有限長序列的定義及z變換的討論

譚志存

摘要：本文在基于嚴(yán)格數(shù)學(xué)語言及給典數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，對(duì)《數(shù)字信號(hào)處理》教材中有限長序列的概念的定義指出不足，并就此問題進(jìn)行了分析與討論，給出有限長序列較為準(zhǔn)確的定義，最后再對(duì)有限長序列的z變換給出嚴(yán)格的定義。

關(guān)鍵詞：序列；z變換；收斂域

有限長序列是《數(shù)字信號(hào)處理》教材中z變換部分的內(nèi)容，關(guān)于有限長序列的概念及其z變換在教材中各有說法，這些說法初看都是一致，但是仔細(xì)推敲后，發(fā)現(xiàn)其中存在不少問題，本文就對(duì)此問題進(jìn)行分析與討論。

1問題的提出

教材[1]對(duì)“有限長序列及z變換”是這樣描述：

如果序列取非零值的區(qū)間是有限長的，稱該序列為有限長序列。有限長序列可以用下式表示：

（1）

式中， 和 是整常數(shù)。該式表示有限長序列 從 到 的序列值不全為0，但該范圍外序列值全為0。有限長序列的z變換為 （2）

如果序列取值小于無窮大，稱該序列是有界序列，這里假設(shè)序列 為有界序列，收斂域如下

本人認(rèn)為上述內(nèi)容存在幾方面問題，現(xiàn)進(jìn)行討論。

2分析與討論

一、自相矛盾

在式（1）中， ，而在式（2）中 卻可以取 和 ，即 。按照定義，應(yīng)該是 。所以式（1）改寫為

（3）

二、式（3）并不能符合有限長序列的定義“序列取非零值的區(qū)間有限長”。

若存在序列滿足

非零值的區(qū)間長度是 ，那么按照有限長序列的定義（3），有限長序列 可以寫成

（4）

可以看出，這里 ，

但是，按照有限長序列的定義（3），有限長序列 也可以寫成下面的形式

（5）

這里 均是正整數(shù)，可以看出， 。同一個(gè)有限長序列有不同的 和 ，很明顯用公式（3）作為有限長序列的定義式是不妥當(dāng)?shù)摹Ｍ瑫r(shí)，我們發(fā)現(xiàn)不同的 和 對(duì)z變換的收斂域是有決定性影響的，正如教材[1]中所述：

如果 且 ，則此時(shí) ，那么z變換的收斂域應(yīng)該是

如果 且 ，則此時(shí) ，那么z變換的收斂域應(yīng)該是

所以，對(duì)同一個(gè)序列的z變換收斂域會(huì)出現(xiàn)兩種情況，也是不正確的，再次說明用公式（3）作為有限長序列的定義式是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

因此，為了式（3）符合有限長序列的文字定義“序列取非零值的區(qū)間有限長”。由上述分析，可以將式（3）改寫成：

（6）

所以，對(duì)于“有限長序列”的概念不能顧名思義，即“有限長序列”并不一定是“有限長的序列”，而是它取非零值的區(qū)間是“有限長”。

三、將“有限長序列”與“有界的有限長序列”兩個(gè)概念混為一談

教材[1]在獲取有限長序列z變換的收斂域的一般形式是基于“假設(shè)序列 為有界序列”，那么按照經(jīng)典數(shù)學(xué)理論，有限長序列 有界僅僅是它的一種情況，讀者會(huì)問：“既然假設(shè)序列 為有界序列得到了它的z變換收斂域的一般形式，那么當(dāng)序列 不是有界序列時(shí)，它的z變換又是怎樣的呢”？可是教材中并沒有對(duì)這一種情況進(jìn)行說明。也就是說，它將“有界的有限長序列”z變換的收斂域當(dāng)成了“有限長序列”z變換的收斂域，混淆了這兩個(gè)概念。

綜上所述，為了避免這一嫌疑，有兩種途徑可以解決：一是可以在定義有限長序列時(shí)，將“有界”這一約束條件加進(jìn)去；二是在教材“假設(shè)序列 為有界序列”的基礎(chǔ)上，再加上“假設(shè)序列 為無界序列”這一情況。這樣能較好體現(xiàn)經(jīng)典數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)謹(jǐn)性。

四、有限長序列z變換的收斂域的具體表示不夠嚴(yán)謹(jǐn)

在經(jīng)典數(shù)學(xué)理論中，我們有

，而 無意義

也就是“零的非正數(shù)次方無意義”。

有限長序列z變換收斂域的具體形式，文獻(xiàn)[1-5]全都一致，重寫如下

（7）

（8）

（9）

我們知道有限長序列 的z變換的公式為

（10）

當(dāng) 時(shí)，依據(jù)式（10）將它展開為

（11）

如果 ，式（11）變?yōu)?/p>

（12）

按照“零的非正數(shù)次方無意義”這一數(shù)學(xué)理論，式（12）中的z不能為0，而式（7）中收斂域可以取 （即 ）。因此式（7）應(yīng)表述為：

或者表述為

（13）

更為簡潔，因?yàn)樵谑剑?）中已經(jīng)隱含了 ，再由 肯定能推得 。

所以，由上面對(duì)式（7）的討論，又可以將式（8）進(jìn)行適當(dāng)擴(kuò)大，即

或者

（14）

對(duì)于式（9），可以變形為

（15）

綜上所述，本文將有限長序列z變換收斂域更為嚴(yán)格的表示如下：

（16）

3結(jié)束語

本文對(duì)教材中兩個(gè)問題進(jìn)行的分析與討論，都是基于經(jīng)典數(shù)學(xué)理論。z變換及其收斂域作為《數(shù)字信號(hào)處理》課程中的重要內(nèi)容，它的基礎(chǔ)也應(yīng)該建立在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論之上。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，以大量?shù)學(xué)推導(dǎo)為特點(diǎn)的《數(shù)字信號(hào)處理》也應(yīng)該是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

參考文獻(xiàn)：

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