得（x+y）（m+n）=（x+y）m+（x+y）n=xm+ym+xn+yn

從而把兩個(gè)多項(xiàng)式相乘問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘。

再如，掌握了解一元一次方程后，利用等式性質(zhì)可將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，二元一次方程組求解問題可通過“代入消元”或“加減消元”將多元轉(zhuǎn)化成一元。學(xué)完一元二次方程，再遇高次方程或無理方程時(shí)，只需作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，即可將高次方程、無理方程轉(zhuǎn)化為解一次或二次方程，有了變?cè)枷?，甚至今后遇解指?shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程時(shí)，均能有化新為舊的方法。事實(shí)上，只要所遇方程可化為

a[f（x）]2+bf（x）+c=0的形式，都能通過換元轉(zhuǎn)化為解一元二次方程的問題。

二、 借助幾何變換的轉(zhuǎn)化

利用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換，也是實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的有效方法。

問題1：如圖，已知：P是直線a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在a的什么位置時(shí)，AP與BP的和最小？

分析：利用直線反射變換得PB=PB′，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P在a的什么位置時(shí)，AP與PB′的和最小，由兩點(diǎn)之間線段最短，顯然連A、B′交直線a于點(diǎn)P時(shí)，AP與PB和最小。

問題2：如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA，OB上且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是 。

分析：本題有一定的創(chuàng)新，它由問題1兩次迭加而成，正由于它形式的新穎，許多考生考試時(shí)一頭霧水：求兩條線段和的最小值我懂，三條線段和最小值問題咋弄呢？百思不得其解。事實(shí)上，只要把原問題分解為兩個(gè)小問題，便可化新為舊。利用直線反射變換先求出PQ+QN的最小值PN′，把問題轉(zhuǎn)化為求MP+PN′的最小值M′N′。

問題3：已知△ABC是正三角形，P是形外一點(diǎn)。求證：PB+PC≥PA。

分析：PB、PC、PA分布過于分散，可考慮用旋轉(zhuǎn)變換將分散線段集中于同一三角形中。證明：以B為中心，將△CBP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ABD。①若P在△ABC外接圓上，由∠BPA=60°，則D落在AP上，此時(shí)有PB+PC=PD+DA=PA。②若P不在△ABC外接圓上連DP，由∠PBD=60°，PB=BD有PD=DB=PB，故PB+PC=PD+DA>PA。綜上，PB+PC≥PA

對(duì)于圖形具有等邊特性的命題，可考慮用旋轉(zhuǎn)變換改變?cè)匚恢?，轉(zhuǎn)化命題條件，從而達(dá)到證題目的。尤其旋轉(zhuǎn)60°可得正三角形，旋轉(zhuǎn)90°可得等腰直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，屢見于近年數(shù)學(xué)中考試卷上。

三、 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

如圖直線y1=kx+b，過點(diǎn)A（02）且與直線y2=mx交于點(diǎn)P（1m），則不等式mx>kx+b的解集是 。

分析：兩直線的交點(diǎn)等價(jià)于二元一次方程組的解，求不等式的解集可轉(zhuǎn)化為兩直線的交點(diǎn)的左右兩側(cè)那個(gè)圖象在上或下。

有時(shí)，特殊化也是數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化問題的重要手法。當(dāng)直接解決一個(gè)問題有困難時(shí)，我們可以先考慮其特殊情形，然后再設(shè)法解決一般的問題。因?yàn)樘厥馇闆r下往往容易獲得結(jié)論。譬如圓周角的定理的證明，如果從圓心在角的一邊上這一特殊情況入手，不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。而后，無論圓心落在圓周角之內(nèi)，還是在圓周角之外，只需作合適的直徑，就可轉(zhuǎn)化為圓心落在圓周角的一邊上的特殊情形，從而使命題順利得證。

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，解題靈感可產(chǎn)生于已知條件的轉(zhuǎn)化與結(jié)論的化歸，可產(chǎn)生于數(shù)形結(jié)合后的思考，也可產(chǎn)生于變更問題思路后的頓悟?？傊?，數(shù)學(xué)解題成功很大程度上講，就是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的成功轉(zhuǎn)化。

作者簡介：沈志明，福建省漳州市，福建省詔安一中；

沈曉生，福建省漳州市，福建省詔安縣懷恩中學(xué)。