圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)視角下數(shù)學(xué)思想方法的運用

胡蔡劼

【摘 要】數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精髓，圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是學(xué)生理解空間幾何的架構(gòu)，在圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的缺失往往造成數(shù)學(xué)思想方法運用上的困難。本文以幾道圖形趣題為例，從圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)的視角上對數(shù)學(xué)思想方法的運用進(jìn)行了分析和闡釋。

【關(guān)鍵詞】圖形；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅應(yīng)當(dāng)注重知識建構(gòu)與解題方法的指導(dǎo)，更應(yīng)該重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，形成基本素養(yǎng)。而圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生在學(xué)習(xí)空間與幾何的過程中逐步建立起來的認(rèn)知途徑，對理解與解決幾何問題具有方向性的指導(dǎo)作用。學(xué)生在圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的缺失往往造成數(shù)學(xué)思想方法運用上的困難，此時圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再建就成為運用數(shù)學(xué)思想方法解題的關(guān)鍵。

一、從簡單到復(fù)雜VS運用轉(zhuǎn)化思想化繁為簡

圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)遵循著一般認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本特點“從簡單到復(fù)雜”，新的知識和技能在舊有知識結(jié)構(gòu)上樹立起關(guān)聯(lián)。例如，我們對圖形的學(xué)習(xí)路徑一般是從一維到多維的，低維圖形的運動軌跡組合形成了高維圖形；又如，學(xué)習(xí)平面圖形從簡單的三角形、四邊形到多邊形等。因此，“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法有助于在解題中溝通幾何問題與基本事實間的聯(lián)系。

例1：已知O為圓錐的頂點，E為圓錐底面上的一點，點P在OE上。一只螞蟻從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周，回到點P時所經(jīng)過的最短距離是多少？

分析：螞蟻的爬行路線在三維曲面上難以確定，選擇側(cè)面展開為扇形后，“兩點之間線段最短”，即求線段PP的長度。結(jié)合所給條件可以求出扇形圓心角是60°。由于“圖形在旋轉(zhuǎn)運動中具有不變性”，OP=OP=2cm，使得△OPP成為一個“含有60°角的等腰三角形”，即是等邊三角形了。因而得出PP是2cm，就是繞圓錐側(cè)面一周最短距離。

點評：從復(fù)雜的三維“曲線”，到平面中線段長度，從扇形到圓，從等邊三角形到一邊，將復(fù)合的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為幾個具有聯(lián)系的簡單問題并解決，這正是“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想的妙用，而其中圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)所起的作用就是將簡單與復(fù)雜的圖形聯(lián)系起來，從中尋找可供轉(zhuǎn)化的“蛛絲馬跡”。

二、從特殊到一般VS運用類比歸納尋找突破

對于不同類別的圖形，除了從簡入繁外還常用“從特殊到一般”來建立圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)，啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)圖形之間的橫向聯(lián)系。如“當(dāng)平行四邊形的一個角是直角時，就成為長方形”，又如“梯形面積公式同樣適用于三角形和平行四邊形”，同理也可以發(fā)現(xiàn)圓柱、圓錐、圓臺體積之間的聯(lián)系——而這種從特殊到一般的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也有助于“類比歸納”這種數(shù)學(xué)思想方法的運用。

例2：國際象棋棋盤上有黑白相間的64個正方形格子，問其中存在幾個不同的長方形（位置不同即不同），使得它所包含的黑白格子數(shù)不同？

分析：考慮到“正方形是特殊的長方形”，先計算長方形再減去其中的正方形就能簡化題目。長方形（含正方形）是由長、寬組合而成的，為了使黑白格子的數(shù)量不同，長、寬都要是奇數(shù)。長或?qū)捠瞧鏀?shù)格的可能分別為8、6、4、2種，因此符合條件的長方形（含正方形）的總數(shù)是（8+6+4+2）2=400個。但其中包含邊長為1、3、5、7的正方形個數(shù)分別為64、36、16、4個，剩下280個就是符合條件的長方形（不含正方形）的數(shù)量。

點評：如果用轉(zhuǎn)化的思想，將棋盤變小以尋找規(guī)律，同樣可以簡化問題。但是將長方形和正方形合起來計數(shù)，再扣掉其中“特殊”的正方形，運用的則不僅僅是將長方形和正方形進(jìn)行類比，歸納其“都由垂直的長、寬決定大小”的共同點，也是分析出“長、寬的長度相同與否決定是否是正方形”區(qū)別所在的關(guān)鍵——這種“從特殊到一般”的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)往往是類比歸納的基礎(chǔ)，成為解題的突破口之一。

三、從具象到抽象VS運用數(shù)形結(jié)合恰當(dāng)建模

圖形的學(xué)習(xí)還遵循“從具象到抽象”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從低級的觸摸感受、實地測量到高級的抽象理解與推理，抽象思維逐步成為思維主通道——我們可以把一輛小車想象成一個點，也可以把時間的流轉(zhuǎn)看作點的運動，著名的“哥尼斯堡七橋問題”就是這樣建模成“一筆畫問題”并得到解決的。這種“具象&抽象”的思維可以幫助我們構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決許多問題。

例3：甲、乙兩人約定在晚上7點到8點之間碰面，并約定先到的人要等20分鐘，如果另一個人還沒來，就直接走掉。那么兩人碰面的概率是多少？

分析：單獨“時間點”無法分析，要用數(shù)形結(jié)合的思想在連續(xù)的線和面來看。在平面上建立直角坐標(biāo)系，xy軸分別為兩人在7點后的到達(dá)時間，正方形中的每個點都表示他們倆各自到達(dá)的時間點。其中|x-y|≤20之間的部分就是時間相差不超過20分鐘的情況。因此，相遇的概率就轉(zhuǎn)化為陰影部分面積與正方形面積的比，是。

點評：時間是不可分割的，線段也是由無數(shù)個點組成的，因此產(chǎn)生了“時間軸”、“時間點”的說法，而能將概率問題轉(zhuǎn)化為求圖形的面積問題的建模思想，正是利用了圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)中兩者的相似性作為依據(jù)的。

四、總結(jié)

通過以上的幾個例子可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想方法在幾何問題中的運用是需要依賴一定的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，正確的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)有助于在解決幾何問題中運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法。

其實，數(shù)學(xué)思想方法還有很多（分類討論、枚舉、集合、推理、優(yōu)化……），圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)也有不同層次，它們之間并不是——對應(yīng)的（有時運用某種數(shù)學(xué)思想方法需要依賴多種圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)作為分析的基礎(chǔ)，而某種圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)可能引發(fā)多種數(shù)學(xué)思想方法的融合運用），但是在幾何問題中，只有正確了解并“喚醒”問題所包含的圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才是找到并運用相應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法“金鑰匙”的關(guān)鍵。

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