四版本高中數(shù)學教材“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容比較研究

摘 要：以教材中“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容為研究對象，對中國大陸、日本、中國臺灣三個地區(qū)四個版本高中數(shù)學教材進行比較研究。通過研究，得到以下結論：（1）在知識點數(shù)量上，臺灣教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知識點最少。（2）除臺灣教材外，另三種教材都是概率的內(nèi)容多于統(tǒng)計內(nèi)容。（3）從四種教材對知識點的處理看，中國教材更追求定義的嚴格性，日本教材比較注重數(shù)學科學內(nèi)部知識的聯(lián)系，強調(diào)數(shù)學是一個整體。

關鍵詞：數(shù)學教材；統(tǒng)計與概率；比較研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）35-0018-05

一、引言

統(tǒng)計與概率的基礎知識已經(jīng)逐漸成為一個未來公民的必備常識。從我國數(shù)學教育改革的趨勢來看，對“統(tǒng)計與概率”的重視逐步加強。1996年大綱的選修部分首次引入；2000年，以古典概率概念為考點，統(tǒng)計學正式進入我國高考數(shù)學試題考察范圍； 2004年新課程改革進一步強調(diào)了對中學概率統(tǒng)計知識的重視；直到今年提出的六大數(shù)學學科素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，將統(tǒng)計意識推向新高度。

從國際數(shù)學教育改革的趨勢來看，“統(tǒng)計與概率”在各國中小學數(shù)學教學內(nèi)容中占據(jù)的地位同樣越來越重要。以《美國州際核心數(shù)學課程標準》（2010）為例，其高中數(shù)學部分包括的“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容有：解釋分類數(shù)據(jù)和量化數(shù)據(jù)；做出統(tǒng)計推斷，說明結論的合理性；條件概率和概率的計算法則；用概率做決策。再如國際上著名的TIMSS測試、PISA測試，它們的內(nèi)容測試框架中都包含了“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容。如PISA（2015）測試中的第二部分——數(shù)學內(nèi)容知識，包含了變化與關系、空間與圖形、數(shù)量、不確定性和數(shù)據(jù)。依據(jù)國際國內(nèi)對數(shù)據(jù)分析技術依賴程度與日俱增的學科現(xiàn)象，筆者預見“統(tǒng)計與概率”知識在基礎教育中的受重視程度還會繼續(xù)增加。

近年來，中小學數(shù)學教材的比較研究已成為數(shù)學教育研究的一個熱點。然而多數(shù)研究都集中在代數(shù)、幾何、三角、向量和微積分等方面，針對“統(tǒng)計與概率”部分的研究成果相對少得多。而“統(tǒng)計與概率”作為我國新課程改革中變化較大的內(nèi)容之一，同時其思維方式又和傳統(tǒng)的代數(shù)、幾何等內(nèi)容有所不同，是數(shù)學教育研究中需要給予更多關注的一個知識領域。因此，本研究以中國大陸、日本、中國臺灣三個地區(qū)四種教材版本（原人教版、人教A版、日本數(shù)研版和臺灣南一版）的“統(tǒng)計與概率”知識體系作為研究對象，希望能為教材編寫、教師備課提供一些參考。

二、研究對象及內(nèi)容

為了從時間和空間縱橫兩方面動態(tài)展示我國大陸地區(qū)數(shù)學教材的特點，筆者確定了表1中所列的四種教材。

表1 教材樣本及基本信息

（一）四種教材統(tǒng)計概率部分知識廣度的比較

筆者整理四種教材關于“統(tǒng)計與概率”知識體系構成如表2（“+”表示有此知識點，“—”表示無此知識點）。（見附表）

就高中數(shù)學而言，概率論知識有：概率及其基本性質(zhì)、隨機變量及其分布，隨機變量的數(shù)字特征、條件概率和一些常見的概率分布等。統(tǒng)計知識分為收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)兩方面，前者是抽樣調(diào)查，包括隨機抽樣方法等內(nèi)容；后者是統(tǒng)計推斷，包括估計、假設檢驗、相關分析、回歸分析等。

從表2可以看出，粗略整理四版教材共涵蓋46個知識點。從知識點數(shù)量上看，中國臺灣高中數(shù)學教材包含的知識點數(shù)量最多，達38個；其次是人教A版教材，有33個，然后是日本高中數(shù)學教材，涉及的知識點數(shù)量為31個，最少的是原人教版，僅有25個知識點。此外，筆者計算各教材關于統(tǒng)計與概率兩部分各自所占的比重如圖1的所示：

圖1 四種教材中知識點“概率”和“統(tǒng)計”各占的比重

從四種教材中統(tǒng)計、概率各自的知識點數(shù)量來看，人教A版中統(tǒng)計、概率知識點數(shù)量分別為19、14；原人教版中統(tǒng)計、概率知識點數(shù)量分別為12、13；日本教材中統(tǒng)計、概率知識點數(shù)量分別為18、13；臺灣教材中統(tǒng)計、概率知識點數(shù)量分別為19、19。除臺灣教材外，其余三種教材的傾向是一致的，就知識條目而言重視概率超過統(tǒng)計，臺灣教材統(tǒng)計和概率各占一半。由圖1可知，日本教材中統(tǒng)計和概率的知識點各自所占比例分別為41.94%、58.06%，相比中國教材，日本教材更重視概率。比較中國大陸的兩種教材知識覆蓋角度上可以發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計部分雖然在知識點的數(shù)量上有所增加，所占比例卻減少了。當然，這不完全代表教學實踐的力度。

為進一步比較四種教材的不同之處，我們統(tǒng)計了四種教材具體知識點的差異，詳見表3。

依據(jù)表3可以發(fā)現(xiàn)日本教材和臺灣教材在內(nèi)容上是比較接近的。大陸教材中有些獨有內(nèi)容，如系統(tǒng)抽樣、幾何概型、超幾何分布、假設檢驗等，其他兩種教材都沒有涉及；而日本教材和臺灣教材都包括的如標準正態(tài)分布、連續(xù)性隨機變量的概率密度函數(shù)、隨機變量的和與積、樣本空間等內(nèi)容則大陸教材未涉及。

表3 四種教材知識點異同的總結

說明：表中的“T→ZA”表示臺灣教材有，而人教A版教材沒有的知識點，其它類似。

A版和原人教版教材相比，首先在知識點數(shù)量上有所增加。進一步，從知識體系的建立過程比較，原人教版在“統(tǒng)計與概率”部分知識的順序是“概率→概率→統(tǒng)計”，人教A版的順序是“統(tǒng)計→概率→概率→統(tǒng)計”——這是兩個版本教材非常顯著的一個變化，筆者分析認為這是教材和課堂教學隨著“生本”理念推行所做的改進——統(tǒng)計學知識內(nèi)容更貼近學生的生活實際，更有助于教學過程的導入和輸出——既利于學生接受教材，又便于促進學生從書本回歸實際應用。

（二）四種教材在知識點細節(jié)處理上的比較

從教材的具體內(nèi)容來看，大陸教材對有些知識僅僅列出名稱簡單加以介紹而已。如“二項分布”，A版教材用了3頁來介紹，和原人教版相比，內(nèi)容豐富了一些；臺灣教材則用了整整一節(jié)詳細討論，并利用Excel來對二項分布的性質(zhì)做了非常細致的討論；日本教材討論的內(nèi)容和中國教材基本一致，只不過在正態(tài)分布一節(jié)討論了二項分布與正態(tài)分布的關系。大陸的兩種教材對一些重要卻比較難的內(nèi)容都沒有介紹，如大數(shù)定律、中心極限定理、貝葉斯公式。

從內(nèi)容表述看，日本教材比較注重數(shù)學科學內(nèi)部知識的聯(lián)系，更強調(diào)數(shù)學知識是一個整體，這和其課程目標中提到的“通過數(shù)學活動，加深對數(shù)學基本概念、原理、法則體系的理解”是一致的。下面以“隨機抽樣”和“數(shù)據(jù)分析”兩種分內(nèi)容為例具體討論。

1.隨機抽樣

在“隨機抽樣”這一內(nèi)容的處理上，四種教材有著較大的差異

首先，人教A版教材中，隨機抽樣的內(nèi)容是放在必修部分的，而在中國臺灣教材、原人教版和日本教材中，這一部分內(nèi)容是放在選修教材中的。

其次，從四種教材介紹的內(nèi)容看。中國的兩種教材都分別介紹了三種隨機抽樣方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)隨機抽樣、分層隨機抽樣。中國臺灣教材在介紹總體和樣本后，介紹了非概率抽樣法、簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣。日本教材對此部分涉及的內(nèi)容最少，在介紹總體和樣本的定義后，只通過一個實例介紹了隨機數(shù)表法。

最后，從四種教材的處理方式來看，大陸教材對隨機抽樣這一內(nèi)容非常重視，A版教材和原人教版都專門用了一節(jié)內(nèi)容來詳細討論了三種隨機抽樣方法。對于每一種抽樣方法都給出了比較嚴格的定義，并給出實例。相比而言，原人教版更追求概念的嚴格性，比如在介紹系統(tǒng)抽樣時，A版教材是通過實例來說明什么樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣。原人教版則給出了較明確的定義：“將總體分為幾個部分，然后按照預先給定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需的樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣”。再通過例子來介紹系統(tǒng)抽樣的操作過程，然后指出了系統(tǒng)抽樣和簡單隨機抽樣的聯(lián)系。在介紹完分層抽樣后，兩種大陸教材之間同樣存在一些變動——人教A版是讓學生通過探究的形式，比較3種隨機抽樣方法的特點及適用范圍，而原人教版則是直接列表總結了三種抽樣方法的各自的特點、共同點及適用范圍。但兩種教材都沒有進一步介紹對樣本統(tǒng)計量分布的處理，如樣本均值的分布。

日本教材在簡單的介紹隨機數(shù)表抽樣法后，還討論了樣本均值的分布。臺灣教材樣本處理細致程度介于二者之間，先介紹非概率抽樣方法，以此引入概率抽樣法（簡單隨機抽樣，分層隨機抽樣），然后通過實例討論了簡單隨機抽樣法和分層抽樣法的特點，最后還介紹了隨機數(shù)表。

2.數(shù)據(jù)分析

統(tǒng)計學主要包括兩部分，收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。在得到數(shù)據(jù)后，就要對數(shù)據(jù)進行處理。樣本數(shù)據(jù)可進行單變量（描述性統(tǒng)計量）與多變量分析（相關性分析）。

首先，從四種教材涉及的內(nèi)容看，臺灣教材的內(nèi)容是最多的，主要有：算術平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差、數(shù)據(jù)的標準化；散點圖、相關系數(shù)、最小二乘法、回歸直線。日本教材主要內(nèi)容有：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差、四分位數(shù)和箱線圖；散點圖、相關關系、相關系數(shù)。A版教材主要有：直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差；散點圖、線性相關、最小二乘法、回歸直線。就這一部分而言，從內(nèi)容上看臺灣教材和大陸教材是比較接近的，只是內(nèi)容比大陸教材更為深入一些。

其次，從四種教材對內(nèi)容的處理方式來看， A版教材用了2節(jié)分別來介紹這兩部分內(nèi)容。首先介紹了利用樣本的頻率分布估計總體分布和用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、眾數(shù)、方差等）估計總體的數(shù)字特征，并未引入極限定理、置信區(qū)間等內(nèi)容來說明怎樣對“樣本估計總體”的可接受性作出判斷。教材也僅從感性經(jīng)驗說，“可以用樣本平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)和標準差，只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的?！钡@個“好”的標準是什么，怎樣去刻畫？教材則沒有提及。接著另用一節(jié)內(nèi)容討論了“兩個變量的線性相關”。原人教版涉及的內(nèi)容最少，先介紹了“用樣本頻率去估計總體分布”，然后介紹了線性回歸分析的內(nèi)容。

日本教材、中國臺灣教材都專門用了一章來討論，日本教材用了21頁，臺灣教材則用了44頁。日本教材先介紹了一些描述性統(tǒng)計量，如均值、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差等，然后討論了兩變量之間的相關關系，最后介紹了用Excel來計算這些描述性統(tǒng)計量和相關系數(shù)。臺灣教材的處理與此接近，在介紹了單變量數(shù)據(jù)分析的描述性統(tǒng)計量后，討論了雙變量數(shù)據(jù)分析，利用最小二乘法計算回歸直線，最后和日本教材一樣介紹了利用Excel計算一些描述性統(tǒng)計量。

三、結論與建議

（一）結論

通過對原人教版、人教A版、日本數(shù)研版和臺灣南一版高中數(shù)學教材中“統(tǒng)計與概率”的比較研究，得出了以下結論：

1.在知識點數(shù)量上，臺灣教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知識點是最少的。人教A版較原人教版而言，從內(nèi)容到形式都有所改進。從教材選擇的內(nèi)容看，臺灣教材涉及的統(tǒng)計概率知識面也是最廣的，其次是日本教材。

2.除臺灣教材外，另三種教材都是概率的內(nèi)容多于統(tǒng)計內(nèi)容。從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容來看，日本教材和臺灣教材比較接近。人教A版較原人教版而言，統(tǒng)計概率的知識點數(shù)量都有所增加，但統(tǒng)計知識點數(shù)量增加的幅度比概率部分小。

3.從四種教材對知識點的具體處理來看，大陸教材對有些知識點僅列出名稱簡單的介紹，如正態(tài)分布、二項分布；對知識點的處理上，大陸教材更追求定義的嚴格性，日本教材則比較注重數(shù)學科學內(nèi)部知識的聯(lián)系，強調(diào)數(shù)學是一個整體。

（二）建議

1.知識點的安排應當注意知識體系的連續(xù)性和整體性

統(tǒng)計概率的內(nèi)容不是孤立存在的，數(shù)學的各個分支是一個不可分割的有機整體，使用著相同的邏輯工具，存在的概念間的親緣關系。弗賴登塔爾也多次強調(diào)，不要教孤立的片斷，要教連貫的材料，因為有聯(lián)系的事物學得快，記得牢。然而在我國目前的實際教學和教材編寫過程中常將數(shù)學按學科分支領域或模塊劃分，將統(tǒng)計概率作為獨立的內(nèi)容。

2.加強與現(xiàn)實生活的聯(lián)系

我國“統(tǒng)計與概率”非常注重對統(tǒng)計過程的體驗和統(tǒng)計思想方法的理解，相對忽視了“統(tǒng)計與概率”思想在現(xiàn)實生活中的應用，教材中仍然存在應試教育體制遺留的種種缺陷。數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并應用于現(xiàn)實?，F(xiàn)實的數(shù)學除了不同學科之間的聯(lián)系外，還要考慮與現(xiàn)實世界的聯(lián)系?！敖y(tǒng)計與概率”作為數(shù)學中應用性較強的內(nèi)容，更應該聯(lián)系“生本”的實際生活來促進學生的學習，加強學生的應用意識，這樣學生才有可能利用所學知識去分析和解決實際問題。

3.引入數(shù)字化應用程序

如前面提及的，日本教材和臺灣教材都專門用了相關材料來介紹怎樣利用統(tǒng)計軟件計算一些描述性統(tǒng)計量，如均值、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差以及回歸直線、相關系數(shù)等的計算。在中國教材中，除了介紹利用科學計算器計算一些描述性統(tǒng)計量和在“變量間的相關關系”一節(jié)中簡單介紹了利用Excel來計算回歸直線外，對于計算機其它更重要的作用沒有涉及。

實際上，在“統(tǒng)計與概率”的教學過程中，計算機的使用是很有益的，除了作為計算工具，更重要的是利用計算機進行模擬實驗，可以幫助學生將概念可視化、可操作化，通過計算機模擬來發(fā)展學生對抽象概念的理解。以蒲豐投針為例，這樣的實驗完全可以通過計算機模擬來實現(xiàn)，而不是讓學生分組試驗，把大量的時間花在觀測重復的投針活動中。

【責任編輯 馮夢陽】