關于函數(shù)Cauchy收斂準則的一些說明

摘要：本文研究了在數(shù)學分析中遇到的柯西收斂準則。它是判定極限存在性的理論，我們從概念上來分析理論的本質(zhì)，并通過兩個例子做了更透徹的說明。

關鍵詞：Cauchy準則；極限存在性；函數(shù)

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）15-0209-02

Cauchy收斂準則是整個分析學的基礎，在華東師范大學版《數(shù)學分析》中，放到實數(shù)完備性的基本定理中，它不僅可以用來判定數(shù)列和函數(shù)的極限存在性，而且還為后面的級數(shù)收斂提供了判別方法。由于這個理論的抽象性，不容易理解，學生在學習的時候，總覺得無從著手，接下來我們將從概念的角度來闡述。

一、Cauchy收斂準則的概念

在數(shù)學分析教材中，對柯西收斂準則定義如下。

定理1.1：數(shù)列a收斂的充分必要條件是對任意的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n，m>N時有|a-a|<ε。

定理1.2：設函數(shù)f（x）在鄰域U°（x，δ′）有定義，f（x）存在的充分必要條件是對任意的正數(shù)ε總存在正整數(shù)δ<δ′，使得當

上述定理是研究函數(shù)或數(shù)列極限的存在性的基本定理，它的本質(zhì)在于我們可以根據(jù)函數(shù)本身的特性來說明極限的存在性問題，它不同于極限的ε-N語言或ε-δ語言，需要確定極限的具體值，如要說明當x→x，sinx的收斂性，我們可以根據(jù)sinx本身的特性進行說明。而sinx本身具有什么特性呢？它具備對任意的

因此，可以根據(jù)這一特性來說明當x→x時，sinx的收斂性。

Cauchy收斂準則的理論在理論上近乎完美，然而在應用上局限性太大，因為要找到與柯西準則有關的函數(shù)本身特性非常困難，因而不太實用。

二、Cauchy收斂準則的應用

我們通過兩個例子來說明Cauchy收斂準則的理論，這為從概念上對柯西準則的理解具有一定的實際價值。

例1：考察sin（x）的存在性。

解：基于前面的對函數(shù)sinx本身的特性，根據(jù)（1），我們對任意的正數(shù)ε，取δ=ε，使得當

由于Cauchy準則在應用上有局限性，常常用來尋找使函數(shù)或數(shù)列極限不存在的條件，由定理1.2可知。

定理2.1：f（x）不存在的充分必要條件是對存在正數(shù)ε>0，對任意的正數(shù)δ，使得存在

接下來，我們根據(jù)柯西準則的反命題來說明極限的不存在性。

例2：考察sin不存在。

分析：要利用定理2.1來說明上述極限的不存在性，我們的關鍵是確定 ，而這三個量之間又是相互制約的，因而存在許多不確定因素。根據(jù)命題2.1，判定極限不存在性的關鍵是對事先確定的ε，找到使得 。當然，這也對大家的數(shù)學直觀性進行了考察。一般來講，此處的ε，我們可以事先給定，并且使得其值要充分的小。我們可以取 來找到合適的 顯然這樣的數(shù)有很多，例如我們可以取 即可。這樣的 ，是否是我們所要尋找的呢？根據(jù)定理2.1顯然不滿足條件，因為我們要使得 因此要選擇的 與δ有關，故而，注意到sinx的周期性，滿足條件的 有無限多個，而我們只需要找到兩個就可以了。為此，我們可以假設 具有如下的形式： 這樣我們可以通過控制n的值來使得 落在 此時這樣的n滿足n>既可。

解：取 ， 命題得證。

三、結論

我們從函數(shù)本身的本質(zhì)特性來說明了柯西準則理論的本質(zhì)，并通過兩個例子來闡述了柯西準則的概念，使得學生更容易理解柯西準則的本質(zhì)。當然在應用上，我們還可以結合Heine定理等理論進行說明，這在形式上更簡單，我們在這里不再作進一步地討論。

參考文獻：

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