網(wǎng)格數(shù)及體積比對(duì)微結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的影響分析

杜大翔 杜義賢，2 尹藝峰 周 鵬 田啟華

(1. 三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 宜昌 443002)

網(wǎng)格數(shù)及體積比對(duì)微結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的影響分析

杜大翔1杜義賢1，2尹藝峰1周 鵬1田啟華1

(1. 三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 宜昌 443002)

基于拓?fù)鋬?yōu)化理論，采用均勻化方法與能量法，建立了以負(fù)泊松比定義為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，分別在不同網(wǎng)格數(shù)目和不同體積比情況下求解得到相應(yīng)微結(jié)構(gòu)的二維最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型，通過(guò)對(duì)網(wǎng)格數(shù)目及體積比采取控制變量原則，對(duì)求解后的拓?fù)錁?gòu)型結(jié)構(gòu)及迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的收斂曲線對(duì)比，分析了網(wǎng)格數(shù)目及體積比對(duì)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的影響．

微結(jié)構(gòu)； 拓?fù)鋬?yōu)化； 負(fù)泊松比； 拓?fù)錁?gòu)型

1987年由Lakes[1-2]首次制備出了負(fù)泊松比泡沫材料，明確提出了負(fù)泊松比這一概念，Lakes認(rèn)為負(fù)泊松比現(xiàn)象的產(chǎn)生來(lái)自于特殊的元胞形狀，能夠產(chǎn)生負(fù)泊松比的元胞都具有內(nèi)凹的形狀特點(diǎn)，在受到軸向壓縮的時(shí)候，內(nèi)凹的部分會(huì)產(chǎn)生橫向的壓縮變形，元胞表現(xiàn)出收縮特性，從而表現(xiàn)出剛度、強(qiáng)度等的增強(qiáng)效應(yīng)．基于此，很多學(xué)者專(zhuān)家對(duì)于負(fù)泊松比材料的二維微結(jié)構(gòu)展開(kāi)了研究．Scarpa等[3-4]利用有限元法研究了元胞夾角與內(nèi)凹六邊形等效性能的關(guān)系，認(rèn)為元胞夾角的大小對(duì)于負(fù)泊松比材料的力學(xué)性能有著重要的影響．盧子興等[5-6]提出了一種綜合內(nèi)凹六邊形和正六邊形幾何特點(diǎn)的二維負(fù)泊松比元胞，認(rèn)為實(shí)驗(yàn)制備出的負(fù)泊松比泡沫具有不均勻性，并且研究了不同沖擊速度下的負(fù)泊松比多胞結(jié)構(gòu)的變形和性能，認(rèn)為在低速?zèng)_擊過(guò)程中負(fù)泊松比的效應(yīng)更加明顯．Alderson等[7-9]建立了不同棱邊數(shù)的手型多胞結(jié)構(gòu)軸向壓縮力學(xué)模型，認(rèn)為棱數(shù)為4和6的手型結(jié)構(gòu)能產(chǎn)生負(fù)泊松比．這些學(xué)者研究并給出了具有負(fù)泊松比特性的二維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)這類(lèi)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負(fù)泊松比性質(zhì)均是因其具有特殊的內(nèi)凹結(jié)構(gòu)形式的特性，但在理論上并未過(guò)多的解釋哪些因素直接決定了二維拓?fù)錁?gòu)型．張衛(wèi)紅、Liang Xia等[10-11]基于能量法和均勻化方法實(shí)現(xiàn)了材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性性能的預(yù)測(cè)，并計(jì)算得到了具有負(fù)泊松比特性的微結(jié)構(gòu)．

因此，本文基于拓?fù)鋬?yōu)化理論[12-13]和能量法[14-15]，以負(fù)泊松比定義為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型．通過(guò)對(duì)網(wǎng)格數(shù)目及體積比采取控制變量法，來(lái)確定這兩個(gè)因素分別對(duì)于所求解的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的影響程度．

1 優(yōu)化模型的建立及等效彈性系數(shù)矩陣的求解

1.1 優(yōu)化模型的建立

(1)

式中，D1111、D1122分別為等效彈性系數(shù)矩陣D沿1方向的彈性模量及由于1方向的伸長(zhǎng)應(yīng)變對(duì)2方向產(chǎn)生的彈性模量．V(x)為材料體積，x為設(shè)計(jì)變量，f為體積比，V0為設(shè)計(jì)域體積，為避免在優(yōu)化過(guò)程中，單元?jiǎng)偠染仃嚦霈F(xiàn)奇異，取δmin=0.001．

1.2 等效彈性系數(shù)矩陣D求解

基于均勻化方法，在微觀下的非均質(zhì)結(jié)構(gòu)可以等效為在宏觀下的均質(zhì)結(jié)構(gòu)，其等效形式如圖(1)所示．

圖1 微結(jié)構(gòu)等效示意圖

所對(duì)應(yīng)的初始等效公式為：

(2)

式中，Y為單胞體積，xkl為載荷kl在周期性單胞體Y允許范圍內(nèi)的位移場(chǎng)，便于數(shù)值計(jì)算，單體應(yīng)變能可以表示為：

(3)

由材料力學(xué)中胡克定律：

(4)

公式(3)可進(jìn)一步表示為：

(5)

結(jié)合公式(3)、(5)，在已知平均應(yīng)變?chǔ)徘闆r下，可以求解得到對(duì)應(yīng)的4種不同情況下的應(yīng)變能E，即

進(jìn)一步得到的二維負(fù)泊松比材料微結(jié)構(gòu)等效彈性系數(shù)矩陣D：

(6)

2 敏度分析

目標(biāo)函數(shù)c1對(duì)設(shè)計(jì)變量x求一階導(dǎo)數(shù)，即

(7)

結(jié)合有限元方程：

(8)

式中，K為單元?jiǎng)偠染仃嚕現(xiàn)、U分別為微結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量與結(jié)點(diǎn)位移向量．

基于能量法，微結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)變能通式可以表示為：

(9)

式中，n表示上述4種不同的情況，n=1，2，3，4．

由公式(8)、(9)可得微結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)設(shè)計(jì)變量x求導(dǎo)：

(10)

其中

(11)

由公式(6)、(9)、(10)可得：

(12)

式中，p為懲罰因子．

綜上，二維負(fù)泊松比材料微結(jié)構(gòu)等效彈性系數(shù)矩陣的敏度分析可以表示為：

(13)

結(jié)合有限元分析，通過(guò)敏度分析、OC優(yōu)化準(zhǔn)則，可對(duì)上述所建立的優(yōu)化模型求解．

3 數(shù)值算例

根據(jù)上述構(gòu)建的優(yōu)化模型，基于能量法與拓?fù)鋬?yōu)化理論，選取實(shí)體材料的彈性模量E0=2.1×105N/mm2，泊松比μ=0.3，在體積比分別取f=0.2、0.4、0.6、0.8，網(wǎng)格數(shù)目分別取N=40×40、100×100、150×150求解得到對(duì)應(yīng)微結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型，具體結(jié)果見(jiàn)表1(表1中最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型圖中黑色表示實(shí)體材料部分，白色表示孔洞部分)，目標(biāo)函數(shù)c1與迭代次數(shù)收斂曲線如圖2所示．

表1 不同情況下微結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型

圖2 材料體積比0.2、0.4、0.6、0.8時(shí)不同網(wǎng)格數(shù)目下的目標(biāo)函數(shù)值收斂曲線

算例分析：

1)由表2可知，同一材料體積比(除體積比為0.6時(shí)網(wǎng)格數(shù)目N=40×40與網(wǎng)格數(shù)目N=100×100，150×150在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上有較大差異)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型在結(jié)構(gòu)上有相似性，且網(wǎng)格數(shù)目越大，拓?fù)錁?gòu)型越精細(xì)．體積比為0.2得到的拓?fù)錁?gòu)型太稀疏可能導(dǎo)致拓?fù)錁?gòu)型的不連續(xù)性，而體積比為0.8得到的拓?fù)錁?gòu)型太濃密，在滿足結(jié)構(gòu)力學(xué)性能要求的同時(shí)，耗材過(guò)大．

2)由圖2可知，材料體積比為0.2的目標(biāo)函數(shù)收斂后不穩(wěn)定有輕微的振蕩，材料體積比為0.4、0.6、0.8的目標(biāo)函數(shù)收斂后基本保持穩(wěn)定．

4 結(jié) 論

本文基于拓?fù)鋬?yōu)化理論和能量法，建立了以泊松比定義為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，從算例分析可得，體積比在最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型上有較大影響而網(wǎng)格數(shù)目主要決定了拓?fù)錁?gòu)型的精細(xì)程度，且體積比的選擇在0.4～0.6范圍時(shí)，既不會(huì)影響拓?fù)錁?gòu)型的連續(xù)性也不會(huì)導(dǎo)致耗材過(guò)大．

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[責(zé)任編輯 張 莉]

Analysis of Influence of Mesh Number and Volume Ratio on Microstructure Topological Configuration

Du Daxiang1Du Yixian1,2YinYifeng1Zhou Peng1Tian Qihua1

(1. College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges Univ., Yichang, 443002,2. Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design & Maintenance, China Three Gorges Univ., Yichang, 443002)

Based on the topology optimization theory, the homogenization method and the energy method are used, an optimization model with negative Poisson's ratio as the objective function is established. The two-dimensional topological configurations of the corresponding microstructures are obtained under different mesh numbers and different volume ratios. The principle of control variables is adopted for mesh numbers and volume ratios, through the comparison of the corresponding topological structure and the convergence curves between the number of iterations and the objective function, the influences of mesh number and volume ratio on microstructure topological configuration are analyzed.

microstructure; topology optimization; negative Poisson's ratio; topological configuration

2016-11-29

湖北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(D20161205)

杜義賢(1978-)，男，副教授，博士，研究方向?yàn)镃AD/CAM技術(shù)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化與分析．E-mail：duyixian@aliyun.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.02.019

TH122：TB34

A

1672-948X(2017)02-0089-04