定子齒結(jié)構(gòu)TRUM離散化動(dòng)力學(xué)分析方法*

孫鶴旭， 荊 鍇， 董 硯， 李國(guó)慶

(1．河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院 天津，300130) (2.河北省控制工程技術(shù)研究中心 天津，300130) (3．河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院 石家莊，050018)

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定子齒結(jié)構(gòu)TRUM離散化動(dòng)力學(xué)分析方法*

孫鶴旭1,2,3， 荊 鍇1,2， 董 硯1,2， 李國(guó)慶1,2

(1．河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院 天津，300130) (2.河北省控制工程技術(shù)研究中心 天津，300130) (3．河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院 石家莊，050018)

基于目前行波型旋轉(zhuǎn)超聲電機(jī)定轉(zhuǎn)子非線性接觸動(dòng)力學(xué)理論研究的復(fù)雜性，提出一種簡(jiǎn)易求解的界面離散化動(dòng)力學(xué)分析方法。首先，著眼于定子齒的離散分布特性，化定轉(zhuǎn)子齒面接觸為離散點(diǎn)接觸，在定子齒與轉(zhuǎn)子的不同接觸狀態(tài)下，通過引入等效剛度的概念，對(duì)定子齒與轉(zhuǎn)子間的軸向作用力進(jìn)行求解，從而獲得定轉(zhuǎn)子的離散等效作用力，確立定轉(zhuǎn)子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系；然后，從離散接觸點(diǎn)的三維運(yùn)動(dòng)特性出發(fā)，分析接觸過程中的徑向和周向摩擦力，從而研究輸出機(jī)械特性和界面能耗；最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法對(duì)接觸界面動(dòng)力學(xué)的準(zhǔn)確描述。

行波型旋轉(zhuǎn)超聲波電機(jī)； 定子齒； 接觸界面； 離散化； 動(dòng)力學(xué)

引 言

行波型旋轉(zhuǎn)超聲電機(jī)(travelling-wave rotary ultrasonic motor，簡(jiǎn)稱TRUM)是超聲電機(jī)中最具代表性的一種，其原理是通過對(duì)壓電振子施加兩相高頻電壓，激發(fā)定子超聲波頻段的微幅行波振動(dòng)，利用定、轉(zhuǎn)子的接觸摩擦作用，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)并輸出轉(zhuǎn)矩[1]。其中，定轉(zhuǎn)子的接觸作用是電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的關(guān)鍵，但由于接觸過程機(jī)理復(fù)雜，且具有很強(qiáng)的非線性，其機(jī)理描述和動(dòng)力學(xué)求解方法十分復(fù)雜，不利于TRUM的深入研究。

目前，國(guó)內(nèi)外大多對(duì)定轉(zhuǎn)子接觸的動(dòng)力學(xué)研究是基于Hagood模型進(jìn)行的[2-3]，模型依據(jù)“剛性定子-彈性轉(zhuǎn)子”的假設(shè)，從沿圓周展開的二維坐標(biāo)研究接觸界面的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。這樣的研究忽略了定子齒結(jié)構(gòu)的作用，也未考慮定子徑向的運(yùn)動(dòng)，盡管做了許多簡(jiǎn)化，但其方法仍然復(fù)雜。此外，文獻(xiàn)[4-5]提出剛性轉(zhuǎn)子與定子的理想單點(diǎn)接觸分析方法，陳超等[6-7]提出了TRUM半解析模型，劃分定子子結(jié)構(gòu)，基于定轉(zhuǎn)子三維運(yùn)動(dòng)采用有限元方法分析定子齒的運(yùn)動(dòng)和定轉(zhuǎn)子的接觸動(dòng)力學(xué)關(guān)系。文獻(xiàn)[8]提出定轉(zhuǎn)子接觸作用的等效電路模型，以電學(xué)量類比機(jī)械量，對(duì)接觸界面動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析研究，此方法求解亦相對(duì)復(fù)雜。文獻(xiàn)[9-10]均采用了實(shí)驗(yàn)的方法從振動(dòng)模態(tài)的角度分析接觸作用。

有限元方法在TRUM定轉(zhuǎn)子的接觸研究中具有重要的意義。文獻(xiàn)[11]采用有限元分析了定轉(zhuǎn)子接觸特性。周盛強(qiáng)等[12-13]在ANSYS環(huán)境下分析了定轉(zhuǎn)子穩(wěn)定工作時(shí)接觸面空間域特性。有限元方法由于求解復(fù)雜，計(jì)算耗時(shí)，通常需借助一些商業(yè)軟件完成，故不便于TRUM定轉(zhuǎn)子接觸界面動(dòng)力學(xué)的研究，通常更適合穩(wěn)態(tài)分析[14]和電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化[15]等。

根據(jù)TRUM定子表面齒狀結(jié)構(gòu)帶來(lái)的接觸面不連續(xù)的特點(diǎn)，提出一種基于定子齒結(jié)構(gòu)的界面離散化動(dòng)力學(xué)研究方法。該方法以每個(gè)定子齒作為計(jì)算單元，化定子齒面接觸為離散點(diǎn)接觸，從而求解不同接觸狀態(tài)下的接觸區(qū)域和軸向等效壓力，進(jìn)而根據(jù)離散接觸點(diǎn)的三維運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)接觸摩擦力，計(jì)算輸出轉(zhuǎn)矩，獲得整個(gè)定轉(zhuǎn)子接觸界面的動(dòng)力學(xué)輸出特性。該方法采用離散化接觸的等效手段，在簡(jiǎn)化計(jì)算的同時(shí)，保證了接觸機(jī)理性能的真實(shí)性和準(zhǔn)確性。

1 定轉(zhuǎn)子接觸動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

當(dāng)給電機(jī)A，B兩相施加電壓，定子被激出兩相模態(tài)w=[wA,wB]T，并滿足如下機(jī)電耦合方程

(1)

其中：Ms，Ds和Cs分別為兩相模態(tài)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣；Θ為機(jī)電耦合系數(shù)；u為兩相激勵(lì)電壓；FC為界面接觸模態(tài)力。

(2)

對(duì)于平均半徑rc、定子齒軸向位置zc的接觸環(huán)面來(lái)說，接觸點(diǎn)的軸向位移us z以及徑向、周向速度vs r和vs θ是接觸分析中的3個(gè)重要變量。

定轉(zhuǎn)子接觸過程中認(rèn)為定子與轉(zhuǎn)子均是剛性的，受定子振動(dòng)而發(fā)生形變的是附著于轉(zhuǎn)子下表面與定子接觸的寬為b、厚為h的摩擦襯墊。在定子接觸面3維運(yùn)動(dòng)的作用下，轉(zhuǎn)子存在軸向和周向兩個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)平衡方程為

其中：MR，DR，JR分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、軸向阻尼以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；zR，ωR為轉(zhuǎn)子軸向位移和旋轉(zhuǎn)角速度；Fz，Te分別為對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的軸向作用力和輸出轉(zhuǎn)矩；Fa，Tload分別為轉(zhuǎn)子所受預(yù)壓力和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2 定轉(zhuǎn)子接觸界面的離散化作用

2.1 接觸界面的離散化

如圖1所示，定轉(zhuǎn)子的接觸作用僅存在于m個(gè)定子齒與平均半徑為rc的轉(zhuǎn)子環(huán)形摩擦層之間，接觸面不再是連續(xù)的。筆者提出將每個(gè)齒接觸面上的相互作用關(guān)系等效離散化為點(diǎn)點(diǎn)接觸的關(guān)系，從而通過求解離散點(diǎn)的接觸作用來(lái)研究定轉(zhuǎn)子間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。

圖1 TRUM接觸界面的離散化Fig.1 Discretization of the TRUM contact interface

(5)

(6)

2.2 軸向壓力和接觸邊界的離散化動(dòng)態(tài)求解

TRUM定轉(zhuǎn)子接觸狀態(tài)可分為未加電壓時(shí)的靜態(tài)接觸和施加電壓產(chǎn)生模態(tài)振動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)接觸兩種狀態(tài)。從離散化的定轉(zhuǎn)子接觸關(guān)系可知，無(wú)論哪種狀態(tài)下定子對(duì)轉(zhuǎn)子的軸向作用力為

(7)

靜態(tài)接觸下，如圖2(a)所示，由于轉(zhuǎn)子受預(yù)壓力Fa的作用壓在定子上，摩擦層在各齒的范圍上形變量均相同，記作z0，則

(8)

由靜態(tài)受力平衡Fz=Fa得

(9)

圖2 TRUM定轉(zhuǎn)子接觸接觸狀態(tài)Fig.2 Contact state of the stator and rotor of TRUM

動(dòng)態(tài)接觸下，如圖2(b)所示，轉(zhuǎn)子摩擦層在定子振動(dòng)的作用下被壓縮，計(jì)算各個(gè)離散接觸點(diǎn)軸向壓力所需的各點(diǎn)摩擦層形變量，通常參考于摩擦層的未形變面軸向位移，也就是接觸邊界θ0的軸向位移

(10)

離散化的每個(gè)齒在其范圍θt上的有效接觸面將因接觸狀況不同而不同，存在以下3種情況：

1) 全接觸

定子齒j在θt上完全與摩擦層接觸，如果假設(shè)摩擦層形變?cè)谠搮^(qū)域上呈線性分布，則

(11)

(12)

2) 部分接觸

如圖3所示，θ0位于定子齒j的范圍內(nèi)，實(shí)際接觸面僅為θ0左側(cè)的一部分，依線性化近似求解

(13)

圖3 部分接觸時(shí)等效求解Fig.3 Equivalent calculation when partial contacting

由于式(13)中存在極限

(14)

不便于求解，于是取等效剛度

(15)

則式(13)變?yōu)?/p>

(16)

3) 不接觸

(17)

綜合3種情況，動(dòng)態(tài)接觸下的軸向壓力Fz為

(18)

圖4 等效剛度分布曲線Fig.4 Curve of the equivalent stiffness

在軸向動(dòng)態(tài)方程中，許多研究中認(rèn)為zR就是上述分析中的z1，然而，z1只是zR的中動(dòng)態(tài)位移，其中還包括定轉(zhuǎn)子從靜態(tài)接觸向動(dòng)態(tài)接觸過渡時(shí)，摩擦層從靜態(tài)壓縮恢復(fù)到未形變狀態(tài)的位移，數(shù)值等于z0，故zR=z1+z0。當(dāng)預(yù)壓力Fa不變時(shí)，z0為常數(shù)，式中zR的微分與z1的相同。于是將式(18)代入式(3)整理得

(19)

且有

(20)

其中：MR，DR均為正常數(shù)；CR>0，因不同接觸情況而變化。

于是該動(dòng)態(tài)傳遞函數(shù)的特征方程一定有兩個(gè)負(fù)根，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定收斂的，就可動(dòng)態(tài)地計(jì)算z1，從而實(shí)現(xiàn)接觸邊界θ0的求解。由于采用了離散化的計(jì)算方法，并且通過合理近似保證了求解的準(zhǔn)確，整個(gè)計(jì)算過程較解析法、有限元法均要簡(jiǎn)單。

2.3 定轉(zhuǎn)子接觸摩擦的離散化及轉(zhuǎn)矩輸出

定轉(zhuǎn)子間的摩擦作用，經(jīng)接觸點(diǎn)離散，各點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)子的切向摩擦力與軸向壓力成正比

(21)

其中：μ為定子與轉(zhuǎn)子摩擦層的動(dòng)摩擦因數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)子所受摩擦力的方向取決于接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，根據(jù)式(2)離散接觸點(diǎn)的徑向、周向速度可表示為

(22)

(23)

其中：徑向摩擦力不對(duì)轉(zhuǎn)子做功，僅僅產(chǎn)生損耗；周向摩擦力所做的功取決于離散點(diǎn)處vs θ-vR的方向。周向摩擦力產(chǎn)生輸出轉(zhuǎn)矩為

(24)

圖5 界面離散接觸摩擦作用示意圖Fig.5 The friction on the interface

2.4 接觸界面能量損耗及輸出效率

定、轉(zhuǎn)子接觸作用的能量損耗是由于定、轉(zhuǎn)子在徑向和周向相對(duì)滑動(dòng)摩擦而引起的，如果按一個(gè)電周期T平均，摩擦損耗分別為

(25)

于是電機(jī)界面接觸總的摩擦損耗為

(26)

由電機(jī)的輸出功率為

(27)

可得電機(jī)接觸界面能量傳遞的效率為

(28)

以上可見，TRUM接觸界面的動(dòng)力學(xué)離散化計(jì)算推導(dǎo)相比解析、有限元方法，更能簡(jiǎn)易、清晰地反映出TRUM接觸界面的動(dòng)力學(xué)特征，為TRUM的接觸研究提供便利的方法。

3 離散化接觸界面動(dòng)力學(xué)仿真與實(shí)驗(yàn)

以TRUM-60型電機(jī)為例，電機(jī)參數(shù)見表1。

表1 電機(jī)參數(shù)表

Tab.1 Parameters of the TRUM

參數(shù)數(shù)值振波數(shù)k9定子齒數(shù)m72轉(zhuǎn)子半徑rc/mm27．58摩擦層厚度h/mm2．74摩擦層寬度b/mm0．2彈性模量E/MPa280摩擦因數(shù)μ0．2

在Matlab/Simulink仿真環(huán)境下對(duì)該電機(jī)的接觸界面特性以及輸出機(jī)械特性進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 界面特性仿真

電機(jī)工作在B09模態(tài)，根據(jù)定子齒數(shù)m=72，則按定子齒離散后，一個(gè)振動(dòng)波長(zhǎng)下覆蓋l=8個(gè)離散點(diǎn)。預(yù)置振動(dòng)模態(tài)幅值W=1.1 μm，頻率40 kHz，施加預(yù)壓力為Fa=160 N。根據(jù)界面離散化動(dòng)力學(xué)分析研究方法，將研究定轉(zhuǎn)子接觸界面上離散點(diǎn)軸向位移，軸向壓力，徑向、周向速度和徑向、周向摩擦力等動(dòng)力學(xué)特性。

圖6 離散化界面接觸特性Fig.6 Contact characteristics of the discretized interface

3.2 機(jī)械特性仿真及實(shí)驗(yàn)對(duì)比

當(dāng)TRUM的材料、結(jié)構(gòu)已確定的情況下，預(yù)壓力是影響電機(jī)機(jī)械特性的惟一可調(diào)整的參數(shù)。圖7示出不同預(yù)壓力下的機(jī)械特性曲線。

圖7(a)顯示隨著預(yù)壓力增大，空載轉(zhuǎn)速減小，堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩增大，整體機(jī)械特性變硬。而由圖7(b)可以看出，電機(jī)的最大輸出功率隨預(yù)壓力增大向右移，最大功率值略有減小。

界面周向和徑向的損耗如圖7(c)所示，周向損耗隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩增加而增加，徑向損耗隨轉(zhuǎn)矩略有減小，隨著預(yù)壓力增大兩種損耗也相應(yīng)增加。效率曲線如圖7(d)所示，隨著預(yù)壓力的增大，最大效率點(diǎn)右移但逐漸減小。

從仿真結(jié)果看，筆者提出的分析方法對(duì)TRUM的特性具有良好的描述，對(duì)比目前在界面動(dòng)力學(xué)分析中常用的有限元法[6，12]，本分析方法在運(yùn)算上更加簡(jiǎn)單易行，不失描述的準(zhǔn)確性。通過圖8所示的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比曲線更能說明這一點(diǎn)，其中“×”為利用測(cè)功機(jī)多次實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得的數(shù)值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真曲線較為契合，證明了通過接觸界面的離散分析，亦可真實(shí)描述TRUM定轉(zhuǎn)子接觸界面的運(yùn)動(dòng)、力學(xué)關(guān)系。

圖7 不同預(yù)壓力下電機(jī)輸出機(jī)械特性Fig.7 Mechanical characteristics in different pre-pressures

圖8 電機(jī)機(jī)械特性的模型仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Mechanical characteristics comparison of the simulations and the experiments

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種TRUM定轉(zhuǎn)子接觸界面的離散化動(dòng)力學(xué)分析方法，以不連續(xù)分布的定子齒結(jié)構(gòu)為研究單元，化面接觸為點(diǎn)接觸，有效降低了接觸作用力求解的復(fù)雜度，并結(jié)合定轉(zhuǎn)子三維運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)確地對(duì)離散化的接觸點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系進(jìn)行描述，從而為TRUM接觸界面動(dòng)力學(xué)研究提供了理論方法。最后通過仿真及實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了方法對(duì)電機(jī)接觸界面動(dòng)力學(xué)描述的準(zhǔn)確性和真實(shí)性。

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*河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2013202108)；河北省研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目(2015)；河北省重大科技成果轉(zhuǎn)化資助項(xiàng)目(13041709Z)

2015-08-20；

2015-10-23

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.028

TH113; TM356

孫鶴旭，男，1956年8月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)檫\(yùn)動(dòng)控制、工程系統(tǒng)與控制。曾發(fā)表《Current dynamically predicting control of PMSM targeting the current vectors》(《Journal of Electrical Engineering & Technology》2015, Vol.10,No.3)等論文 E-mail：hxsun@hebust.edu.cn