高中物理碰撞模型研究

王祥委+++++段娟娟+++++彭朝陽

摘要：在高中物理的學(xué)習(xí)中，碰撞問題既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)又是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。碰撞涉及動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理以及運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。本文從碰撞的特點(diǎn)入手，分析碰撞問題的三個(gè)核心要素，對(duì)碰撞問題進(jìn)行分類，證明完全非彈性碰撞動(dòng)能損失最大，建立并分析動(dòng)碰靜模型及其應(yīng)用，并對(duì)碰撞的三個(gè)推論進(jìn)行論證。

關(guān)鍵詞：碰撞特點(diǎn)；碰撞核心要素；碰撞分類；動(dòng)碰靜模型；碰撞推論

物理學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行科學(xué)的分析，通過科學(xué)的分析得到可靠的理論再將理論運(yùn)用于解決物理模型 。對(duì)物理學(xué)的模型分析需要建立在科學(xué)的分析方法和遵守物理基本規(guī)律基礎(chǔ)上。就碰撞模型來說，需要把握碰撞的核心要素，分析建立碰撞模型的條件，然后用碰撞模型解決物理學(xué)中的碰撞問題。

1 碰撞的定義和特點(diǎn)

1.1 碰撞的定義

碰撞是指處在相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體，在相遇的極短時(shí)間內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化的過程。

1.2碰撞的特點(diǎn)

碰撞過程持續(xù)的時(shí)間即相互作用時(shí)間極短。 發(fā)生碰撞的過程中，相碰撞的物體受到的作用力先增大，后減小，發(fā)生時(shí)間極短，所以平均作用力極大 。在碰撞系統(tǒng)中，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力。所以系統(tǒng)即使所受的外力之和不為零，外力也可忽略。系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，即 + = + 。碰撞過程是瞬間發(fā)生的，時(shí)間極短，所以在物體發(fā)生碰撞的瞬間，可以忽略物體的位移，可以認(rèn)為物體碰撞前后兩物體的位置沒有發(fā)生變化。碰撞發(fā)生的過程伴隨著聲、光、熱等的產(chǎn)生，系統(tǒng)總機(jī)械能因此而損失，所以碰撞后系統(tǒng)的總動(dòng)能必然小于或等于碰撞前，即 + ≤ + 。

2 分析碰撞問題的三個(gè)核心要素

第一核心要素——?jiǎng)恿渴睾悖驗(yàn)榕鲎策^程“時(shí)間短”和“內(nèi)力大”，所以即使在碰撞的極短時(shí)間內(nèi)碰撞雙方構(gòu)成的系統(tǒng)所受的外力和不為零，也會(huì)由于極小的外力在極短的時(shí)間內(nèi)形成的沖量可以忽略，從而使碰撞過程遵從動(dòng)量守恒這一基本規(guī)律（ + = + ）。

第二核心要素——?jiǎng)幽懿辉?。一方面，在碰撞過程中碰撞雙方不能獲得碰撞系統(tǒng)之外的機(jī)械能。另一方面，在碰撞過程中可能會(huì)留下不可恢復(fù)的形變而導(dǎo)致部分機(jī)械能損失。所以在碰撞過程中碰撞系統(tǒng)動(dòng)能不增[4]。

第三核心要素——速度合理。碰撞前兩物體同向運(yùn)動(dòng)，則 ﹥ ，發(fā)生碰撞后，原來在前面的物體速度一定增大，且 ≤ 。兩個(gè)做相向運(yùn)動(dòng)的物體，如果發(fā)生碰撞，那么發(fā)生碰撞后它們的運(yùn)動(dòng)方向不會(huì)都改變，但有可能速度都為零[5]。

3 碰撞的分類

3.1 按能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系分類

按照能量的轉(zhuǎn)化可以把碰撞分為彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞。 彈性碰撞是指在理想情況下，物體碰撞后能夠恢復(fù)形變，不發(fā)聲、發(fā)熱等的碰撞。沒有動(dòng)能的損失，又稱完全彈性碰撞。真正的彈性碰撞只有在分子、原子以及更小微粒之間才會(huì)出現(xiàn)，高中物理中的碰撞因?yàn)閯?dòng)能損失很小，可忽略動(dòng)能損失而看成彈性碰撞，即 = 。非彈性碰撞是碰撞后碰撞系統(tǒng)不能夠完全恢復(fù)形變的碰撞，即 > 。完全非彈性碰撞指發(fā)生碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)能損失最大，碰撞后兩物體粘在一起運(yùn)動(dòng)[6]。

3.2 證明完全非彈性碰撞動(dòng)能損失最大

設(shè)一質(zhì)量為 速度為 的物體與一質(zhì)量為 速度為 的物體發(fā)生碰撞，碰撞過程中損失的動(dòng)能記為 。則：

=（ + ）-（ + ） （1）

對(duì)于A、B由動(dòng)量守恒定律得：

+ = + （2）

將（2）式兩邊同時(shí)平方，同時(shí)除以2（ + ）得：

= （3）

利用（3）式將（1）式作等量代換后得：

（4）

對(duì)（4）式前部份通分有：

+ - =

= =

= （5）

對(duì)（4）式后部份做同樣處理得：

+ - = （6）

把（5）和（6）代入（4）得： = - 由于 - 為定值且不等于零（否則不能發(fā)生碰撞），顯然當(dāng) = 時(shí) 有最大值，即碰撞后兩物體一起以相同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)（發(fā)生完全彈性碰撞）動(dòng)能損失最大[7]。

4 典型的碰撞模型

4.1動(dòng)碰靜模型分析

如圖1所示，在光滑的水平面上質(zhì)量為 的小球以速度 與質(zhì)量為 的靜止小球發(fā)生彈性碰撞。

（7）

（8）

聯(lián)立（7）和（8）解得： = 、 =

① 若 = ，可得 =0、 = ，相當(dāng)于兩球交換速度。

② 若 > ，則 >0且 >0，即 和 均為正值，表示碰撞后兩球的運(yùn)動(dòng)方向與 相同。

③ 若 》 ，則 - ≈ ， + ≈ ，可得 = ， =2 。表示 的速度不變， 以2 的速度被撞出去。

④ 若 < ，則 為負(fù)值，表示 和 方向相反， 被彈回。

⑤ 若 《 ，這時(shí) - ≈ ， ≈0， ≈- ， = ≈0，表示 被反向以原速率彈回，而 仍保持靜止[8]。

4.2 模型應(yīng)用

例1：盧瑟福曾在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng) 粒子與氫原子相碰撞時(shí)，可以使氫原子迅速運(yùn)動(dòng)起來[9]。 粒子與氫原子質(zhì)量之比約等于4，假設(shè) 粒子與氫原子發(fā)生完全彈性碰撞，試證明在發(fā)生碰撞后氫原子速度是 粒子發(fā)生碰撞前的1.6倍，也即氫原子能量與 粒子能量之比為0.64。

證明：設(shè)氫原子的質(zhì)量為 ， 粒子的質(zhì)量為4 ，碰撞前 粒子的速度為 ，碰撞前氫原子的速度為0。發(fā)生彈性碰撞后 粒子的速度為 ，氫原子的速度為 ，由動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒得：

（9）

（10） 聯(lián)立（9）和（10）解得： =1.6 ，入射 粒子的能量為 ，氫原子碰撞后的能量為 ，則： =0.64 原命題得證。

例2：如圖2所示光滑水平面上有三個(gè)木塊A、B、C，質(zhì)量關(guān)系為 = ， = = ，開始時(shí)B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)，A以初速度 向右勻速運(yùn)動(dòng)，A與B碰撞后又分開，B與C又發(fā)生碰撞并粘在一起，此后A與B之間的距離保持不變。求B與C碰撞前B的速度的大小。

解：設(shè)物體A、B發(fā)生碰撞后A物體的速度為 ，物體B與物體C發(fā)生碰撞前B的速度為 ，物體B與C碰撞后速度為 ，根據(jù)動(dòng)量守恒有

對(duì)A、B木塊有：

對(duì)B、C木塊有：

由A與B之間的距離保持不變可知： = ，代入數(shù)據(jù)得 = 。

5 關(guān)于碰撞問題的三則推證

推證1： 有一個(gè)小球質(zhì)量為 ，作為入射小球與處于靜止?fàn)顟B(tài)下的質(zhì)量為 的小球發(fā)生碰撞，那么要保證入射小球不被反彈， > 是必須條件嗎？高中教材中強(qiáng)調(diào) > 。對(duì)此作分析論證。

設(shè)發(fā)生碰撞前小球 的速度為 ， 靜止，發(fā)生碰撞后 的速度為 ， 的速度為 ，碰撞過程根據(jù)動(dòng)量守恒，有：

（11）

兩個(gè)小球發(fā)生的碰撞不一定是彈性碰撞，所以可能有動(dòng)能損失，因此系統(tǒng)發(fā)生碰撞后動(dòng)能不大于發(fā)生碰撞前的動(dòng)能，即： （12）

聯(lián)立（11）和（12）式得： 、 小球 發(fā)生碰撞后不被反彈等價(jià)于 >0。由 ，如果 > ，就有 >0，如果 < ，雖然 ，但是 ， 也存在大于零的情況。因此 > 不是保證入射小球不被反彈的必須條件[10]。

推證2：如圖3，在光滑的絕緣水平直軌道上有兩個(gè)小球A和B它們相隔一定的距離并相向運(yùn)動(dòng)，A球的速度為 ，B球的速度為 。已知A球的質(zhì)量3 ，B球的質(zhì)量為 。兩球都帶正電，B球帶兩個(gè)單位的正電荷，A球帶一個(gè)單位的正電荷，由于兩球間庫倫力的作用導(dǎo)致兩球不會(huì)直接接觸。那么，A球在靠近B球的過程中由于一直受到庫倫斥力的作用，因此，只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，A球會(huì)不會(huì)反向運(yùn)動(dòng)呢？對(duì)此進(jìn)行計(jì)算分析。

（13）

兩球距離最近時(shí)，B球已經(jīng)反向運(yùn)動(dòng)，以后A、B兩球的距離將越來越大，因此對(duì)系統(tǒng)而言，電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。設(shè)電勢(shì)能的減少量為 ，對(duì)系統(tǒng)有：

（14）

由（13）和（14）解得： ，由于庫倫斥力的存在， 不可能大于 ，所以 只能取 。為讓A球沿原方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，條件為： >0由 可解得 最小的必須條件為： ≤ 。設(shè)兩球最初距離為 ，則系統(tǒng)最初的電勢(shì)能為 。因兩球無窮遠(yuǎn)時(shí)電勢(shì)能為零，隨著兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)電勢(shì)能的減小量 。兩球的電量、起始距離的具體數(shù)值未知，所以 可能大于 也可能小于 ， ≤ 可能滿足，即 >0，A球可能一直向右運(yùn)動(dòng)[11]。

推證3：現(xiàn)有一靜止的處于第一激發(fā)態(tài)的氫原子，有一實(shí)物粒子與該氫原子發(fā)生碰撞使該氫原子躍遷到第二激發(fā)態(tài)，那么實(shí)物粒子應(yīng)該具備什么初動(dòng)能條件？（已知第一激發(fā)態(tài)的能級(jí) = ，第二激發(fā)態(tài)的能級(jí) ）

第一、二激發(fā)態(tài)的能級(jí)差為 ，通常認(rèn)為只要轟擊粒子的能量大于等于 即可使氫原子發(fā)生躍遷，然而實(shí)物粒子的轟擊只能將自身的一部分動(dòng)能給氫原子。接下來計(jì)算實(shí)物粒子的初動(dòng)能應(yīng)該具備的條件。

設(shè)實(shí)物離子的質(zhì)量為 ，氫原子的質(zhì)量為 ，開始時(shí)氫原子處于靜止?fàn)顟B(tài)，實(shí)物粒子以初速度 與氫原子發(fā)生正碰，碰后實(shí)物粒子的速度為 ，氫原子的速度為 。根據(jù)動(dòng)量守恒定律得： = + （15）

發(fā)生碰撞后氫原子得到系統(tǒng)損失的動(dòng)能而躍遷，設(shè)損失的動(dòng)能為 ，有：

= + + （16） 據(jù)（15）式可得：

，將 代入（16）得：

化簡(jiǎn)移向得：

（17）

這是關(guān)于 的二元一次方程。為了使氫原子能夠躍遷，關(guān)于 的二元一次方程必須滿足判別式 ，即 ，化簡(jiǎn)可得實(shí)物粒子的初動(dòng)能應(yīng)滿足 ，如果是電子與氫原子碰撞，由于電子質(zhì)量 ，根據(jù) ，即電子的動(dòng)能只要大于等于氫原子的能級(jí)差，可使氫原子躍遷。而實(shí)物粒子初動(dòng)能必須滿足 才能使氫原子發(fā)生躍遷。

6 結(jié)語

本文從碰撞的定義出發(fā)，對(duì)碰撞的特點(diǎn)和碰撞問題的核心要素進(jìn)行闡述與分析。從碰撞能量變化的角度對(duì)碰撞進(jìn)行分類。在理論基礎(chǔ)上建立起動(dòng)碰靜模型并對(duì)模型進(jìn)行實(shí)例應(yīng)用，并對(duì)碰撞的三個(gè)推論進(jìn)行論證。從推導(dǎo)基礎(chǔ)理論到理論模型再到模型的應(yīng)用，對(duì)碰撞問題做完整的分析。對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和知識(shí)框架的構(gòu)建大有裨益。

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