非均勻節(jié)點情形下的一類三角B樣條曲線

謝宇迪，蔣新昕

(遼寧師范大學 數(shù)學學院 ,遼寧 大連116029)

非均勻節(jié)點情形下的一類三角B樣條曲線

謝宇迪，蔣新昕

(遼寧師范大學 數(shù)學學院 ,遼寧 大連116029)

給出一類在非均勻節(jié)點情形下帶參數(shù)的三角B樣條基函數(shù)，討論了這類基函數(shù)的性質(zhì)以及在重節(jié)點情形時的變化,并利用這類基函數(shù)構造了相應的三角B樣條曲線，這類曲線具有與二次非均勻B樣條曲線相似的性質(zhì)。在控制頂點不變的情況下，可以通過改變形狀參數(shù)取值來調(diào)節(jié)曲線的形狀。此外，它還能精確表示圓、橢圓等曲線。

非均勻B樣條；基函數(shù)；曲線設計

0 引言

三角樣條曲線在計算機輔助幾何設計中被廣泛地應用[1]，SCHOENBERG I J[2]首次提出三角樣條的概念, 韓旭里教授在三角樣條函數(shù)的研究中，提出并討論了分段的二次三角多項式曲線、三次三角多項式曲線及帶有參數(shù)的二次三角多項式曲線[3-5]的性質(zhì)和應用 ；文獻[6]提出了k(k≥2)階的帶形狀參數(shù)三角多項式均勻B樣條曲線，可以精確表示圓、橢圓等一些曲線；文獻[7]提出了帶多形狀參數(shù)的非均勻三角多項式曲線，它是同類型單形狀參數(shù)曲線的推廣。

本文給出了另一類基于四點分段的帶參數(shù)非均勻二次三角B樣條曲線，當所有節(jié)點等距時，此類曲線即成為文獻[8]中的均勻二階三角B樣條曲線，對于給定控制點，利用參數(shù)的不同取值可以局部或整體地控制曲線形狀，而無須通過改變控制點調(diào)整曲線的形狀，此外，還給出了該曲線表示橢圓和圓的方法。通過實例表明，所給曲線具有結構簡單、使用靈活的優(yōu)點，為曲線設計提供了一種有效的方法。

1 帶形狀參數(shù)二階三角B樣條基函數(shù)

定義1 任給節(jié)點u0

bi(u)=

(1)

為第i個帶形狀參數(shù)μi,λi+1,μi+2,λi+3的非均勻二階三角B樣條基函數(shù)。其中

從式(1)可知基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：當ui0；

性質(zhì)2：當u0≤u≤ui或ui+4≤u≤un+4時，bi(u)=0；

性質(zhì)4：在實際應用中有時需要利用重節(jié)點技術，與單形狀參數(shù)情況類似，當基函數(shù)的節(jié)點重數(shù)k≤4時，這時只要把對應的區(qū)間縮小為0，并去掉基函數(shù)的相應段即可。例如當ui+3=ui+4時，Δui+3=0，進行如下定義：

bi(u)=

(2)

容易證明重節(jié)點時多形狀參數(shù)的基函數(shù)的連續(xù)性有如下定理：

定理1 如果u=uj是基函數(shù)bi(u)的k(k=2,3,4;j=i+1,i+2,i+3,i+4)重節(jié)點,則基函數(shù)的支撐區(qū)間從4減少為5-k段，k=2,3時基函數(shù)連續(xù)，k=4時不連續(xù)。

圖1表示重節(jié)點時的基函數(shù)，這里的節(jié)點u=0為三重節(jié)點，可知由于參數(shù)的取值不同，多形狀參數(shù)的二次三角多項式基函數(shù)(虛線)呈現(xiàn)不對稱，單形狀參數(shù)的基函數(shù)(實線)對稱。

圖1 重節(jié)點時的基函數(shù)

2 基函數(shù)的連續(xù)性

定理2 設節(jié)點向量U={u0,u1,...un+4}滿足u0

由αi，βi的定義可知：

經(jīng)計算可得：

圖2表示均勻節(jié)點下的基函數(shù)的圖像。其中實線表示形狀參數(shù)λi=μi=1時 ，即單形狀參數(shù)的情形；虛線表示均勻節(jié)點下多形狀參數(shù)的基函數(shù)圖像，虛線對應的λi=(0.4,1,1,0.8,0.3,0)，i=1,2,3,4,5 ;μi=(0.5,0.8,0.2,0.4,0,0.1),i=0,1,…4。

圖3表示形狀參數(shù)λi、μi對非均勻節(jié)點的基函數(shù)的影響。其中節(jié)點向量為U={0,2,5,6,8,12,13,15,20,27}，實線表示單形狀參數(shù)的基函數(shù)圖像，虛線表示多形狀參數(shù)的基函數(shù)圖像，形狀參數(shù)的取值與圖2相同。由此可見，多參數(shù)對基函數(shù)的影響使其左右發(fā)生變化，故可作局部調(diào)控。

圖2 均勻節(jié)點的基函數(shù)

圖3 非均勻節(jié)點的基函數(shù)

3 二次三角B樣條曲線

定義2 任給R2或R3中的控制點p0,p1,...pn，節(jié)點向量U=(u0,u1,...,un+4)及形狀參數(shù)-1<λi,μi≤1，則：

(3)

稱為多形狀參數(shù)的二次非均勻三角B樣條曲線，其中bi(u)由式(1)所定義。 當ui

(4)

由基函數(shù)的定義可知，式(4)定義的曲線實際上含有4個形狀參數(shù)μi、λi+1、μi-1、λi，利用這些參數(shù)可以達到整體及局部可調(diào)，以下分兩種情況討論：

(1)當μi=λi=μi-1=λi+1=μ時，即為單參數(shù)曲線，αi、βi與形狀參數(shù)無關，μ增大時，曲線越靠近線段Pi-2Pi-1，μ起整體調(diào)控的作用。圖4的曲線從上到下μ=1、0.5、0。

(2)當λi≠μi-1且μi≠λi+1時，這時αi、βi與形狀參數(shù)有關，當λi=-1，μi=-1 時曲線段為直線段Pi-3Pi。圖5中,曲線2的μ1=-0.5,λ2=0.8,μ3=-1,λ4=0.2,可見曲線右端變而左端不變；曲線3的μ1=1,λ2=-1,μ3=1,λ4=0.5，曲線左端變而右端不變；曲線1參數(shù)取μ1=0.5,λ2=λ4=0.8,μ3=-1，可見多參數(shù)比單參數(shù)更具靈活可調(diào)控性。

圖4 單形狀參數(shù)曲線

圖5 多形狀參數(shù)曲線

4 橢圓及整圓的表示

定理3 如果給定4個控制頂點Pi-3(-a,-b)，Pi-2(-a,b)，Pi-1(a,b)，Pi(a,-b)，其中a、b是均不為0的實數(shù)，節(jié)點等距，且令λi=μi=0，當u∈[ui,ui+1]時，ri(u) 為一段橢圓弧。

證明： 根據(jù)式(4)

經(jīng)計算，有

(5)

這即為橢圓的四分之一參數(shù)方程。

推論1 對于二次三角B樣條曲線，如果控制頂點為P0(-a,-b),P1(-a,b),P2(a,-b)，P3(a,-b)，P4(-a,-b)，P5(-a,b)，P6(a,b)，則ri(u) 為一段橢圓。若a=b，則為整圓。圖6為橢圓。

圖6 橢圓

5 實例應用

開區(qū)間和閉曲線的構造是曲線設計中的基本內(nèi)容，為保證生成開的二次三角B樣條曲線，只要令p0=2p1-p2，pn+1=2pn-pn-1，可構造插值于p1和pn且在u1和un處分別以p2-p1和pn-pn-1為切向量的開三角B樣條曲線。圖7表示單形狀參數(shù)，λi=μi=0,0.5;圖8表示多形狀參數(shù)，實線對應λi=(0.4,0,0,0,-0.5,0,0.8)，i=2,3,...,8，μi=(0.5,0.8,0,2,0.4,0.5,-0.2,0)，i=1,2,...,7。

圖7 單參數(shù)下的開曲線

圖8 多參數(shù)下的開曲線

圖9 單形狀參數(shù)下閉曲線

圖10 多形狀參數(shù)下閉曲線

6 結論

本文給出了在非均勻節(jié)點情形下多參數(shù)的一類二階三角B-樣條曲線，該曲線是基于四點分段，即曲線每一段只與4個控制點有關。同時它也具有二次B樣條曲線的許多重要性質(zhì)，如連續(xù)性、凸包性、幾何不變性等。并且通過參數(shù)的取值不同可以達到整體或局部形狀調(diào)控，應用重節(jié)點的技巧可以生成以此類基函數(shù)構造的開曲線和閉曲線。此外，它還可以表示橢圓及圓等圓錐曲線。

[1] 李成剛,馮靜,凌玲.基于WPF交互式繪圖系統(tǒng)的開發(fā)[J].微型機與應用,2011,30(6):50-52.

[2] SCHOENBERG I J. On trigonometric spline interpolation[J].J.Math.M.,1964,13(5):795-825.

[3] Han Xuli. Piecewise quadratic trigonometric polynomial curves[J].Mathematics of Computation, 2003,72(243):1369-1377.

[4] Han Xuli. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J].Computer Aided Geometric Design,2004,21(6):535-548.

[5] 吳曉勤,韓旭里.帶參數(shù)的二次三角多項式樣條曲線[J].工程圖學學報，2006,27(1)：93-97.

[6] 王文濤,汪國昭.帶形狀參數(shù)的三角多項式均勻B樣條[J].計算機學報，2005,28(7)：1192-1198.

[7] 謝進，鄔弘毅，鄧四清，等.多形狀參數(shù)的二次非均勻三角多項式曲線[J].工程圖學報，2007,28(5)：291-295.

[8] 王晶昕,王迪.均勻結點情形下的兩類二階三角B樣條曲線[J].遼寧師范大學學報：自然科學版，2014,37(3):297-303.

Littelfuse雙向瞬態(tài)抑制二極管陣列保護高速接口免受ESD侵害——適合保護HDMI、USB2.0、USB3.0和eSATA等高速接口

中國，北京，2017年3月28日訊——Littelfuse公司作為全球電路保護領域的領先企業(yè)，今日宣布推出了一個旨在保護電子設備免受破壞性靜電放電(ESD)損壞的瞬態(tài)抑制二極管陣列(SPA?二極管)系列產(chǎn)品。 SP3042系列雙向分立型瞬態(tài)抑制二極管陣列包括采用硅雪崩技術制造的反向瞬態(tài)抑制二極管，它可安全吸收IEC 61000-4-2國際標準(±30 kV接觸放電)所規(guī)定最高值的反復性ESD震擊，而不會造成性能減退。 當空間利用率極高的01005封裝存在交流信號時，反向配置可為數(shù)據(jù)線提供對稱ESD保護。 該系列產(chǎn)品的低負載電容(VR=0 V條件下為0.35 pF，典型值)使其成為保護HDMI2.0、USB2.0、USB3.0和eSATA等高速接口的理想選擇。

SP3042系列瞬態(tài)抑制二極管具備下列關鍵優(yōu)勢：

?雙向設計可確保在印刷電路板(PCB)上放置零件時實現(xiàn)組裝靈活性。

?可在整個工作電壓范圍內(nèi)提供線性頻率響應性能，這是高速接口保護的一個重要考慮因素。

?低動態(tài)電阻(僅為0.5 Ω)使其能對ESD事件作出快速響應。

?為電壓高達30 kV和浪涌電流高達2 A(8/20 μs)的高速接口提供全面的ESD保護。

(Littelfuse公司 供稿)

A type of trigonometric B-spline curves in non-uniform knot area

Xie Yudi，Jiang Xinxin

(School of Mathematics， Liaoning Normal University, Dalian 116029,China)

The basis function of non-uniform trigonometric B-spline with shape parameter is constructed and its properties and variation of basis function at the multiple points are discussed.Based on the basis function,a trigonometric B-spline curve is defined.This curve possesses properties similar to those of quadratic non-uniform B-spline. By changing values of the shape parameters,it can adjust the curve shape without changing the control points.Besides, the circle and ellipse can be represented with the basis function accurately.

non-uniform B-spline;basis function;curve design

TP391

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.07.014

謝宇迪，蔣新昕.非均勻節(jié)點情形下的一類三角B樣條曲線[J].微型機與應用，2017,36(7)：46-49.

2016-12-14)

謝宇迪(1993-)，通信作者,女，碩士研究生，主要研究方向：計算機輔助幾何設計。E-mail:897233076@qq.com。

蔣新昕(1993-)，女，碩士研究生，主要研究方向：計算機輔助幾何設計。