磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)圓板的磁彈性行波動(dòng)力學(xué)分析

胡宇達(dá)　施紅勃

摘要：研究磁場(chǎng)作用下導(dǎo)電旋轉(zhuǎn)圓形薄板的行波動(dòng)力學(xué)特性問(wèn)題。根據(jù)哈密頓原理推導(dǎo)出磁場(chǎng)作用下旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板的磁彈性振動(dòng)控制方程，根據(jù)邊界條件設(shè)定行波特性振型函數(shù)，應(yīng)用伽遼金積分得到了行波動(dòng)力學(xué)特征方程。通過(guò)算例分析旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板在磁場(chǎng)作用下的前、后行波振動(dòng)頻率變化和各階模態(tài)的臨界轉(zhuǎn)速與振動(dòng)失穩(wěn)問(wèn)題，并得到了圓形薄板臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)各階模態(tài)的變化規(guī)律，分析了不同磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)各階模態(tài)振動(dòng)頻率的影響曲線和不同振動(dòng)模態(tài)阻尼的變化曲線，以及相同磁場(chǎng)作用下旋轉(zhuǎn)圓板厚度變化對(duì)振動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速的影響曲線。結(jié)果表明：磁場(chǎng)、轉(zhuǎn)速、板厚等參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)圓板的行波振動(dòng)有顯著影響。

關(guān)鍵詞：行波動(dòng)力學(xué)；導(dǎo)電圓板；磁彈性；旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：0442；0321

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523（2017）01-0020-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.003

引言

在實(shí)際工程中，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和電磁結(jié)構(gòu)在土木、機(jī)械以及航空航天等眾多領(lǐng)域的高端設(shè)備與運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)中廣泛存在。在磁場(chǎng)作用下的磁彈性結(jié)構(gòu)，因受機(jī)械場(chǎng)和電磁場(chǎng)等多種因素的作用，通常會(huì)引發(fā)較為明顯的振動(dòng)現(xiàn)象，從而也會(huì)對(duì)系統(tǒng)的正常穩(wěn)定運(yùn)行產(chǎn)生影響。所以，加強(qiáng)對(duì)電磁場(chǎng)條件下旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)磁彈性振動(dòng)問(wèn)題的研究具有重要理論和現(xiàn)實(shí)意義。

旋轉(zhuǎn)圓板橫向振動(dòng)是十分復(fù)雜的一種振動(dòng)形式，通常其振動(dòng)模態(tài)帶有節(jié)徑陣型，是由兩個(gè)轉(zhuǎn)向相反的前行波和后行波組成，在磁場(chǎng)作用下，隨著轉(zhuǎn)速的不斷增大，旋轉(zhuǎn)圓板的后行波頻率將隨之降低，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到某一臨界值時(shí)，其某些振動(dòng)形態(tài)對(duì)應(yīng)的后行波頻率將減小到零，而此刻任意橫向載荷都將致使旋轉(zhuǎn)圓板出現(xiàn)共振現(xiàn)象，進(jìn)而引起動(dòng)力屈曲失穩(wěn)等狀況的發(fā)生。Lainb H和Southwe11 RV等最早研究了中心夾緊旋轉(zhuǎn)圓板的行波動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并考慮了彎曲應(yīng)力與離心力對(duì)圓板振動(dòng)的影響。Gao Yuanwen等研究了導(dǎo)電圓板的電磁熱機(jī)械特性，采用分析渦流的T方法獲得了導(dǎo)電圓板的解析解。Hu Yuda等研究了導(dǎo)電薄板在磁場(chǎng)中的組合共振和諧波共振等問(wèn)題，建立了軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電板的磁熱彈性耦合動(dòng)力學(xué)理論模型。Allahver-dizadeh A等討論了磁彈性薄板在橫向均勻磁場(chǎng)中的屈曲。chen Yuren和chen Lienwen運(yùn)用有限元方法分析了旋轉(zhuǎn)夾層板的非軸對(duì)稱振動(dòng)與穩(wěn)定問(wèn)題，討論了不同參數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響。唐亮等研究了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓環(huán)板動(dòng)態(tài)特性的行波解。李龍飛和王省哲等針對(duì)含有黏彈性?shī)A芯層旋轉(zhuǎn)圓板在氣動(dòng)載荷作用下的行波動(dòng)力學(xué)及穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究。趙飛云和洪嘉振等建立了高速旋轉(zhuǎn)柔性矩形薄板的耦合動(dòng)力學(xué)模型，并應(yīng)用模態(tài)截?cái)喾ㄟM(jìn)行了求解。

本文研究在磁場(chǎng)作用下旋轉(zhuǎn)圓板橫向振動(dòng)的行波動(dòng)力學(xué)特性，運(yùn)用伽遼金方法求解圓板的磁彈性振動(dòng)方程，分析磁場(chǎng)、轉(zhuǎn)速、板厚等不同參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)圓板臨界轉(zhuǎn)速，以及對(duì)前、后行波振動(dòng)頻率的影響。

1.旋轉(zhuǎn)圓板的磁彈性振動(dòng)方程

文中所研究旋轉(zhuǎn)圓板受橫向磁場(chǎng)B。。的作用，轉(zhuǎn)速為Ω，圓環(huán)板厚度為h，邊界條件為在r=ro處固定并夾緊，在邊緣r=R處保持自由，圓形薄板的模型示意圖如圖1所示。

圖2和3分別給出了在有無(wú)磁場(chǎng)作用下，隨著轉(zhuǎn)速變化，各階模態(tài)前行波振動(dòng)頻率的不同變化。通過(guò)圖中曲線可得，當(dāng)不受磁場(chǎng)影響時(shí)，薄板的各階振動(dòng)模態(tài)其振動(dòng)頻率會(huì)隨轉(zhuǎn)速的增加而呈現(xiàn)近似線性的上升趨勢(shì)，這可以歸結(jié)為當(dāng)增大轉(zhuǎn)速時(shí)圓板的剛度會(huì)變大，進(jìn)而圓板離心體力將隨之增大，同時(shí)隨振動(dòng)模態(tài)的增加，相應(yīng)各轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)頻率也在增大。當(dāng)受到磁場(chǎng)作用時(shí)，曲線的總體走勢(shì)和各模態(tài)頻率的變化規(guī)律雖與無(wú)磁場(chǎng)作用時(shí)相同，但是因磁場(chǎng)作用，會(huì)使得旋轉(zhuǎn)圓板振動(dòng)受到磁場(chǎng)阻尼的影響，進(jìn)而會(huì)使得各階模態(tài)相應(yīng)轉(zhuǎn)速所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率減小，且隨模態(tài)的升高，振動(dòng)頻率降低的幅度會(huì)越發(fā)明顯。

圖4和5分別給出了在有無(wú)磁場(chǎng)作用下，鋁制薄板隨轉(zhuǎn)速的不同，其各階模態(tài)后行波振動(dòng)頻率相應(yīng)出現(xiàn)的不同變化。從圖中可以看出，圓板后行波的振動(dòng)頻率除一些較低階模態(tài)，如（0，0）階，不存在引起動(dòng)力失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速之外，對(duì)于階次較高的振動(dòng)模態(tài)其振動(dòng)頻率均會(huì)先隨著轉(zhuǎn)速的增大而降低直至達(dá)到零值，而后將隨著轉(zhuǎn)速的增大而逐漸增大，該零值位置所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速即為臨界轉(zhuǎn)速。在受到磁場(chǎng)作用時(shí)，各階模態(tài)的整體振動(dòng)頻率均會(huì)降低，并且隨振動(dòng)模態(tài)階次的升高，其頻率降低的幅度也會(huì)增大。此外，雖然磁場(chǎng)會(huì)影響圓板的振動(dòng)頻率，但其不會(huì)對(duì)引起動(dòng)力失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響；同時(shí)，圖6則給出了各階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速，由圖可得，各階模態(tài)的臨界轉(zhuǎn)速會(huì)先減小后增大，在（0，2）階值為最小，之后會(huì)以近似線性的關(guān)系上升。度對(duì)振動(dòng)頻率的影響。由圖可得，對(duì)于每階振動(dòng)模態(tài)而言，其臨界轉(zhuǎn)速不會(huì)隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大而發(fā)生變化，即在磁場(chǎng)作用下，每一階振動(dòng)模態(tài)均對(duì)應(yīng)唯一臨界轉(zhuǎn)速值；同時(shí)當(dāng)n≥2時(shí)，其臨界轉(zhuǎn)速也會(huì)隨模態(tài)階次的增加而增大。（0，0）模態(tài)時(shí)，其頻率隨轉(zhuǎn)速的增大而變化很小，幾乎為不變，而當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度足夠大（B≥7T）時(shí)，頻率將無(wú)限接近于0，此時(shí)圓板可認(rèn)為是不發(fā)生振動(dòng)，同樣，由圖中各對(duì)應(yīng)模態(tài)其頻率的幅值可知。當(dāng)n≥2時(shí)，各階模態(tài)隨階次的升高其受到磁場(chǎng)作用的靈敏度會(huì)相應(yīng)增大，當(dāng)磁場(chǎng)增強(qiáng)時(shí)，模態(tài)越高，其頻率降低的幅度會(huì)越快。當(dāng)磁場(chǎng)達(dá)到某一強(qiáng)度時(shí)，轉(zhuǎn)速為零，所對(duì)應(yīng)的固有頻率也會(huì)降為零。隨著轉(zhuǎn)速的增大，其固有頻率會(huì)先增大，之后又減小，直至減小到零，而后會(huì)繼續(xù)增大。此外，當(dāng)初始轉(zhuǎn)速為零時(shí)，隨模態(tài)的升高，可使其固有頻率降為零的臨界磁場(chǎng)強(qiáng)度逐漸減小。

圖11與12分別給出了B=3T時(shí)薄板后行波各階模態(tài)阻尼隨轉(zhuǎn)速的變化情況及發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)值。由圖可得，對(duì)于高階模態(tài)（n≥2），當(dāng)磁場(chǎng)達(dá)到特定強(qiáng)度后，磁場(chǎng)會(huì)對(duì)非旋轉(zhuǎn)圓板產(chǎn)生很大的阻尼，之后當(dāng)圓板發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬間，阻尼將迅速下降到某一正值，之后會(huì)隨轉(zhuǎn)速的增大而逐漸減小。因各階模態(tài)初始時(shí)阻尼為正值，此時(shí)阻尼會(huì)對(duì)圓板振動(dòng)起阻礙作用，并且隨著轉(zhuǎn)速的增大阻尼逐漸減小，當(dāng)其減小為負(fù)值后，阻尼會(huì)對(duì)圓板的振動(dòng)起促進(jìn)作用，從而導(dǎo)致圓板發(fā)生磁彈性振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象，而阻尼為零所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速值即為各階模態(tài)在磁場(chǎng)作用下的振動(dòng)失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速。通過(guò)對(duì)比圖6和12可以得到，使旋轉(zhuǎn)薄板發(fā)生動(dòng)力屈曲失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速與發(fā)生磁彈性振動(dòng)失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速較為接近。

圖13～14給出了在轉(zhuǎn)速一定的條件下，受和不受磁場(chǎng)作用時(shí)，旋轉(zhuǎn)薄板厚度對(duì)后行波振動(dòng)頻率的影響關(guān)系，給定的旋轉(zhuǎn)速度為Ω=10000r/min，圖13中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T。由圖可得，低階模態(tài)（0，0），（0，1）所對(duì)應(yīng)的頻率會(huì)隨圓板厚度的增大而增大，而對(duì)于高階模態(tài)（n≥2），其后行波頻率會(huì)隨著厚度的增大先減小到零值而后增大。出現(xiàn)這一情況原因是在轉(zhuǎn)速和磁感應(yīng)強(qiáng)度一定時(shí)，旋轉(zhuǎn)圓板頻率會(huì)隨著厚度的變化而變化，且只有達(dá)到某一特定厚度時(shí)才會(huì)使圓板頻率降為0，即達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T時(shí)，低階模態(tài)不存在臨界轉(zhuǎn)速，旋轉(zhuǎn)圓板各階模態(tài)的臨界轉(zhuǎn)速值會(huì)隨板厚的增加而呈線性增大，這主要是因?yàn)殡S著圓板厚度的增大使圓板彎曲剛度相應(yīng)增強(qiáng)，進(jìn)而相應(yīng)的模態(tài)頻率會(huì)增大，臨界轉(zhuǎn)速也會(huì)隨之增大。圖15給出了在磁場(chǎng)強(qiáng)度B=2T時(shí)，圓板高階模態(tài)（n≥2）隨厚度變化其臨界轉(zhuǎn)速的變化曲線。

4.結(jié)論

本文主要對(duì)磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，首先推導(dǎo)出磁彈性振動(dòng)方程，然后通過(guò)伽遼金積分求解出圓形薄板的橫向振動(dòng)方程，進(jìn)而分析了在磁場(chǎng)作用下旋轉(zhuǎn)圓板的行波動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果表明：（1）行波振動(dòng)頻率會(huì)隨著磁場(chǎng)的增大而減小，且磁場(chǎng)強(qiáng)度不會(huì)影響后行波振動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速。（2）受磁場(chǎng)影響，高階模態(tài)（n≥2）阻尼會(huì)隨轉(zhuǎn)速的增大而降低，當(dāng)降至負(fù)值后，圓板會(huì)發(fā)生磁彈性振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象，且當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度足夠大時(shí)，會(huì)使非旋轉(zhuǎn)圓板產(chǎn)生較大阻尼，而隨著圓板轉(zhuǎn)速的增大，阻尼會(huì)迅速減小。（3）在磁場(chǎng)作用下，圓板后行波低階模態(tài)的振動(dòng)頻率會(huì)隨厚度的增大而增大，且各階模態(tài)臨界轉(zhuǎn)速也會(huì)隨厚度的增加呈線性的增大。