行人流場(chǎng)論

喻 斌

（同濟(jì)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海 201804）

行人流是交通流的重要組成部分.與汽車流不同，行人流沒有車道的概念.不同于汽車流僅在路口處混合的情形，不同方向的行人流可以任意地混合.因而行人移動(dòng)呈現(xiàn)出雜亂性和無規(guī)律性的特點(diǎn)，在路徑選擇上也更靈活或者說更智能.通常行人會(huì)對(duì)周邊較大區(qū)域進(jìn)行環(huán)境預(yù)評(píng)估并選擇一條他認(rèn)為能在未來一段時(shí)間導(dǎo)致最佳移動(dòng)效果的路徑.例如，在一定行人密度下，行人的跟隨與自己移動(dòng)方向相同或相近行人的行為就是這種智能的具體表現(xiàn).這些特點(diǎn)導(dǎo)致傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)方法較難有效地分析行人流.

Gipps和Marksjo［1］在1985年提出一微觀行人流模型.他們使用Benefit-Cost的方法決定行人下一步移動(dòng)的具體方向和距離，采用類似推力（repulsive force）的概念考慮周邊行人的影響，使用序列更新（sequence update）方式處理不同行人具有不同移動(dòng)速度的情況.Lovas等［2-4］使用排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)（queuing network）研究了行人流撤離并開發(fā)相應(yīng)的軟件EVACSIM.Hoogendoorn等［5-6］運(yùn)用微積分提出將行人流比擬為氣體分子運(yùn)動(dòng)的中觀模型，并在單向和雙向行人流情況下論證該模型可給出合理的結(jié)果.Helbing等［7-8］提出基于牛頓力學(xué)定律的社會(huì)力（social force）模型.此模型將周邊環(huán)境（行人和障礙物）對(duì)行人的影響表述為引力和斥力，可以揭示行人流的一些特點(diǎn)，例如行人道自生成（automatic lane formation），近出口處振蕩（oscillation around doors），加熱凝固（freezing by heating）等等.丁青艷等［9］提出改進(jìn)的社會(huì)力模型，并研究了軌道交通中的行人流.

當(dāng)前最為常用的一類行人流模型是基于元胞自動(dòng)機(jī)理論.元胞自動(dòng)機(jī)模型本質(zhì)上是離散數(shù)學(xué)模型，使用局域規(guī)則（local rules）決定細(xì)胞的下一個(gè)狀態(tài).因此，與傳統(tǒng)的連續(xù)數(shù)學(xué)模型相比，在計(jì)算機(jī)上仿真時(shí)此類模型具有邏輯簡(jiǎn)單明了和運(yùn)算速度快的優(yōu)點(diǎn).Nagel和Schreckenberg［10］首先將元胞自動(dòng)機(jī)理論引入汽車流研究，提出NaSch模型.之后，諸多學(xué)者提出了多種基于元胞自動(dòng)機(jī)理論的交通流模型，包括汽車流，行人流等［11-26］.這些模型的主要區(qū)別在于所采用的具體局域規(guī)則.值得指出的是，由于傳統(tǒng)的元胞自動(dòng)機(jī)理論模型是基于局域規(guī)則，因此未必能有效描述周邊環(huán)境對(duì)行人的遠(yuǎn)距作用或者說行人的智能.關(guān)于這方面，Burstedde等［17］進(jìn)行了有益的嘗試.借鑒昆蟲學(xué)中的趨化效應(yīng)（chemotaxis effect），他們引入地面場(chǎng)（floor field）動(dòng)態(tài)地修改行人移動(dòng)至相鄰位置的轉(zhuǎn)換率.

本文在Helbing和Burstedde等人的研究基礎(chǔ)上直接使用矢量場(chǎng)概念系統(tǒng)地建立行人流理論，將行人的智能轉(zhuǎn)化為由假想的場(chǎng)施加于行人所處位置的場(chǎng)強(qiáng)，可克服之前的行人流模型不能較好描述遠(yuǎn)距周邊環(huán)境影響的缺點(diǎn).

1 行人流的場(chǎng)論框架

為了描述復(fù)雜環(huán)境下的行人移動(dòng)，采用場(chǎng)論的觀點(diǎn)，即假設(shè)行人是在一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的場(chǎng)中移動(dòng).在某一時(shí)刻行人的下一個(gè)移動(dòng)是由這一時(shí)刻該行人的預(yù)期移動(dòng)和所處位置的行人場(chǎng)強(qiáng)共同決定.現(xiàn)實(shí)中行人會(huì)遇到各種不同的阻礙和吸引.例如，行人會(huì)主動(dòng)地繞開比如柱子之類的固定障礙物.再者，兩個(gè)相向行駛的行人通常視對(duì)方為臨時(shí)障礙物，會(huì)采取或立于原地等對(duì)方繞過自己，或主動(dòng)地改變移動(dòng)方向以繞行.另外，許多學(xué)者都觀察到在一定的行人流密度下行人具有跟隨與自己移動(dòng)方向相同或相近的行人的行為，這種行為導(dǎo)致了行人道的自生成.

1.1 行人引力場(chǎng)和行人斥力場(chǎng)

行人的實(shí)際移動(dòng)受多種因素的影響，為了量化這些因素，假設(shè)行人場(chǎng)是一個(gè)由多個(gè)引力子和斥力子產(chǎn)生的引力場(chǎng)和斥力場(chǎng)疊加而成的混合動(dòng)態(tài)場(chǎng).其中，斥力場(chǎng)分為兩種，全向斥力場(chǎng)（圖1）和有向斥力場(chǎng)（圖2）.如無特殊說明，圖中出現(xiàn)的字母R和A將分別代表斥力子與引力子.

全向斥力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)只受距離影響.全向斥力場(chǎng)主要用于描述固定障礙物的影響，故全向斥力場(chǎng)是靜態(tài)疊加的，不隨時(shí)間變化.假設(shè)一全向斥力場(chǎng)中心位于（cx，cy）（圖3），則該場(chǎng)在位置（x，y）的場(chǎng)強(qiáng)由公式（1）給出.

圖1 全向斥力場(chǎng)Fig.1 Omni-directional repulsive field

圖2 有向斥力場(chǎng)Fig.2 Directional repulsive field

圖3 全向斥力場(chǎng)強(qiáng)Fig.3 Omni-directional repulsive field strength

有向斥力場(chǎng)強(qiáng)同時(shí)與距離和方向有關(guān)，其大小隨與主方向的偏離增大而減小.特別地，還假設(shè)該場(chǎng)強(qiáng)隨時(shí)間而衰弱，衰弱因子定義為.由引力子產(chǎn)生的引力場(chǎng)主要為有向引力場(chǎng)（圖4）.與有向斥力場(chǎng)類似，有向引力場(chǎng)強(qiáng)同時(shí)與距離和方向有關(guān)，其大小隨與主方向的偏離增大而減小，同時(shí)隨時(shí)間而衰弱，衰弱因子定義為.引入有向斥力場(chǎng)和有向引力場(chǎng)主要為描述由于周圍行人移動(dòng)而產(chǎn)生的具有時(shí)效的影響.因此不同于全向斥力場(chǎng)，它們是動(dòng)態(tài)疊加的.有向斥力場(chǎng)強(qiáng)主要作用于與該行人相向移動(dòng)的行人，而有向引力場(chǎng)則主要作用于與該行人移動(dòng)方向相似的行人.假定一行人在時(shí)間t從點(diǎn)（x，y）1移動(dòng)至點(diǎn)（x，y）2，則該移動(dòng)將產(chǎn)生一中心位于（x，y）1主方向?yàn)椋▁，y）1→（x，y）2的有向引力場(chǎng)和一中心位于（x，y）2主方向?yàn)椋▁，y）1→（x，y）2的有向斥力場(chǎng)（圖5）.除了需要考慮偏離角外，有向場(chǎng)強(qiáng)公式類似于公式（1）.假定一中心位于（cx，cy）主方向?yàn)椋╟x，cy）→（px，py）的有向斥力場(chǎng)（圖6），任意點(diǎn)（x，y）處的場(chǎng)強(qiáng)由公式（2）給出.

圖4 有向引力場(chǎng)Fig.4 Directional attractive fields

圖5 行人移動(dòng)產(chǎn)生的有向場(chǎng)Fig.5 Directional fields caused by pedestrian move

圖6 有向斥力場(chǎng)強(qiáng)Fig.6 Directional repulsive field strength

圖7 有向引力場(chǎng)強(qiáng)Fig.7 Directional attractive field strength

1.2 行人場(chǎng)對(duì)行人移動(dòng)的作用

引力子和斥力子的數(shù)目以及場(chǎng)強(qiáng)皆隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化.假設(shè)在時(shí)刻t，行人p位于位置（x，y），其期望移動(dòng)方向?yàn)閒.設(shè)此時(shí)共有n個(gè)斥力子和m個(gè)引力子，它們將在位置（x，y）產(chǎn)生n個(gè)斥力場(chǎng)強(qiáng)和m 個(gè)引力場(chǎng)強(qiáng).為了避免錯(cuò)誤的矢量疊加，進(jìn)一步假設(shè)斥力場(chǎng)只與斥力場(chǎng)疊加，引力場(chǎng)與引力場(chǎng)疊加.由此，位于（x，y）的場(chǎng)強(qiáng)λ將由兩部分構(gòu)成.

式中：λr為n個(gè)斥力場(chǎng)強(qiáng)疊加生成的場(chǎng)強(qiáng)矢量；λa為m 個(gè)引力場(chǎng)強(qiáng)λ疊加生成的場(chǎng)強(qiáng)矢量.

則行人p的下一個(gè)移動(dòng)方向Φ可表示為

再次，考慮到位于行人移動(dòng)方向之后或兩翼的阻礙或吸引對(duì)其移動(dòng)并無明顯影響的事實(shí)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化公式（5）.對(duì)于行人p，依據(jù)該行人的期望移動(dòng)方向f將斥力場(chǎng)疊加矢量λr表達(dá)為由位于正部的斥力子產(chǎn)生的和位于負(fù)部的斥力子產(chǎn)生的的疊加.如將之前n個(gè)斥力場(chǎng)強(qiáng)重新排序使得前n′個(gè)場(chǎng)強(qiáng)矢量由處于正部的斥力子產(chǎn)生，后n-n′個(gè)場(chǎng)強(qiáng)矢量處于負(fù)部的斥力子產(chǎn)生，則有公式（6）（圖8）.

圖8 斥力場(chǎng)強(qiáng)正負(fù)部分解圖Fig.8 Positive and negative decomposition of repulsive field strength

同理，對(duì)于引力場(chǎng)疊加矢量λa進(jìn)行類似處理，可得公式（7）（圖9）.

圖9 引力場(chǎng)強(qiáng)正負(fù)部分解圖Fig.9 Positive and negative decomposition of attractive field strength

據(jù)此，最終將公式（5）表述為

2 行人流現(xiàn)象的仿真演示及分析

為了檢驗(yàn)該行人流場(chǎng)論架構(gòu)的可行性，編寫了局域規(guī)則使用假想行人場(chǎng)強(qiáng)的元胞自動(dòng)機(jī)計(jì)算機(jī)程序.特別地，公式（8）采用的是基于概率的數(shù)學(xué)公式.仿真結(jié)果顯示能夠較好地再現(xiàn)諸多實(shí)際觀測(cè)到的行人流現(xiàn)象，例如行人道的自生成，行人的靠右側(cè)移動(dòng)，出口處雙向擺動(dòng)等.

2.1 行人流的出口處雙向擺動(dòng)

行人流的出口處雙向擺動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生在兩股逆向行駛的行人流試圖通過同一出口抵達(dá)對(duì)側(cè)時(shí).在一定的行人流密度下，會(huì)出現(xiàn)一段時(shí)間內(nèi)一個(gè)方向的行人占據(jù)該出口并相繼通過.而這將使得該方向的行人施加給在出口另一側(cè)等待通過的另一方向行人的“壓力”逐漸減弱.繼而出現(xiàn)在接下來一段時(shí)間內(nèi)，在出口另一側(cè)另一方向的行人將占據(jù)該出口并相繼通過.該現(xiàn)象體現(xiàn)了行人流較典型的集體合作行為和考慮遠(yuǎn)距周邊環(huán)境影響的特點(diǎn).

所使用的仿真場(chǎng)景具有40×30格子（40為行數(shù)，30為列數(shù)）.同時(shí)進(jìn)行了如下假設(shè)：行人的最大速度為1；同時(shí)有20個(gè)自上而下移動(dòng)的行人和20個(gè)自下而上移動(dòng)的行人企圖通過位于格子（20，13）和格子（20，15）的門洞.為了保持上行和下行的行人數(shù)恒定，采取了封閉的邊界條件，即上行行人抵達(dá)上邊界后自動(dòng)挪至下邊界重新開始和下行行人抵達(dá)下邊界后自動(dòng)挪至上邊界重新開始.為了方便識(shí)別，以實(shí)心箭頭表示上行行人，空心箭頭表示下行行人，如圖10所示.記錄下每一個(gè)仿真時(shí)刻上半?yún)^(qū)的下行行人數(shù)和下半?yún)^(qū)的上行行人數(shù)，并據(jù)此繪出上行和下行行人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線.圖11顯示了仿真時(shí)刻3000至3180的上行和下行行人數(shù)的變化，顯示了非常明顯的擺動(dòng)現(xiàn)象.

圖10 出口處雙向擺動(dòng)仿真截圖Fig.10 Simulation screenshot for oscillation around outlet

在時(shí)刻3010至3075，上半?yún)^(qū)的下行行人在該出口處占據(jù)了主導(dǎo)地位，陸續(xù)通過該出口，從而導(dǎo)致上半?yún)^(qū)的下行行人數(shù)不斷減少.隨著出口處的下行行人不斷減少，位于出口處下側(cè)的上行行人逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，并最終在時(shí)刻3075開始陸續(xù)通過該出口直至?xí)r刻3110左右結(jié)束.之后位于出口處的上行和下行行人群將再次處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，相互推擠直至下一個(gè)擺動(dòng)的到來.需注意的是，時(shí)刻3075到3140的上半?yún)^(qū)下行行人數(shù)增加和時(shí)刻3110到3170的下半?yún)^(qū)上行行人數(shù)增加只是由于采取封閉的邊界條件的原故.

圖11 上行和下行行人數(shù)時(shí)間變化圖Fig.11 Number of upward ＆downward pedestrians vs time

2.2 行人的靠右行駛

在行人密度不大的情形下，我國(guó)和一些國(guó)家的行人有靠右側(cè)行駛的習(xí)慣.這會(huì)導(dǎo)致上行和下行行人群較明顯地分為左右兩部分.為了在仿真中再現(xiàn)此現(xiàn)象，適當(dāng)?shù)靥岣吣Ｐ椭行腥讼蛴覀?cè)擺動(dòng)的概率.圖12是仿真截圖，非常明顯地顯示了由于行人靠右行駛而產(chǎn)生的人群分離現(xiàn)象.

圖12 行人靠右行駛仿真截圖Fig.12 Simulation screenshot for pedestrians’implicit right side moving

2.3 行人道的自生成

行人另一個(gè)經(jīng)常觀測(cè)到的現(xiàn)象是行人道的自生成.在一定行駛環(huán)境下，由于相向行人之間的相互推擠和行人的跟隨方向相近行人的特點(diǎn)，使行人流會(huì)依據(jù)移動(dòng)方向自動(dòng)地形成多條行人道.行人道的自生成是行人智能的具體體現(xiàn)，現(xiàn)有行人流模型較難重現(xiàn)該現(xiàn)象.在已有文獻(xiàn)中，只有 Helbing［7］和Burstedde［17］嘗試在各自的模型中再現(xiàn)行人道的自生成.然而，直觀地比較三者之后，本文的結(jié)果是三者中較貼近實(shí)際情況的.圖13為一仿真截圖.

圖13 行人道自生成仿真截圖Fig.13 Simulation screenshot for pedestrians automatic lane formation

3 結(jié)語

本文使用場(chǎng)論建立行人流框架，將行人在路徑選擇中展現(xiàn)的主動(dòng)智能描述為由假想的行人場(chǎng)施加于行人所處位置的場(chǎng)強(qiáng)，如此便可在行人流模型中定量地考慮行人的智能.結(jié)果顯示，許多行人流現(xiàn)象，如出口處雙向擺動(dòng)、靠右行駛產(chǎn)生的人群分離、行人道的自生成等，皆可在仿真層面得以重現(xiàn).這也從一個(gè)側(cè)面論證了使用場(chǎng)描述行人流的可行性和有效性.

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