從1+1=2走向1+1>2

從“教材解讀”到“教學(xué)設(shè)計(jì)”，再到“課堂實(shí)踐”，是一線數(shù)學(xué)教師追求課堂教學(xué)長(zhǎng)效、達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的有效途徑。其中，教材解讀是起點(diǎn)和基礎(chǔ)，教學(xué)設(shè)計(jì)是支點(diǎn)和關(guān)鍵，課堂實(shí)踐是終點(diǎn)和歸宿。從中可以看出，課堂教學(xué)成敗的源頭在教材解讀。事實(shí)上，每一課時(shí)的教學(xué)素材都是由幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的素材組成的，從系統(tǒng)論角度看，整體素材可以用分解的方式進(jìn)行局部解讀，通過(guò)對(duì)局部素材的深度解讀，最終達(dá)成超預(yù)期的整體實(shí)踐效果。如果把課時(shí)整體解讀效果看作1+1=2，那么課時(shí)局部解讀力圖達(dá)成的目標(biāo)就是1+1 >2。下面，筆者就按照蘇科版教材一個(gè)課時(shí)中素材出現(xiàn)的先后次序，針對(duì)每一板塊來(lái)談?wù)勥M(jìn)行局部解讀的有效方法。

一、知識(shí)產(chǎn)生情境素材的解讀

每一課時(shí)的開始，教材一般會(huì)給出“知識(shí)產(chǎn)生的情境素材”。情境是一種以激發(fā)學(xué)生問題意識(shí)為價(jià)值取向的、刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息，是讓學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境、產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件。情境素材主要有兩類，一類是基于學(xué)生“生活現(xiàn)實(shí)”的生活情境，一類是基于學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的數(shù)學(xué)情境。生活情境素材既有數(shù)學(xué)的成分，又有非數(shù)學(xué)的信息，主要的解讀方法就是從情境中先提取數(shù)學(xué)信息，后提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，把“應(yīng)用型初始問題”作為課堂教學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的“敲門磚”，體現(xiàn)“生活實(shí)際問題，抽象數(shù)學(xué)知識(shí)，演繹數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題”中“抽象”的基本思想，又體現(xiàn)“生活—數(shù)學(xué)—生活”中“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”的基本規(guī)律，即“生活情境素材要數(shù)學(xué)問題化”。數(shù)學(xué)情境素材的主要解讀方法，就是找到新知的源頭，把“結(jié)構(gòu)型初始問題”作為邏輯起點(diǎn)，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在邏輯順序、數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系”的知識(shí)關(guān)聯(lián)，即“數(shù)學(xué)情境素材要邏輯關(guān)聯(lián)化”。

知識(shí)產(chǎn)生情境素材的解讀，本質(zhì)要指向“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。如七（上）第2章有理數(shù)中“2.6 有理數(shù)的乘法與除法”（蘇科版，以下素材全部出自蘇科版國(guó)標(biāo)教材，不再一一注明），開篇就采用“在水文觀測(cè)中，常遇到水位的上升與下降問題”的生活情境。學(xué)生對(duì)于這個(gè)情境，一是有日常的生活經(jīng)驗(yàn)，二是有前面正數(shù)與負(fù)數(shù)意義的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，所以，很容易形成基于生活現(xiàn)實(shí)就可以解決的系列問題。解讀第一步，生活問題經(jīng)驗(yàn)解決：“如果水位每天上升4cm，那么1天后、2天后、3天后……，水位上升了多少cm？3天后的水位比今天高/低多少cm？1天前、2天前、3天前……，水位比今天高/低多少cm？”“如果水位每天下降4cm……”“你還能提出什么問題？”解讀第二步：生活問題數(shù)學(xué)抽象化?！耙?guī)定水位上升為正，水位下降為負(fù)，幾天后為正？幾天前為負(fù)？”解讀第三步，數(shù)學(xué)問題指向主題：有了這些數(shù)學(xué)規(guī)定，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，在眾多問題中，最后指向本課研究的有理數(shù)乘法問題。

二、知識(shí)形成發(fā)展素材的解讀

在每一課時(shí)的中段，教材一般會(huì)給出“知識(shí)形成發(fā)展素材”。這些素材包括概念、法則、公式、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知識(shí)，它們組成了數(shù)學(xué)這座大廈的基本框架。這些數(shù)學(xué)知識(shí)在教材中或隱或顯，從解讀的視角看，首先要讀出顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)，其次要找到這些知識(shí)隱性的數(shù)學(xué)本質(zhì)，最后要將已有知識(shí)、新學(xué)知識(shí)與將學(xué)知識(shí)形成知識(shí)體系和邏輯結(jié)構(gòu)。在知識(shí)形成、發(fā)展素材中，教材也會(huì)設(shè)置一些引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的欄目，如“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“課題學(xué)習(xí)”“議一議”“想一想”“試一試”“做一做”“讀一讀”等，其目的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“做”，感受數(shù)學(xué)，探索知識(shí)，解決問題。這些素材和呈現(xiàn)方式主要是讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成、發(fā)展過(guò)程。因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，不斷進(jìn)行思維投入、知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，只有“活動(dòng)”與“過(guò)程”才能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、獲得思想方法、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。一句話概括就是，“知識(shí)形成發(fā)展素材要數(shù)學(xué)問題化、問題活動(dòng)化、活動(dòng)過(guò)程化”。

知識(shí)形成發(fā)展素材的解讀，本質(zhì)要指向“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。如八（上）第4章實(shí)數(shù)中“ 4.1平方根”，教材呈現(xiàn)了“格點(diǎn)矩形計(jì)算對(duì)角線長(zhǎng)的情境，從中析出的數(shù)學(xué)問題就是已知冪與指數(shù)求底數(shù)的問題；進(jìn)而抽象出平方根的概念及內(nèi)涵解析；在引出開平方概念后，利用開平方求平方根”三部分素材。該如何解讀教材上這個(gè)知識(shí)的形成發(fā)展過(guò)程呢？教師直接利用教材的數(shù)學(xué)情境引入未嘗不可，但沒有體現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的源頭和知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)?？紤]到“平方根、開平方”處于整個(gè)知識(shí)鏈實(shí)數(shù)中“數(shù)”與“運(yùn)算”的中段位置，可以用“數(shù)的發(fā)展”與“運(yùn)算完備”作為引入問題，在此基礎(chǔ)上，教師通過(guò)生活與數(shù)學(xué)的例子，先解決已知底數(shù)和指數(shù)求冪的乘方問題，因?yàn)閷W(xué)生已學(xué)乘方，因此可以全部解決；再展示生活與數(shù)學(xué)中已知冪和指數(shù)求底數(shù)的問題，發(fā)現(xiàn)特殊的冪（完全平方數(shù)）和特殊的指數(shù)2可以求出底數(shù)（正負(fù)兩個(gè)），而一般的冪（不是完全平方數(shù)）和指數(shù)2無(wú)法求出底數(shù)，引起學(xué)生認(rèn)識(shí)沖突，感受學(xué)習(xí)新知的必要性。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)特殊到一般的歸納，引出平方根的定義，并解析出平方根有正負(fù)兩個(gè)的內(nèi)涵，一旦平方根概念形成，開平方概念的形成和發(fā)展就水到渠成了。

三、知識(shí)運(yùn)用應(yīng)用素材的解讀

在每一課時(shí)的后段，教材一般會(huì)給出“知識(shí)運(yùn)用應(yīng)用素材”。教材中每節(jié)教學(xué)內(nèi)容里面，一定會(huì)有相應(yīng)的例題和習(xí)題。這些素材包括運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，有的應(yīng)用素材放在最后幾課時(shí)組成的一條知識(shí)鏈中，集中呈現(xiàn)。例題和習(xí)題等素材是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能、發(fā)展思維能力、形成應(yīng)用意識(shí)的重要途徑。教師在解讀知識(shí)、運(yùn)用素材時(shí)，除了解讀出必知的基礎(chǔ)知識(shí)和必備的基本技能以外，更重要的是以此為素材進(jìn)行二度開發(fā)，對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?、引申、拓展，挖掘出這些資源的潛能，解讀出解決這些數(shù)學(xué)問題的思想方法，并通過(guò)問題解決培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

無(wú)論是對(duì)放在每一課時(shí)最后的應(yīng)用素材，還是對(duì)新知形成發(fā)展后集中放在一起的應(yīng)用素材，教師在解讀時(shí)都要注意：解決實(shí)際問題本身是目的，但更重要的，目光應(yīng)放在解決實(shí)際問題的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，形成數(shù)學(xué)方法，尋找數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而完成“數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，再回到生活中去”的循環(huán)，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，進(jìn)而讓學(xué)生形成必要的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。一句話概括就是，“知識(shí)運(yùn)用應(yīng)用素材要方法化、模型化”。

知識(shí)運(yùn)用應(yīng)用素材的解讀，本質(zhì)要指向“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。如七（下）第10章二元一次方程組中“10.5用二元一次方程組解決問題”，就屬于集中應(yīng)用素材呈現(xiàn)的情況。教材呈現(xiàn)了“問題1.國(guó)慶長(zhǎng)假期間，某旅行社接待1日游和3日游的旅客共2200人，收旅游費(fèi)200萬(wàn)元，其中1日游每人收費(fèi)200元，3日游每人收費(fèi)1500元。該旅行社接待的1日游和3日游旅客各有多少人？”這個(gè)問題。實(shí)際上，代數(shù)類“用……解決問題”的每一課時(shí)的素材，都是一個(gè)實(shí)際問題。一些教師往往會(huì)選擇增加同類的2～3個(gè)例子這樣的簡(jiǎn)單化操作，作為整課教學(xué)素材的解讀，這實(shí)際上是題海戰(zhàn)術(shù)思想的具體體現(xiàn)，非常不可取。因?yàn)榫退氵x擇再多的例子，也無(wú)非是同一水平線上的重復(fù)，必要的反復(fù)是強(qiáng)調(diào)，過(guò)分的反復(fù)是多余，題目的疊加并不會(huì)提高學(xué)生的建模水平和解決問題的能力。而正確的材料解讀方法應(yīng)該是以這個(gè)問題為基本研究素材：1.提取問題中已知的數(shù)學(xué)信息（總?cè)藬?shù)2200人、總費(fèi)用200萬(wàn)元、1日游每人200元、3日游每人1500元）和未知（1日游的人數(shù)、3日游的人數(shù)），找到已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系（1日游的人數(shù)+3日游的人數(shù)=2200人，1日游的費(fèi)用+3日游的費(fèi)用=2000000元），未知量用字母（x、y）來(lái)表示，找到對(duì)應(yīng)量的代數(shù)式（200x、1500y），把數(shù)量關(guān)系符號(hào)化表示成方程（x+y=2200，200x+1500y=2000000），最后是解方程（x=1000，y=1200）、檢驗(yàn)和作答。這樣就把一個(gè)整體問題分解成若干個(gè)局部小問題，實(shí)際上也完成了用二元一次方程組解決問題基本步驟的歸納，那就是“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”。2.對(duì)整個(gè)解題過(guò)程從宏觀上加以回顧與總結(jié)，就可以得到“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)化—數(shù)學(xué)問題（二元一次方程組）—數(shù)學(xué)的解—檢驗(yàn)—實(shí)際問題的解”的建模過(guò)程。3.對(duì)原題進(jìn)行變式，改變題目數(shù)據(jù)或改變情境素材，加強(qiáng)對(duì)解題步驟和建模過(guò)程（本質(zhì)）的理解。4.可以再舉一個(gè)“形變而實(shí)不變”的例子加以練習(xí)和鞏固。5.還可以在上述獲得的二元一次方程組的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己編制符合實(shí)際的問題，此時(shí)的“百花齊放”才能讓學(xué)生真正感悟“數(shù)學(xué)模型”在解決實(shí)際問題過(guò)程中的巨大作用。

無(wú)論是1+1=2的課時(shí)整體解讀，還是1+1>2的課時(shí)局部解讀，都是為了教學(xué)設(shè)計(jì)的最優(yōu)化，進(jìn)而取得課堂教學(xué)優(yōu)效、長(zhǎng)效，達(dá)成數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)——數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。因?yàn)檎n堂教學(xué)是一線教師最應(yīng)該堅(jiān)守的永恒陣地，所以教材解讀就必然是一線教師最值得探索的研究領(lǐng)域。愿有更多的數(shù)學(xué)同仁加入到數(shù)學(xué)教材解讀研究的行列中來(lái)，更希望看到基于教材解讀下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既有眼前的執(zhí)著，又有“詩(shī)”和“遠(yuǎn)方”！

本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃專項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)教材（點(diǎn)全·線聯(lián)·面融）式課時(shí)解讀的實(shí)踐研究”研究成果之一（課題立項(xiàng)號(hào)E-c/2015/26）