例談數列教學中數學思想的提煉與滲透

蔣文梅

摘 要：數列是我們中學數學的重點內容，也是歷年考試考查的熱點。在我們的數列教學過程中，如果能夠挖掘、提煉教材本身蘊涵的數學思想，并有意識地對學生進行滲透，有著十分重要的意義。本文結合我的教學實踐并以一些具體的試題為例，將幾種重要的數學思想梳理總結。

關鍵詞：高中數學；數列教學；數學思想

一、函數的思想

可以說，有數學的地方往往也就有函數，而等差、等比數列的通項公式，前 項和的公式都可看成正整數 的函數，因而數列問題往往可轉化為函數問題來解答。

例1.等差數列的前 項和為30，前 項和為100，則它的前 項和為（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

分析：本題解法很多，但若由 ，這表明 是n的一次函數，從而由 、 、 三點共線，易得 故選（C）

二、方程的思想

解決數列問題的最常規(guī)思路就是利用各基本量 之間的關系，聯(lián)立方程組求解。這種基本方法體現(xiàn)了方程的思想。

例2.設 是等差數列 的前 項和，已知 與 的等比中項為 ，而 與 的等差中項為1，求等差數列 的通項公式 .

分析：

由

故所求通項公式為： 或

說明：運用方程思想求解，有時會運算較繁，這就需要結合所聯(lián)立方程（組）的特點，注意解方程（組）的技巧，等以達到求簡、優(yōu)化的目的。

注：函數與方程是高中數學的重點內容，它貫穿于數學教學的全過程，學會用函數與方程思想去認識和處理各種背景的數學問題，是高中學生必須具備的數學素養(yǎng)，也是歷年高考熱點。在教學中應擺在重要位置，加強訓練。

三、對稱的思想

等差（等比）數列的各項均具有對稱性，如到首末兩端等距離的兩項的和（積）相等；項數和相同的兩項的和（積）相等；有窮數列末項除外，從第2項起，每一項都是與它等距離的兩項的等差（比）中項，等等。運用這種對稱思想解題常會使解法來得簡捷。

例3.設等差數列 的前 項和為 已知 指出 中，哪一個最大？并說明理由。

分析：由等差數列的對稱性

知 是遞減數列，故 最大。

說明：該題也可用函數的思想來獲解，但不如上解利用對稱的思想解決來得簡捷而美妙！而且，這種對稱思想本身就體現(xiàn)了數學的美，在數學教學中，提高學生理解和欣賞數學的美，可大大激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，提高學生的數學品位。

四、一般與特殊的思想

由于特殊情況包含于一般情況之中，所以凡一般情況下具有的性質，特殊情況下也應具有；而在特殊情況下不具備的性質，一般情況下也必不具備。運用這種一般與特殊的思想來指導解題常會收到意想不到的效果。

例4.設數列 公比不相等的兩個等比數列， 證明：數列 不是等比數列

分析：據統(tǒng)計，多數考生仍然按證明一個數列不是等比數列的一般方法，去論證 （一般），殊不知，這樣運算量大，變形也很復雜。事實上，只要論證 （特殊）就足以說明 不是等比數列。證明過程（略）。

五、分類討論的思想

分類討論思想是中學數學中最重要的數學思想之一，在數列的相關公式中也體現(xiàn)的較為充分。

例5.設等比數列 的前 項和為 若 ，求公比 .

分析：（1）當 時 ， ，而 ， 與題設矛盾，故

（2）

說明：許多考生遺漏了對“ ”的情形，造成“對而不全”，遇見字母要討論的意識，即分類討論的思想，必須給予強化，這不僅是解題的需要，也是訓練學生思維周密性不可缺少的環(huán)節(jié)！

數列中蘊涵豐富的數學思想，它們是解題的指導思想，較之數學知識與技能，具有更高的層次。作為我們教師，不能只在高三復習中滲透數學思想，更重要的是要在高一、高二的平時教學中有意識地對學生進行潛移默化的熏陶。作為學生，在學習過程中，應逐步領悟數學思想的重要性，并自覺運用數學思想分析、解決問題，以增強自己運用數學思想的意識和能力。