萬有引力定律在天文學(xué)上應(yīng)用歸類探析

魏廷智

摘要：對于力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，一般關(guān)注較多的是直線運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不僅適于直線運(yùn)動(dòng)，也適于曲線運(yùn)動(dòng)，抓住天體運(yùn)動(dòng)是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在曲線運(yùn)動(dòng)的典例這一主題，方可對萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用深入探究.

關(guān)鍵詞：萬有引力定律；天文學(xué)

萬有引力定律一般用于分析天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題或運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，基本思路有兩種：一種是沒有特別說明情況下，將天體（或人造衛(wèi)星） 繞著某中心天體的運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由萬有引力提供，即GMmr2=man=mrω2=mv2r=m4π2T2r；另一種是天體表面或附近的物體所受的重力近似等于天體對物體的萬有引力，在天體表面建立GMmR2=mg，得到黃金代換式GM=gR2

1計(jì)算天體表面（附近）重力加速度

如圖1所示，當(dāng)天體不自轉(zhuǎn)或天體的自轉(zhuǎn)可以忽略時(shí)，天體對其表面（附近）物體的引力等于該物體在天體表面所受到的重力 即GMmR2=mg，則天體表面處的重力加速度g=GMR2 同理可得天體表面附近高度h處的重力加速度，如圖2所示，g′=GM（R+h）2.

例1（2012年課標(biāo)Ⅱ卷）假設(shè)地球是一個(gè)半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體 一礦井深度為d 已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零 礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

A.1-dRB.1+dR

C.（R-dR）2D.（RR-d）2

解析物體在地面上時(shí)的重力加速度可由g=GMR2得出 根據(jù)題中條件，球殼對殼內(nèi)物體的引力為零 礦井底部可以等效為地面，設(shè)礦井以下剩余部分地球的質(zhì)量為M′，礦井底部處重力加速度可由g′=GM′（R-d）2得出，而M′M=（R-d）2R3，即g′=（1+dR）g 所以，B選項(xiàng)正確

點(diǎn)評題目難度較大，若盲目利用公式g=GMR2，沒有正確理解公式中M和R的含義，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，在萬有引力公式F=GMmr2中，正確理解每一個(gè)字母符號的意義，特別是在具體題目中，要能辨別這些字母代表該題目中哪個(gè)具體的物理量

2計(jì)算天體的質(zhì)量和密度

作為萬有引力定律在理論的成就，需要求解天體的質(zhì)量和密度，利用天體表面物體所受重力等于天體對物體的引力和觀測衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，是測量天體質(zhì)量的重要方法

21“稱”量天體質(zhì)量

不考慮天體自轉(zhuǎn)，天體表面物體所受重力等于天體對物體的引力 根據(jù)GMmR2=mg，知道天體表面的重力加速度g和半徑R，英國物理學(xué)家卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室通過幾個(gè)鉛球間萬有引力測量并計(jì)算出了引力常量G，這樣就可算出天體的質(zhì)量M，他稱這種計(jì)算天體質(zhì)量的方法為“稱”天體的質(zhì)量

例2一宇航員站在某一星球表面上，沿水平方向拋出一小球，經(jīng)過時(shí)間t落回到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為L，若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為3L，已知兩拋出點(diǎn)在同一水平面上，該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求該星球質(zhì)量

解析如圖3所示，設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次以初速度v拋出物體做平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程為x，當(dāng)初速度增大到2倍，水平射程為2x 由幾何關(guān)系：

L2=h2+x2

（3L）2=h2+（2x）2

解得h=33L.

設(shè)星球表面重力加速度為g，星球的質(zhì)量為M，小球質(zhì)量為m

豎直方向h=12gt2，

又因?yàn)镚MmR2=mg，

聯(lián)立以上式子解得M=23LR23Gt2.

例3一宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球表面后，為了測定該星球的質(zhì)量，做如下的實(shí)驗(yàn)：取一根細(xì)線穿過光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端栓一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連接在一固定的測力計(jì)上，手握細(xì)直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng) 如圖4所示，此時(shí)觀察測力計(jì)得到砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)兩位置時(shí)，測力計(jì)的讀數(shù)差為ΔF，已知引力常量為G，試根據(jù)題中所提供的條件和測量結(jié)果，求出該星球的質(zhì)量M

解析設(shè)砝碼在豎直平面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)受到細(xì)繩的拉力（測力計(jì)的讀數(shù)）分別為F1和F2 根據(jù)牛頓第二定律，有

砝碼在最高點(diǎn)：F1+mg=mv21r，

砝碼在最低點(diǎn)：F2-mg=mv22r，

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

12mv21+mg·2r=12mv22，

聯(lián)立以上三式，解得g=ΔFm

星球表面上質(zhì)量為m的物體所受重力等于萬有引力，即GMmR2=mg

則該星球的質(zhì)量M=R2gG=R2ΔF6Gm

點(diǎn)評“稱”天體的質(zhì)量，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)或平拋運(yùn)動(dòng)等力學(xué)規(guī)律求出天體表面的重力加速度是關(guān)鍵，再利用天體對其表面物體的引力等于該物體在天體表面所受重力的思路求出天體的質(zhì)量.

對于天體的密度，將天體看作球體，體積V=43πR3，根據(jù)ρ=MV，求出天體的密度

22計(jì)算中心天體的質(zhì)量和密度

如圖5所示，將環(huán)繞天體m（行星或人造衛(wèi)星）看作質(zhì)點(diǎn)，它將環(huán)繞中心天體M做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

環(huán)繞天體所需要的向心力來自于中心天體和環(huán)繞天體之間的萬有引力.

根據(jù)牛頓第二定律，有

GMmr2=man=mrω2=mv2r=m4π2T2r，已知或測出相關(guān)量，即可求出中心天體的質(zhì)量M

在天文學(xué)中，環(huán)繞天體的線速度v、角速度ω都比較難以測量，而比較容易測量的是軌道半徑r和環(huán)繞周期T，所以GMmr2=m4π2T2r比較常用，由此得到中心天體的質(zhì)量M=4π2r3GT2 該中心天體密度為ρ=MV=3πr3GR3T2（R為中心天體的半徑） 當(dāng)衛(wèi)星沿中心天體表面運(yùn)行（近地衛(wèi)星）時(shí)，r = R，則ρ=MV=3πGT2

例4 （2011年安徽理綜） （1）開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即a3T2，k是一個(gè)對所有行星都相同的常量 將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式 已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M太；

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立 經(jīng)測定月地距離為384×108m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為236×106s，試計(jì)算地球的質(zhì)量M地.（ G=667×10-11 N·m2/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

解析（1）因行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道半徑半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

GMm行r2=m行（2πT）2r，

于是有r3T2=G4π2M太，

即k=G4π2M太

（2）在地月系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期為T，由K=G4π2M地，解得

M地=6×1024kg

點(diǎn)評題目考查了萬有引力定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解引力公式中r和T的含義，能區(qū)分中心天體和環(huán)繞天體的各個(gè)參量，特別是不同行星的軌道半徑，題目中要將太陽系的問題轉(zhuǎn)移到地月系統(tǒng)，分析解答需要正確理解萬有引力公式中各字母的含義與題目中已知量的關(guān)系

3人造衛(wèi)星

萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)使地球人造衛(wèi)星發(fā)射、運(yùn)行、變軌和回收成為可能，1957年10月4日世界上第一顆人造地球衛(wèi)星在前蘇聯(lián)發(fā)射成功，2003年10月15日，我國神舟五號宇宙飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功，把中國第一位航天員楊利偉送入太空，實(shí)現(xiàn)了中華民族千年的飛天夢想，為空間科學(xué)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

31人造衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行

人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的共同點(diǎn)是各圓形軌道的圓心均為地心，所需向心力由萬有引力提供，即可解決人造衛(wèi)星穩(wěn)定運(yùn)行類問題

例5（2011年天津理綜） 質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng) 已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的

A.線速度v=GMR

B.角速度ω=gR

C.運(yùn)行周期T=2πRg

D.向心加速度a=GmR2

解析在月球表面，航天器做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑近似為月球半徑R，由萬有引力提供向心力有

GMmR2=man=mRω2=mv2R=m4π2T2R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，GMmR2=mg，由以上關(guān)系得到相關(guān)物理量

v=GMR，ω=Rg，T=2πRg，a=GMR2

所以A、C選項(xiàng)正確

點(diǎn)評題目將地球衛(wèi)星知識(shí)遷移到月球衛(wèi)星上，探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，是近月衛(wèi)星，注意推導(dǎo)出衛(wèi)星運(yùn)行是各物理量與軌道半徑的關(guān)系，即軌道半徑是聯(lián)系各物理量的橋梁

32人造衛(wèi)星的變軌運(yùn)行

當(dāng)穩(wěn)定運(yùn)行的衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí)（開啟或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或空氣阻力作用），萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行

（1）當(dāng)衛(wèi)星v增大時(shí)， 所需向心力Fn=mv2r增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，萬有引力做負(fù)功，衛(wèi)星動(dòng)能減小， v減小，某時(shí)刻F萬=Fn時(shí)，衛(wèi)星就進(jìn)入新的圓軌道勻速運(yùn)行，由v=GMr可知其運(yùn)行速度要減小，但重力勢能、機(jī)械能均增加這一過程即為人造星的發(fā)射原理

（2）當(dāng)衛(wèi)星的v突然減小時(shí)，所需向心力Fn=mv2r減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑變小，萬有引力做正功，衛(wèi)星動(dòng)能就會(huì)增大，v增大，某時(shí)刻F萬=Fn時(shí)，衛(wèi)星進(jìn)入新圓軌道勻速運(yùn)行，由v=GMr可知運(yùn)行速度將增大，但重力勢能、機(jī)械能均減少 這一過程即為人造衛(wèi)星的回收原理

例6 （2010年江蘇高考）2009年5月，航天飛機(jī)在完成對哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后，在A點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點(diǎn)，如圖6所示 關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的有

A.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度

B.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的動(dòng)能

C.在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期

D.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度

解析根據(jù)開普勒第二定律，近地點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，A選項(xiàng)正確；航天飛機(jī)由Ⅰ軌道變道Ⅱ需要減速，在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度，B選項(xiàng)正確；根據(jù)開普勒第三定律r2T2=K，RⅡ< RⅠ，TⅡ< TⅠ，C選項(xiàng)正確；根據(jù)牛頓第二定律GMmr2=man可知，D選項(xiàng)錯(cuò)誤

點(diǎn)評題目是衛(wèi)星運(yùn)行中的變軌問題，關(guān)鍵是正確理解萬有引力與向心力之間的關(guān)系，掌握開普勒三定律和人造衛(wèi)星穩(wěn)定運(yùn)行的特點(diǎn)，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律解決此類問題

例7地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3=a2b2c4π2求出 已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2 則

A.a是地球的半徑，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是地球表面處的重力加速度

B.a是地球的半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，c是同步衛(wèi)星的加速度

C.a是赤道周長，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是同步衛(wèi)星的加速度

D.a是地球的半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，c是地球表面處的重力加速度

解析對于地球同步衛(wèi)星，萬有引力提供它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，GMmr2=m（2πT）2r，物體在地面上所受引力等于重力，GMm0R2=m0g，聯(lián)立解得r3=R2T2g4π2 所以A、D選項(xiàng)正確

點(diǎn)評題目涉及地球同步衛(wèi)星，同步衛(wèi)星又叫通信衛(wèi)星，它的特點(diǎn)是指在赤道平面內(nèi)且在赤道正上方，與地球自轉(zhuǎn)具有相同的ω和T，相對地面靜止

4三種宇宙速度

第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，地球的第一宇宙速度為v1=79 km/s；第二宇宙速度為（脫離速度）v2=112 km/s，是使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度；第三宇宙速度為（逃逸速度）v3=167 km/s，是使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度

例8（2009年北京理綜）已知地球半徑為R，地球的表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響

（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式；

（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T

解析（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，在地球表面附近滿足GMmR2=mg，得到GM=gR2

衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力GMmr2=mv21r，聯(lián)立得到v1=Rg

（2）衛(wèi)星受到的萬有引力F=GMm（R+h）2，根據(jù)GM=gR2，得到F=GmgR2（R+h）2，由牛頓第二定律

F=m4π2T2（R+h），解得T=2πR（R+r）3g

點(diǎn)評計(jì)算地球第一宇宙速度一般有兩種方法：一是不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，滿足mg=mv21r；二是萬有引力提供向心力，滿足GMmr2=mv21r，對于不同星球，第一宇宙速度不同，計(jì)算方法相同

萬有引力理論的成就，主要在求解天體的質(zhì)量和人造衛(wèi)星質(zhì)量兩個(gè)方面，通過歸納和探究，使學(xué)生形成知識(shí)框架和解決這類問題的基本思路，培養(yǎng)理論知識(shí)解決實(shí)際問題的習(xí)慣和能力