相空間稀疏化的信號壓縮感知與重構(gòu)方法*

溫廣瑞, 欒日維, 任延暉, 馬再超

(西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院 西安，710049)

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相空間稀疏化的信號壓縮感知與重構(gòu)方法*

溫廣瑞, 欒日維, 任延暉, 馬再超

(西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院 西安，710049)

針對旋轉(zhuǎn)機械振動信號受強噪聲干擾導(dǎo)致傳統(tǒng)FFT頻域稀疏性差，難以進行正交匹配重構(gòu)的問題，提出了相空間稀疏化結(jié)合正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, 簡稱OMP)的信號壓縮感知(compressed sensing, 簡稱CS)方法。首先,對信號進行相空間重構(gòu)(phase space reconstruction, 簡稱PSR)，并采用主分量分析(principal component analysis, 簡稱PCA)提取主要分量和重構(gòu)信號，以提高信號的頻域稀疏性；然后,采用隨機高斯矩陣測量及壓縮頻域稀疏性得到優(yōu)化的信號;最后,采用正交匹配追蹤算法重構(gòu)信號。仿真信號和轉(zhuǎn)子典型不對中信號的分析結(jié)果表明，該方法可以提高受強噪聲干擾的振動信號在頻域內(nèi)的稀疏性，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動信號的有效壓縮和準確重構(gòu)。

壓縮感知； 相空間重構(gòu)； 主分量分析； 正交匹配

引 言

旋轉(zhuǎn)機械(如離心式壓縮機、風力發(fā)電機組、大型汽輪發(fā)電機組等)是現(xiàn)代大型企業(yè)中的核心設(shè)備，在石油、化工等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。為保障轉(zhuǎn)子、軸承和齒輪箱等核心部件長期安全穩(wěn)定運行，實時監(jiān)測其運行狀態(tài)尤為重要。然而，當前旋轉(zhuǎn)機械信息的采集通常表現(xiàn)出測點多、傳感器多、數(shù)據(jù)量大的特點，對信號的傳輸帶來了巨大壓力[4-6]，迫切需求一種有效的數(shù)據(jù)壓縮方法，以保證信號的高效傳輸。傳統(tǒng)的壓縮方法是將完整的信號樣本投影到某個稀疏域(如頻域)上，再對投影向量最重要的分量及其位置進行存儲和傳輸，浪費了計算資源與存儲空間。

文獻[7-8]提出的壓縮感知技術(shù)，突破了傳統(tǒng)采樣所必須遵循的乃奎斯特采樣定理，為數(shù)據(jù)壓縮提供了一種新的思路，并已廣泛應(yīng)用于圖像編碼、模式識別、無線通訊等方面。該理論指出，如果某個信號是稀疏的或在某個變換域內(nèi)是稀疏的，那么就可以用一個與變換基不相關(guān)的測量矩陣將該信號投影到一個低維空間上，得到一組低維的測量樣本，然后再通過求解一個關(guān)于最小范數(shù)的優(yōu)化問題的方法，就可以從這些少量的測量樣本中以高概率重構(gòu)出原信號。但實際情況中，設(shè)備運行信息通常伴有強噪聲，如果選擇頻域作為稀疏域，傳統(tǒng)的FFT方法會導(dǎo)致信號頻域內(nèi)的稀疏性變差，因此需要一種有效的信號稀疏表示方法來滿足壓縮感知理論對信號稀疏性的要求。主分量分析[9]是一種經(jīng)典的特征提取方法，其通過線性變換來實現(xiàn)特征壓縮，達到用盡可能少的維數(shù)最大限度地表示原始特征信息的目的[10-11]，同時相空間重構(gòu)[12-13]可以將信號從一維升到等效的多維信號空間，為主分量分析提供有效的數(shù)據(jù)支持，故將基于相空間表達模型的主分量分解引入到壓縮感知理論的稀疏表示部分，提高信息在頻域內(nèi)的稀疏性，則有望達到壓縮感知理論對信號稀疏性的要求。

基于以上分析，針對旋轉(zhuǎn)機械轉(zhuǎn)子振動信號信噪比低導(dǎo)致的頻域內(nèi)稀疏性差的問題，通過引入相空間表達模型的主分量分解方法，提高該類信號頻域內(nèi)的稀疏性，進而采用壓縮感知理論對優(yōu)化信號進行測量壓縮與重構(gòu)，并通過仿真信號和實驗轉(zhuǎn)子振動信號進行分析驗證，以期為旋轉(zhuǎn)機械轉(zhuǎn)子振動信號的壓縮與重構(gòu)提供一種研究思路。

1 基本概念簡介

1.1 相空間重構(gòu)

給定一個時間序列x(n),n=1,2,…，N，根據(jù)Takens[13]提出的嵌入定理，選擇某些固定的時間延遲上的數(shù)據(jù)點作為新的維數(shù)，可以重構(gòu)出一個“等價”的相空間，從而將其從一維時間序列擴展成等價的多維時間序列，如式(1)所示

(1)

其中：t為延遲時間;m為嵌入維數(shù);N為數(shù)據(jù)長度。

1.2 主分量分析

主分量分析是將含有噪聲成分的混合信號中幾個主要分量提取出來，而將不重要或者是噪聲成分予以刪除，從而用幾個主要分量來表征混合信號中的絕大部分信息的一種統(tǒng)計分析方法。

實現(xiàn)該方法的關(guān)鍵步驟是求解混合信號中各分量的投影方向ν及各分量在該投影方向上所包含的信息量大小，計算式為

(2)

其中：C為由混合信號構(gòu)造的協(xié)方差矩陣；λ為特征值，表示投影方向上的分量所含信息量的大小。

1.3 壓縮感知

信號的稀疏表示是壓縮感知的基礎(chǔ)和前提。一般來說，一個時間序列x∈Rn×1，投影到Rn空間內(nèi)的一組正交基Ψ上，得到一組表示系數(shù)s

(3)

如果s中非零元素個數(shù)為k，且k?n，則該信號在變換域Ψ上是稀疏的。由于轉(zhuǎn)子具有旋轉(zhuǎn)運行的特點，其振動信號通常會表現(xiàn)出強烈的周期性，因此常選擇三角函數(shù)基作為變換基，將信號由時域轉(zhuǎn)換為頻域，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動信號的稀疏表示。

隨機高斯矩陣(矩陣元素滿足N(0,1/m)的高斯分布)幾乎與任何稀疏表示的基都不相關(guān)，且需要的測量值數(shù)目較少，是壓縮感知理論中常用的隨機測量矩陣之一。由此，信號的稀疏表示與測量壓縮組成了壓縮感知的線性測量過程

(4)

正交匹配追蹤算法是一種貪婪迭代算法，即在每一次的迭代過程中，從過完備原子庫里(即測量矩陣)選擇與信號最匹配的原子來進行稀疏逼近，求出余量并保證余量與之前的每一個分量均正交。正交匹配追蹤算法簡單，運行速度快，精度高，是壓縮感知理論中常用的信號重構(gòu)方法之一。

2 基于相空間稀疏化方法的轉(zhuǎn)子振動信號壓縮感知

由于相空間重構(gòu)結(jié)合主分量分析，可以提取信號中的主要成分，故將其代替?zhèn)鹘y(tǒng)FFT的頻域稀疏化方法，從而達到使信號頻域內(nèi)更為稀疏的效果。此時，再利用合適的隨機矩陣和重構(gòu)算法，對頻域內(nèi)稀疏性得到優(yōu)化的信號進行測量壓縮和重構(gòu)。

2.1 基于相空間稀疏化方法的特征提取

首先根據(jù)1.1節(jié)所述，對于長度為N的一維時間序列樣本x= (x1,x2, …,xN)T進行相空間重構(gòu)。由于Hanke1矩陣近似于方陣，濾波效果最佳[14]，信號在頻域內(nèi)的稀疏性也會達到最優(yōu)，因此根據(jù)時間序列的數(shù)據(jù)長度N選擇合適的參數(shù)t和m，可得

(5)

其中：m+n-1=N且n≥2，m≥2。

文獻[10]指出，當m足夠大時，對矩陣X進行零均值化處理，得到矩陣X及其協(xié)方差矩陣，即

(6)

解關(guān)于協(xié)方差矩陣C的特征方程，如式(2)所示。把特征值按由大到小的順序排列。定義前p個特征值的累計貢獻率，如式(7)所示，即

(7)

其中：η的大小用來衡量特征提取后信息的保留程度，越大則保留的信息越多。

從式(7)中選擇對應(yīng)特征值較大的若干投影方向組成變換矩陣D，將原始樣本進行投影變換，得到提取特征后的p維樣本，即

(8)

(9)

2.2 信號的測量壓縮與重構(gòu)

式(9)所示的恢復(fù)信號，其在頻域內(nèi)的稀疏性已經(jīng)得到優(yōu)化，可以直接進行信號的稀疏表示。對優(yōu)化后的信號進行傅里葉變換，將信號轉(zhuǎn)換至頻域內(nèi)，得到一組稀疏的傅里葉系數(shù)s，再進行信號的測量壓縮。筆者選擇M行N列的隨機高斯矩陣作為測量矩陣Φ，根據(jù)式(4)對傅里葉系數(shù)s或者優(yōu)化后的信號進行測量壓縮，得到一組長度遠小于原始數(shù)據(jù)長度的離散壓縮樣本y。最后，根據(jù)離散的壓縮樣本y對信號進行重構(gòu)。本研究采用正交匹配追蹤算法來重構(gòu)信號。根據(jù)文獻[15]，正交匹配追蹤算法的步驟如下：

1) 初始化殘差r0=y,指標集Λ0=?,迭代計數(shù)t=1;

2) 尋到滿足下述最優(yōu)化問題的指標λt

(10)

3) 擴充指標集和矩陣Λt=Λt-1∪{λt}及Φt=[Φt-1φλt]，Φ0為空矩陣；

4) 求解最小二乘問題

(11)

5) 計算新的信號估計和殘差

(12)

6)t=t+1，若t

7) 重構(gòu)信號x*的非零值指標為Λm中的元素，x*中第λj個元素的值等于xt的第j個元素。

2.3 振動信號的壓縮感知流程設(shè)計

根據(jù)2.1，2.2節(jié)闡述的基于相空間稀疏化方法的振動信號壓縮感知，可以歸納出其具體步驟如下：

1) 根據(jù)時間序列的數(shù)據(jù)長度，將轉(zhuǎn)子振動信號按照式(5)構(gòu)建Hankel矩陣；

2) 按照式(6)，將Hankel矩陣構(gòu)建協(xié)方差矩陣，按照式(2)和(7)～(9)，采用PCA分析協(xié)方差矩陣，提取信號中的主要分量，濾掉噪聲，得到頻域內(nèi)稀疏性得以優(yōu)化的信號樣本；

3) 對優(yōu)化后的信號樣本進行傅里葉變換，得到頻域內(nèi)的一組稀疏系數(shù)s；

4) 按照式(4)，選取隨機高斯矩陣作為測量矩陣，對稀疏系數(shù)s進行壓縮，得到壓縮樣本y；

5) 根據(jù)壓縮樣本y，采用正交匹配追蹤算法對信號進行重構(gòu)。

對上述步驟進行總結(jié)，得到基于相空間稀疏化方法的振動信號壓縮感知流程框架，如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子振動信號壓縮感知流程
Fig．1 Flow chart of compressed sensing for rotor vibration signal

2.4 仿真信號驗證

設(shè)置仿真信號的采樣頻率為1 024 Hz，采樣長度為1 024，信號的頻率組成主要有50，100 Hz，幅值分別為1，2，并在此基礎(chǔ)上加入信噪比為4 dB的白噪聲后，其信號形態(tài)及頻譜如圖2和圖3所示。

圖2 加噪仿真信號Fig．2 Simulation signal with noise

圖3 加噪仿真信號頻譜
Fig．3 The spectrum of simulation signal with noise

從圖2可以看出，信號受到設(shè)置的白噪聲干擾，各極值點變化較大，且無法察覺到周期分量的存在；從圖3看出，信號的主要頻率成分為50，100 Hz，與設(shè)置頻率相對應(yīng)，且白噪聲表現(xiàn)出寬頻特性，信號的稀疏性不佳。

首先根據(jù)2.3節(jié)歸納的轉(zhuǎn)子振動信號的壓縮感知流程步驟1，設(shè)置m=513，n=512，首先生成513×512的Hankel矩陣如下

(13)

對Hankel矩陣進行標準化處理并根據(jù)式(6)生成512×512的協(xié)方差矩陣；采用PCA分析協(xié)方差矩陣，依次按照式(2)和(7)～(9)，提取信號中的主要分量，濾掉噪聲，得到頻域內(nèi)稀疏性得以優(yōu)化的信號樣本及其頻譜，如圖4和圖5所示。

圖4 稀疏性優(yōu)化信號Fig．4 The signal with optimum sparsity in frequency domain

圖5 稀疏性優(yōu)化信號頻譜
Fig．5 The spectrum of signal with optimum sparsity in frequency domain

對比圖2和圖4可以看出，優(yōu)化后的信號可以消除仿真信號中的噪聲，保留有用分量，突出仿真信號中的周期性規(guī)律；由圖5可以看出，重構(gòu)信號的頻譜也集中在50和100Hz兩個部分，沒有了寬頻白噪聲干擾。因此，基于Hankel矩陣的PCA降噪方法能夠很好地除仿真信號中混有的強噪聲成分，在保留信號主要信息的基礎(chǔ)上對信號頻域內(nèi)的稀疏性進行優(yōu)化。

然后，再根據(jù)2.3節(jié)中歸納的步驟3對頻域內(nèi)稀疏性得到優(yōu)化的樣本進行傅里葉變換，得到一組傅里葉系數(shù)，采用隨機高斯矩陣作為測量矩陣對這組傅里葉系數(shù)進行測量壓縮，得到一組離散的復(fù)數(shù)壓縮樣本，對其取模后如圖6所示。

圖6 壓縮樣本(M=30)
Fig．6 Compressed sample(M=30)

最后，根據(jù)得到的壓縮樣本及隨機高斯矩陣，同樣依照2.2節(jié)中OMP算法的詳細步驟對信號進行重構(gòu)，得到重構(gòu)后的信號及其頻譜，如圖7，圖8所示。

圖7 重構(gòu)優(yōu)化信號時域波形
Fig．7 The time domain waveform of reconstructed signal with optimum sparsity

圖8 重構(gòu)優(yōu)化信號頻譜
Fig．8 The spectrum of reconstructed signal with optimum sparsity

對比圖4和圖7可以看出，重構(gòu)信號(圖7)同樣表現(xiàn)出了明顯的周期性規(guī)律，且幅值與優(yōu)化信號(圖4)相吻合；對比圖5和圖8可以看出，重構(gòu)信號的頻譜集中在50Hz和100Hz處，幅值與優(yōu)化信號基本吻合；而且，根據(jù)壓縮樣本長度M、原信號樣本長度N和壓縮率k計算公式

k=M/N*100%

(14)

由式(14)可知，該方法將原數(shù)據(jù)長度為1 024的信號壓縮成長度為30的壓縮樣本，壓縮率為2.93%。由此表明，基于相空間稀疏化的壓縮感知方法是合理有效的。

3 應(yīng)用情況分析

針對轉(zhuǎn)子振動信號受到噪聲干擾，頻域內(nèi)稀疏性不佳的問題，筆者在本特利轉(zhuǎn)子試驗臺上模擬了不對中故障。試驗臺主要由轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和信號采集系統(tǒng)組成，如圖9所示。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要有電機、轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器、轉(zhuǎn)子、質(zhì)量盤和支撐部件；信號采集系統(tǒng)包括三組位移傳感器(兩組用于采集轉(zhuǎn)子振動信號，一組用于采集轉(zhuǎn)速信息)、數(shù)據(jù)采集模塊和計算機。

圖9 本特利轉(zhuǎn)子試驗臺Fig．9 Bently rotor test bench

故障信號的采樣頻率為1 024 Hz，數(shù)據(jù)長度為1 024，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速約3 000 r/min。該信號的時域波形及其頻譜如圖10、圖11所示。

由圖10可以看出，該信號的周期性受到強噪聲干擾，極值點變化劇烈；從圖11可以看出，頻域的基頻、2倍頻占主要成分，噪聲表現(xiàn)出寬頻特性，信號的稀疏性不佳。

圖10 轉(zhuǎn)子不對中信號時域波形Fig．10 The time domain waveform of rotor signal with misalignment

圖11 轉(zhuǎn)子不對中信號頻譜Fig．11 The spectrum of rotor signal with misalignment

如果直接對該信號進行傅里葉變換，得到一組傅里葉系數(shù)，然后根據(jù)2.3節(jié)中步驟4，采用隨機高斯矩陣作為測量矩陣對這組傅里葉系數(shù)進行測量壓縮，得到一組離散的復(fù)數(shù)壓縮樣本，對其取模后如圖12所示。

圖12 轉(zhuǎn)子不對中信號壓縮樣本(M=50)Fig.12 Compressed sample of rotor signal with misalignment(M=50)

然后，根據(jù)得到的壓縮樣本及隨機高斯矩陣，依照2.2節(jié)中OMP算法的詳細步驟對信號進行重構(gòu)，得到重構(gòu)后的信號及其頻譜，如圖13、圖14所示。

圖13 重構(gòu)信號時域波形Fig．13 The time domain waveform of reconstructed signal

圖14 重構(gòu)信號頻譜Fig.14 The spectrum of reconstructed signal

對比圖11與圖14可以發(fā)現(xiàn)，重構(gòu)信號的頻率成分為50，100和 160 Hz，160Hz為無關(guān)頻率成分，且50和100 Hz的頻率成分在重構(gòu)前后存在明顯的誤差。

如果采用筆者所提出的方法，則首先需要依據(jù)2.3節(jié)歸納的轉(zhuǎn)子振動信號的壓縮感知方法，設(shè)置m=513，n=512，生成513×512的Hankel矩陣如下

(15)

由對Hankel矩陣標準化處理并生成512×512的協(xié)方差矩陣；采用PCA分析協(xié)方差矩陣，依次按照式(3)和(7)～ (9)，提取信號中的主要分量，濾掉噪聲，得到頻域內(nèi)稀疏性得以優(yōu)化的信號樣本及其頻譜，如圖15和圖16所示。

圖15 稀疏性優(yōu)化后轉(zhuǎn)子振動信號Fig．15 The rotor vibration signal with optimum sparsity

圖16 稀疏性優(yōu)化后轉(zhuǎn)子振動信號頻譜Fig．16 The spectrum of rotor vibration signal with optimum sparsity

由圖15可以看出，優(yōu)化后的信號表現(xiàn)出了明顯的周期性規(guī)律；由圖16可以看出，重構(gòu)信號的頻譜也集中在基頻、2倍頻位置，幅值準確，沒有了寬頻白噪聲干擾。因此，基于Hankel矩陣的PCA降噪方法能夠很好地去除轉(zhuǎn)子振動信號中混有的白噪聲成分，在保留信號主要信息的基礎(chǔ)上對信號頻域內(nèi)的稀疏性進行優(yōu)化。

然后，根據(jù)2.3節(jié)中歸納的步驟3對頻域內(nèi)稀疏性得到優(yōu)化的樣本進行傅里葉變換，得到一組傅里葉系數(shù)，進而根據(jù)步驟4，采用隨機高斯矩陣作為測量矩陣對這組傅里葉系數(shù)進行測量壓縮，得到一組離散的復(fù)數(shù)壓縮樣本，對其取模后如圖17所示。

圖17 稀疏性優(yōu)化后信號壓縮樣本(M=50)Fig．17 Compressed sample of signal with optimum sparsity(M=50)

最后，根據(jù)得到的壓縮樣本及隨機高斯矩陣，依照2.2節(jié)中OMP算法的詳細步驟對信號進行重構(gòu)，得到重構(gòu)后的信號及其頻譜，如圖18、圖19所示。

圖18 稀疏性優(yōu)化后重構(gòu)轉(zhuǎn)子振動信號時域波形Fig．18 The time domain waveform of reconstructed rotor vibration signal with optimum sparsity

圖19 稀疏性優(yōu)化后重構(gòu)轉(zhuǎn)子振動信號頻譜Fig．19 The spectrum of reconstructed rotor vibration signal with optimum sparsity

對比圖15和圖18可以看出，重構(gòu)信號基本再現(xiàn)了原信號，表現(xiàn)出了明顯的周期性，與優(yōu)化信號幅值相差不大；對比圖16和圖19可以看出，重構(gòu)信號的頻譜同樣集中在基頻、2倍頻位置，與優(yōu)化信號幅值基本一樣；而且，該方法將原數(shù)據(jù)長度為1 024的信號壓縮成長度為50的壓縮樣本，根據(jù)式(14)可得壓縮率為4.88%。由此表明,基于相空間稀疏化的壓縮感知方法能夠?qū)κ艿皆肼暩蓴_的轉(zhuǎn)子振動信號進行測量壓縮并準確重構(gòu)。

4 結(jié)束語

針對旋轉(zhuǎn)機械振動信號在采集過程中會受到強噪聲的干擾，導(dǎo)致其頻域內(nèi)的稀疏性較差，直接應(yīng)用壓縮感知方法對其進行測量壓縮并重構(gòu)后，重構(gòu)信號與原始信號會存在較大誤差的問題，提出了相空間稀疏化的振動信號正交匹配重構(gòu)方法。通過引入相空間表達模型的主分量分解方法，提高該類信號頻域內(nèi)的稀疏性，然后采用壓縮感知理論對頻域稀疏性得到優(yōu)化的信號進行測量壓縮，進而實現(xiàn)振動信號正交匹配重構(gòu)。通過仿真信號和轉(zhuǎn)子實際振動信號的分析與驗證，表明該方法可為旋轉(zhuǎn)機械各類受噪聲干擾振動信號的壓縮與重構(gòu)提供一種新的研究思路。

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2015-04-06；

2015-08-14

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.003

TH17； TP18

溫廣瑞，男，1976年7月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向為機械運行狀態(tài)故障診斷及性能維護、現(xiàn)場動平衡理論及方法、遠程及現(xiàn)場監(jiān)測與診斷系統(tǒng)開發(fā)。曾發(fā)表《A new transient field balancing method of a rotor system based on empirical mode decomposition》(《Journal of Vibroengineering》2013,Vol.15,No.3)等論文。 E-mail：grwen@mail.xjtu.edu.cn