橢圓中的熱點(diǎn)題型

■甘肅秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

題型一：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓焦點(diǎn)位置與x2,y2系數(shù)間的關(guān)系:給出橢圓方程=1時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?m＞n＞0;橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?0＜m＜n。

若點(diǎn)P為橢圓C1(a＞b＞0)上一點(diǎn),F1,F2為橢圓C的兩焦點(diǎn),由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a。

已知橢圓=1(a＞b＞0)的左右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,AB是過C的焦點(diǎn)F1的弦,△F2AB的周長是20,橢圓C的離心率為e=,則橢圓C的方程為_____。

解：由已知及橢圓的定義可得:

△F2AB的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20,所以a=5。

又離心率e=,所以c=4,b2=a2-c2=9。

所以橢圓C的方程為=1。

題型二：橢圓的幾何性質(zhì)

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì),此類問題一般有兩類:一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率;另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍。無論是哪類問題,關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式),轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式。

已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a＞b＞0),它的左焦點(diǎn)F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對稱點(diǎn)P在橢圓上,則橢圓的離心率是( )。

解：設(shè)焦點(diǎn)F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對稱點(diǎn)為P(m,n)。

整理得,4e6+e2-1=0,將各選項(xiàng)代入知e=符合,故答案為D。

題型三：直線與橢圓的位置關(guān)系

判斷直線與橢圓的位置關(guān)系可使用代數(shù)法,即通過方程研究,先將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù)y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一個(gè)一元二次方程。由于該一元二次方程有無實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解與方程組的解的個(gè)數(shù)相對應(yīng),故可利用一元二次方程根的判別式Δ進(jìn)行分析,根據(jù)Δ＞0,Δ＜0還是Δ=0即可判斷方程組解的個(gè)數(shù),從而得出直線與橢圓的交點(diǎn)情況。

求橢圓弦長的方法:聯(lián)立直線與橢圓的方程,消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程,利用弦長公式:|P1P2|=,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長。

解決橢圓的中點(diǎn)弦問題有兩種方法:法一是把直線的方程和橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù),利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決;法二是點(diǎn)差法,設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,整體作差,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答。

已知橢圓C=1(a＞b＞0),右焦點(diǎn)為F(c,0),A(0,2),且|AF|=,橢圓的離心率為。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,當(dāng)直線l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)M時(shí),作OH⊥l于H(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若|MH|=|OM|,求k的值。

解：(1)因?yàn)閨AF|=c2+4=7,所以c=。又,故a=2,b2=a2-c2=1。

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1。

(2)設(shè)M(x0,y0),由意題知|OH|=|OM|。

題型四：橢圓中的定值問題

橢圓中的定值問題常見類型及解題策略:

(1)求代數(shù)式為定值問題。依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式,化簡即可得出定值。

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值問題。利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的關(guān)系式,再利用題設(shè)條件化簡,變形求得。

(3)求某線段長度為定值問題。利用長度公式求得關(guān)系式,再依據(jù)條件對關(guān)系式進(jìn)行化簡、變形即可求得。

定值問題必然是在變化中所表示出來的不變的量,常表現(xiàn)為求一些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等的定值。解決此類問題常從特征入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān)。

已知橢圓Γ=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),橢圓Γ的左,右頂點(diǎn)分別為M,N。過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),且△MCD的面積是△NCD的面積的3倍。

(Ⅰ)求橢圓Γ的方程;

(Ⅱ)若CD與x軸垂直,A,B是橢圓Γ上位于直線CD兩側(cè)的動點(diǎn),且滿足∠ACD=∠BCD,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由。

解：(Ⅰ)因?yàn)椤鱉CD的面積是△NCD的面積的3倍,所以MF=3NF,即a+c=3(a-c),所以a=2c=2,b2=3。

故橢圓Γ的方程為=1。

(Ⅱ)∠ACD=∠BCD,則kAC+kBC=0。

設(shè)直線AC的斜率為k,則直線BC的斜率為-k。

不妨設(shè)點(diǎn)C在x軸上方,C,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AC的直線方程為y-=k(x-1),代入=1中整理得:

故kAB=因此直線AB的斜率是定值。