基于參數(shù)識別的雙向偏心結(jié)構(gòu)TMD優(yōu)化布置*

何浩祥， 呂永偉,2， 韓恩圳

(1．北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室 北京, 100124) (2．國家知識產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作天津中心 天津, 300000)

?

基于參數(shù)識別的雙向偏心結(jié)構(gòu)TMD優(yōu)化布置*

何浩祥1， 呂永偉1,2， 韓恩圳1

(1．北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室 北京, 100124) (2．國家知識產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作天津中心 天津, 300000)

針對實際多維結(jié)構(gòu)的偏心距難以直接獲得的情況，提出基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法實現(xiàn)偏心結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量、水平剛度和偏心距的同步識別方法，并由此指導(dǎo)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, 簡稱TMD)的實際最優(yōu)布置位置。以一非對稱鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，基于自由振動及參數(shù)識別算法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體偏心距等參數(shù)的準(zhǔn)確識別，分析了不同位置布置TMD對結(jié)構(gòu)減震效果的影響。結(jié)果表明：擴(kuò)展卡爾曼濾波對結(jié)構(gòu)多參數(shù)識別具有較高的精度，在此基礎(chǔ)上選取合理位置布置TMD對雙向偏心結(jié)構(gòu)具有更好的減震效果，且具備較強(qiáng)的工程可行性。

減震控制;偏心結(jié)構(gòu);調(diào)諧質(zhì)量阻尼器;參數(shù)識別;擴(kuò)展卡爾曼濾波

引 言

地震動是多維復(fù)雜的隨機(jī)運動，同時具有平動作用和扭轉(zhuǎn)作用，因此建筑結(jié)構(gòu)可能發(fā)生平動和扭轉(zhuǎn)雙重破壞[1]。結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)主要有：a.地震動作用本身具有扭轉(zhuǎn)分量，使得建筑物結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)響應(yīng)；b.由于偏心結(jié)構(gòu)的質(zhì)心和剛度中心的不重合，結(jié)構(gòu)在水平地震作用下也會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)響應(yīng)[2]。因此，在考慮地震動各向平動作用的同時考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)并進(jìn)行減震控制具有重要意義。目前，關(guān)于結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)控制的研究較為豐富。文獻(xiàn)[1,3-5]系統(tǒng)地研究了多維地震動下不同的結(jié)構(gòu)減震控制理論及結(jié)構(gòu)減震優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[6-9]研究了考慮結(jié)構(gòu)偏心扭轉(zhuǎn)TMD布置。以上研究均假定結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、偏心距、剛度等參數(shù)已知，或根據(jù)有限元分析獲得以上相關(guān)參數(shù)，進(jìn)行TMD的優(yōu)化布置[10]。然而針對實際工程結(jié)構(gòu)，首先，建筑結(jié)構(gòu)的剛度及質(zhì)量等參數(shù)與原有設(shè)計方案或由有限元分析計算得到的理論剛度本身存在一定的偏差；其次，在經(jīng)過一定的使用年限后，由于家具、生活用品等產(chǎn)生的附加質(zhì)量以及由于環(huán)境和人為因素引發(fā)的結(jié)構(gòu)剛度漸變也將使實際建筑整體的動力參數(shù)發(fā)生不斷變化。對于偏心結(jié)構(gòu)，其實際質(zhì)量、剛度和雙向偏心距與理論值之間可能存在明顯的偏差，在不考慮以上偏差情況下直接按照理論值或工程經(jīng)驗確定TMD的布置位置并不能充分發(fā)揮TMD的減震能力，有時甚至?xí)觿〗Y(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)及水平響應(yīng)，對結(jié)構(gòu)的安全性不利。因此，如何通過有效算法獲得實際多維偏心結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和偏心距等物理參數(shù)進(jìn)而指導(dǎo)結(jié)構(gòu)減震控制方案，實現(xiàn)最優(yōu)減震效果是亟需解決的問題，具有重要的工程意義。

結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識別的研究一直是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測和損傷識別的熱點和難點。目前相關(guān)方法主要有基于模態(tài)分析的識別方法、基于信號分析的識別方法、基于模型修正的識別方法、基于智能算法和統(tǒng)計模式識別的識別方法、基于系統(tǒng)辨識理論的物理參數(shù)識別方法[11-12]。針對雙向偏心結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)識別，以上方法的不足主要體現(xiàn)在：難以根據(jù)模態(tài)參數(shù)或動力信號同時識別多種物理參數(shù)，尤其是雙向偏心距。而其中基于系統(tǒng)辨識理論的物理參數(shù)識別方法可以直接而精確地識別相關(guān)動力方程中的物理參數(shù)，比較適合在偏心結(jié)構(gòu)參數(shù)識別中應(yīng)用[13-14]。由于三維多自由度結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程比較復(fù)雜，較難實現(xiàn)各個自由度的參數(shù)識別，此外本研究主要考慮在多維建筑結(jié)構(gòu)平動及扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行損傷識別，因此，筆者討論將多維剪切型多自由度建筑整體簡化為一單質(zhì)點多維體系，建立了整體雙向偏心結(jié)構(gòu)的動力方程及控制方程，并基于損傷識別理論，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法實現(xiàn)對偏心結(jié)構(gòu)剛度識別。此外，利用本方法可以有效識別結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量等效和偏心距，進(jìn)而為確定TMD質(zhì)量及優(yōu)化位置提供指導(dǎo)，最終實現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體最優(yōu)調(diào)諧減震控制。

1 雙向偏心結(jié)構(gòu)調(diào)諧減震控制方程

如圖1所示的雙向偏心剪切型建筑結(jié)構(gòu)，可將結(jié)構(gòu)整體等效為具有水平兩向及扭轉(zhuǎn)向自由度的多維單質(zhì)點體系。在結(jié)構(gòu)頂層布置雙向TMD進(jìn)行減震時，可將每個方向的TMD看作為附加于結(jié)構(gòu)之上的質(zhì)點。定義建筑結(jié)構(gòu)整體為質(zhì)點1，其具有雙向平動和繞質(zhì)心所在豎扭轉(zhuǎn)3個自由度；定義TMD為質(zhì)點2，其具有雙向平動和繞建筑物質(zhì)心所在豎軸轉(zhuǎn)動3個自由度。選取合理的坐標(biāo)系，可建立包括質(zhì)點1和2的減震系統(tǒng)動力方程。

如圖1所示，以結(jié)構(gòu)的質(zhì)心Cm為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)結(jié)構(gòu)x向和y向的偏心距分別為ex和ey，即剛心坐標(biāo)為(ex,ey)。減震體系的質(zhì)量矩陣M可表示為

圖1 考慮偏心扭轉(zhuǎn)的三維剪切型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Three-dimensional eccentric shear structure

(1)

系統(tǒng)剛度矩陣K可表示為

(2)

其中：k1x，k1y，k2x，k2y分別為結(jié)構(gòu)和TMD在x向及y向的水平剛度；(x1,y1)表示TMD的坐標(biāo)；和分別為偏心結(jié)構(gòu)和TMD自身的抗扭剛度。

減震體系的阻尼可采用Rayleigh 阻尼的形式

(3)

其中：Rayleigh 阻尼系數(shù)α,β可根據(jù)設(shè)定的阻尼比及測得的結(jié)構(gòu)頻率計算得到。

結(jié)構(gòu)動力方程可表示為

(4)

(5)

綜上，根據(jù)多向地震動加速度激勵向量，便可計算得到結(jié)構(gòu)與TMD的耦合動力響應(yīng)。

2 考慮偏心率的TMD位置優(yōu)化布置

由結(jié)構(gòu)的動力方程及已有研究成果可知，TMD的布置位置主要影響對結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)減震。為了全面了解TMD的布置位置對結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)減震效果的影響，可根據(jù)以上建立的結(jié)構(gòu)與TMD的耦合動力方程，對一單層框架結(jié)構(gòu)不同位置布置TMD并進(jìn)行數(shù)值分析和結(jié)果對比。該結(jié)構(gòu)平面圖見圖2。

圖2 結(jié)構(gòu)平面示意圖Fig.2 Schematic plan of structure

單層框架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為m1=4×105kg，長度a為45 m，寬度b為24 m；水平抗推剛度和抗扭剛度分別為kx=3.5×109N/m，ky=3.2×109N/m和kθ=3.2×1011N/rad；兩向偏心距ex和ey分別為4和3 m。連接結(jié)構(gòu)剛心CS和質(zhì)心CM作直線l，如圖2所示，在直線l上從點1(-4，-3)開始沿l正方向每隔0.5 m布置同一個TMD，沿l共布置40個點，布置相同TMD對結(jié)構(gòu)減震響應(yīng)的影響，其中，質(zhì)心CM位置為點10，剛心Cs位置為點30。取TMD質(zhì)量為結(jié)構(gòu)質(zhì)量的8%，即m2=3.2×104kg，設(shè)定TMD的振動頻率與結(jié)構(gòu)的振動頻率相同，使其發(fā)生諧振，從而確定TMD的剛度。從點1～40，每點依次布置一次TMD并求得扭轉(zhuǎn)加速度響應(yīng)最大值，結(jié)果如圖3所示。

圖3 扭轉(zhuǎn)響應(yīng)最大值隨布置點位置變化圖Fig.3 Maximum torsional responses with diffrent locations

由圖3可以看出，TMD的布置位置從點1向點40，結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)加速度響應(yīng)最大值整體上呈減小趨勢。當(dāng)布置位置在小于點10時，即TMD在結(jié)構(gòu)質(zhì)心地外側(cè)時，建筑結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)較大，TMD布置位置距質(zhì)心越遠(yuǎn)則建筑物結(jié)構(gòu)響應(yīng)越大；當(dāng)布置位置在點20～30間，即TMD在結(jié)構(gòu)質(zhì)心與剛心之間時，隨點數(shù)增大結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)下降較平緩；當(dāng)布置位置在大于點30時，即TMD在結(jié)構(gòu)剛心外側(cè)時，建筑結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)明顯減小，TMD布置位置距剛心越遠(yuǎn)建筑物結(jié)構(gòu)響應(yīng)越小。不同布置位置下的結(jié)構(gòu)水平加速度變化基本不大。由此可見，對于建筑物結(jié)構(gòu)進(jìn)行布置TMD進(jìn)行減震時，TMD的布置位置對建筑的響應(yīng)有一定的影響，不同位置布置TMD的得到的結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應(yīng)差別較大。因此，能夠準(zhǔn)確得到建筑結(jié)構(gòu)的質(zhì)心和剛心的位置顯得尤為重要，而在建筑結(jié)構(gòu)投入正常使用階段，由于使用者入住帶來的各種附加質(zhì)量使得結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量不再是設(shè)計時的理論質(zhì)量，此時結(jié)構(gòu)整體的質(zhì)心位置也與設(shè)計時結(jié)構(gòu)質(zhì)心位置有所差別。如果能夠根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)確定結(jié)構(gòu)的真實偏心距，可指導(dǎo)TMD的布置位置將充分發(fā)揮TMD的減震能力。

3 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的偏心結(jié)構(gòu)參數(shù)識別

卡爾曼濾波是一種最優(yōu)狀態(tài)估計方法[15]，由實時獲得的受噪聲污染的離散觀測數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行線性、無偏及最小誤差方差最優(yōu)估計。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法用遞推狀態(tài)空間方程的一階泰勒公式代替非線性方程對非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計。已有研究表明，利用卡爾曼濾波技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)剪切框架結(jié)構(gòu)中部分參數(shù)的簡單識別，且具有較好識別精度，但該方法需要結(jié)構(gòu)的輸入和輸出信息均較完備[12-16]。目前尚缺乏基于卡爾曼濾波的雙向偏心結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、偏心距等多參數(shù)同時識別的方法。非線性系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和觀測方程為

(6)

(7)

其中：X(ti)為ti時刻狀態(tài)向量；X(ti+1)為ti+1時刻狀態(tài)向量；Z(ti+1)為ti+1時刻觀測向量；W(ti)為系統(tǒng)噪聲向量；V(ti+1)為ti+1時刻的觀測噪聲向量。

W(ti+1)和V(ti+1)相互獨立均為零均值的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣分別為Q和R。卡爾曼濾波方程如下。

狀態(tài)預(yù)測

(8)

(9)

計算增益矩陣

(10)

狀態(tài)濾波

(11)

(12)

對于多層雙向偏心結(jié)構(gòu)，限于卡爾曼濾波算法能力的限制尚不能建立各層參數(shù)均未知的層間模型，但可根據(jù)式(4)和式(5)的系統(tǒng)耦合減震方程實現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體物理參數(shù)的識別。將結(jié)構(gòu)整體的質(zhì)量、剛度和偏心距等參數(shù)轉(zhuǎn)化為擴(kuò)展卡爾曼濾波狀態(tài)方程的狀態(tài)量，建立結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程和觀測方程，代入卡爾曼濾波方程進(jìn)行狀態(tài)量的估計[15]。在擴(kuò)展卡爾曼濾波的迭代過程中進(jìn)行參數(shù)識別的同時會對輸入的響應(yīng)進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測，通過對狀態(tài)預(yù)測響應(yīng)和輸入響應(yīng)之間判斷擴(kuò)展卡爾曼濾波的識別是否準(zhǔn)確以保證其識別精度。

在實際測試和應(yīng)用中，首先，可以采用在結(jié)構(gòu)上施加初始位移之后突然卸載的方法獲得結(jié)構(gòu)自由振動響應(yīng)信號，再將結(jié)構(gòu)頂層信號作為系統(tǒng)輸出信號帶入到卡爾曼濾波方程中，通過迭代計算逐步實現(xiàn)動力參數(shù)的精確識別；然后，根據(jù)識別出的建筑結(jié)構(gòu)的質(zhì)量結(jié)果確定TMD的質(zhì)量，由識別出的雙向偏心距結(jié)果結(jié)合第二部分所論述的TMD的布置位置對結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)減震影響規(guī)律；最后，確定最優(yōu)的TMD布置位置。

上述方法避免了傳統(tǒng)減震方法主要依據(jù)設(shè)計方案和工程經(jīng)驗確定結(jié)構(gòu)動力方程參數(shù)的缺陷，能夠通過實測信號精確估計工程結(jié)構(gòu)的真實質(zhì)量、剛度和偏心狀態(tài)，有的放矢地確定調(diào)諧阻尼器的設(shè)計和加工參數(shù)，然后建立更精確的結(jié)構(gòu)動力方程和減震控制模型，通過動力時程分析可獲得結(jié)構(gòu)在預(yù)期地震作用下更真實的動力響應(yīng)和減震性能，為實現(xiàn)基于性能的減震控制提供有效的技術(shù)支持。

4 計算實例

為了驗證基于卡爾曼濾波的雙向偏心結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和偏心距的物理參數(shù)識別方法和識別精度，以及基于參數(shù)識別結(jié)果的TMD位置合理優(yōu)化布置對減震效果的影響，以某10層非對稱框架結(jié)構(gòu)為例，將結(jié)構(gòu)整體簡化為多維單質(zhì)點體系。利用擴(kuò)展卡爾曼濾波對結(jié)構(gòu)整體的質(zhì)量、偏心距、剛度等參數(shù)進(jìn)行識別。以偏心距識別結(jié)果為依據(jù)，在不同位置布置TMD比較減震效果。如圖4所示，框架結(jié)構(gòu)的長和寬分別為50和24 m?？蚣芙Y(jié)構(gòu)各樓層的質(zhì)量和剛度參數(shù)以及整體偏心距如表1所示。

圖4 10層非對稱框架結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 FE model of ten-layer asymmetric frame

表1 建筑結(jié)構(gòu)的各參數(shù)

將結(jié)構(gòu)簡化為多維單質(zhì)點體系，建立動力方程，根據(jù)式(4)和式(5)將動力方程表示為6個狀態(tài)方程，并將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m、水平剛度kx和ky、偏心距ex和ey作為狀態(tài)方程的中的狀態(tài)量。限于算法中未知參數(shù)的數(shù)量限制，考慮到結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)剛度在實際使用過程中變量化不大，假定結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度與設(shè)計值相同。隨機(jī)設(shè)定代入擴(kuò)展卡爾曼濾波識別的各參數(shù)初始值分別為：質(zhì)量m0=8.160×106kg，剛度初始值kx0=1.675×108N/m，ky0=1.280×109N/m，初始偏心距ex0=15 m，ey0=8 m。比為15%的噪聲，識別結(jié)果如圖5及圖6所示。由以上結(jié)果可以看出，在僅已知結(jié)構(gòu)的輸入輸出信號和結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度的前提下，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波對結(jié)構(gòu)質(zhì)量、水平剛度、偏心距同時進(jìn)行識別具有較高的精度和抗噪能力，完全可以滿足工程實際識別應(yīng)用，可根據(jù)此識別結(jié)果作為布置TMD的可靠依據(jù)。

圖5 x向水平剛度kx與質(zhì)量m識別結(jié)果Fig.5 Identified results of kx and m in x direction

根據(jù)識別的偏心距ex=4.92 m，ey=3.96 m，選取結(jié)構(gòu)上A(-5 m, -4 m)，B(5 m, 4 m)和C

圖6 偏心距ex，ey識別結(jié)果Fig.6 Identified results of ex and ey

(15 m, 12 m)3個具有代表性的位置點。在A,B和C三點分別布置質(zhì)量為4.32×105kg、剛度為2.6×107N/m的TMD?？紤]地震動扭轉(zhuǎn)分量，利用彈性波理論中的頻域法，由地震動三方向平動分量，合成地震動的扭轉(zhuǎn)分量時程，對結(jié)構(gòu)施加水平兩向平動和豎向扭轉(zhuǎn)地震波激勵[17]。A，B和C點布置TMD得到的結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)加速度響應(yīng)如圖7所示，3個位置布置TMD時結(jié)構(gòu)水平加速度響應(yīng)變化很小，對每個時刻C點的響應(yīng)與A點的響應(yīng)作比，結(jié)構(gòu)的水平響應(yīng)和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)如圖8所示。

由圖7可以看出，TMD的布置位置對結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)具有明顯影響，在C點布置TMD相對具有更好的減震效果。通過圖8看出：在A點和C點分別布置TMD的x向結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的比值在1附近小幅變化，表明TMD的布置位置對結(jié)構(gòu)的平動減震影響并不明顯；A點布置TMD與C點布置TMD結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)比值約為0.7，說明TMD的布置位置對結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)減震影響較明顯。

5 結(jié)束語

在含多裂紋的梁上，在固定裂紋梁上某條裂紋的相對位置和深度時，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁固有頻率逐步減小。在含雙裂紋的梁上，隨著裂紋梁上的任意一條裂紋遠(yuǎn)離固定端，該裂紋梁固有頻率逐步增大；且第1條裂紋(靠近懸臂梁固定端的裂紋)的深度變化對該裂紋梁固有頻率的變化影響比較大。

在外激勵作用下，當(dāng)裂紋梁處于共振狀態(tài)時，固定裂紋懸臂梁上某一裂紋的相對位置和深度，隨著裂紋條數(shù)的增加，該裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐步增大；隨著第1條裂紋逐步遠(yuǎn)離固定端，該裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐步減小。在簡諧激勵作用下，固定裂紋梁上第1條裂紋的相對位置和深度，隨著裂紋條數(shù)增加，該裂紋梁共振疲勞壽命逐步減小。

在恒定外激勵頻率小于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時的外激頻率逐步接近固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸減?。辉诤愣ㄍ饧铑l率大于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時的外激頻率逐步遠(yuǎn)離固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸增大。

[1] Krawczuk M. Natural vibration of rectangular plates with a through crack[J]. Archive Applied Mechanics, 1993, 63(7): 491-504.

[2] Qian Guanliang, Gu Songnan, Jiang Jiesheng. The dynamic behaviour and crack detection of a beam with a crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 1990, 138(2): 233-243.

[3] Morassl A. Crack-induced changes in eigen-frequencies of beam structures[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1993, 119(9): 1768-1803.

[4] Ostachowicz W M, Krawczuk M.Analysis of the effect of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam[J]. Journal Sound and Vibration, 1991, 150(2): 191-201.

[5] Hu Jialou, Liang R Y. An integrated approach to detection of cracks using vibration characteristics[J]. Journal of the Franklin Institute, 1993, 330(5): 841-853.

[6] Shifrin E I, Ruotolo R. Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 222(3): 409-423.

[7] Paris P C, Erdogan F A. Critical analysis of crack propagation laws.[J]. Journal of Basic Engineering, 1963, 85(4):528-534.

[8] 張立軍. 寬帶隨機(jī)載荷下的疲勞壽命統(tǒng)一模型[J]. 振動、測試與診斷, 2014, 34(6):1022-1026.

Zhang Lijun. Unified model of fatigue life under wide-band random load[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis,2014,34(6):1022-1026. (in Chinese)

[9] Ponomarev P V, Lopatin A D.Calculation of the fatigue fracture under the influence of dynamic loads [J]. International Applied Mechanics, 1972, 8(6): 613-617.

[10] Shih Y S, Wu G Y. Effect of vibration on fatigue crack growth of an edge crack for a rectangular plate[J]. International Journal of Fatigue, 2002, 24(5): 557-566.

[11] Schlums D H. Fatigue testing and crack analysis of resonating structures[D]. Zürich: Swiss Federal Institute of Technology, 2001.

[12] 劉文光，陳國平.含裂紋懸臂梁的振動與疲勞耦合分析[J].振動與沖擊，2011，30(5)：140-144.

Liu Wengguang, Chen Guoping. Coupling analysis for vibration and fatigue of a cracked cantilever beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(5): 140-144. (in Chinese)

[13] Dimarogonas A D, Paipetis S A, Chondros T G. Analytical methods in rotor dynamics[M]. London: Applied Publishers, 2013：221-250.

[14] Tada H, Paris P C, Trwin G R. The stress analysis of cracks handbook[M]. Pennsylvania: Del Research Corporation Hellertown, 1973:82-232.

[15] Dentsoras A J, Dimarogonas A D. Resonance controlled fatigue crack propagation in a beam under longitudinal vibration[J]. International Journal of Fatigue, 1983, 23(1): 15-22.

*國家自然科學(xué)基金資助項目(51478024); 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室重點資助項目(USDE201403)

2015-03-12；

2015-04-18

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.015

TU391; TG405; TH825

馬一江，男，1989年8月生，博士生。主要研究方向為損傷結(jié)構(gòu)動力學(xué)、損傷結(jié)構(gòu)壽命預(yù)測。 E-mail:yima@nuaa.edu.cn

陳國平，男，1956年7月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。研究方向為復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)。 E-mail:gpchen@nuaa.edu.cn