基于生成微分方程的行星齒輪箱故障振動信號解調(diào)分析

李康強(qiáng)， 馮志鵬

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

基于生成微分方程的行星齒輪箱故障振動信號解調(diào)分析

李康強(qiáng)， 馮志鵬

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

行星齒輪箱振動信號具有明顯的調(diào)制特點(diǎn)，幅值解調(diào)和頻率解調(diào)分析能夠有效提取其中的故障信息。生成微分方程(GDE)方法可以估計調(diào)制信號的幅值包絡(luò)和瞬時頻率，實現(xiàn)解調(diào)分析，但該方法需要信號滿足單分量要求。實際行星齒輪箱振動信號通常由復(fù)雜多分量成分組成，為實現(xiàn)信號的幅值解調(diào)和頻率解調(diào)分析，應(yīng)用經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?EMD)將信號分解為單分量本質(zhì)模式函數(shù)，基于生成微分方程計算瞬時頻率和幅值包絡(luò)，根據(jù)瞬時頻率的波動特點(diǎn)選擇本質(zhì)模式函數(shù)作為敏感分量，由敏感分量的包絡(luò)譜和瞬時頻率的Fourier頻譜識別故障特征頻率。通過行星齒輪箱故障模擬實驗數(shù)據(jù)分析驗證了解調(diào)分析方法的效果。

行星齒輪箱； 生成微分方程； 幅值包絡(luò)； 瞬時頻率

行星齒輪箱結(jié)構(gòu)緊湊，傳動比大，承載能力強(qiáng)，在車輛、直升機(jī)和風(fēng)力發(fā)電等裝備中應(yīng)用廣泛。作為動力傳動系統(tǒng)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，行星齒輪箱一旦出現(xiàn)故障，會導(dǎo)致整個動力傳動鏈?zhǔn)踔镣C(jī)，造成嚴(yán)重后果。因此，研究行星齒輪箱故障診斷問題具有重要意義。

和普通的定軸齒輪箱相比，行星齒輪箱的結(jié)構(gòu)和運(yùn)轉(zhuǎn)方式獨(dú)特，振動信號成分復(fù)雜，具有明顯的幅值調(diào)制和頻率調(diào)制特征。在時域內(nèi)，這兩種成分之間為乘積關(guān)系，在頻域內(nèi)，整個信號的Fourier頻譜為調(diào)幅和調(diào)頻成分各自Fourier頻譜的卷積，因此，行星齒輪箱振動信號的Fourier頻譜具有復(fù)雜的邊帶結(jié)構(gòu)[1-2]。但是，振動信號中調(diào)幅和調(diào)頻成分的調(diào)制頻率和齒輪故障特征頻率密切相關(guān)，其中包含了故障信息。如果對振動信號進(jìn)行幅值解調(diào)和頻率解調(diào)分析，可以避免復(fù)雜的邊帶分析，準(zhǔn)確識別調(diào)制頻率，從而實現(xiàn)故障診斷。

ZAYEZDNY等[3]提出了基于生成微分方程的信號表示方法，利用信號、信號微分以及信號各種變換組合之間的關(guān)系描述信號的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。信號可以視為一個生成微分方程的一個解(例如，一個簡諧振動信號可以視為一個質(zhì)量-彈簧動力學(xué)系統(tǒng)振動微分方程的解)，而生成微分方程則可以視為信號一個映射?；谠撍枷?，可以通過信號的各階微分函數(shù)的非線性組合運(yùn)算，估計其包絡(luò)幅值和瞬時頻率等信息，從而為行星齒輪箱的復(fù)雜調(diào)制振動信號的解調(diào)分析提供了一種潛在分析工具。

但是，基于生成微分方程的信號包絡(luò)幅值和瞬時頻率計算需要信號滿足單分量要求，而實際行星齒輪箱振動信號成分復(fù)雜。為了解決這一問題，本文發(fā)揮經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸庠趶?fù)雜信號分解方面的優(yōu)勢，將實際信號分解為多個本質(zhì)模式函數(shù)，從而滿足單分量的要求。

在經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸夂蜕晌⒎址匠谭椒傻幕A(chǔ)上，可以準(zhǔn)確估計敏感分量的包絡(luò)幅值和瞬時頻率，實現(xiàn)幅值解調(diào)和頻率解調(diào)，從而識別故障特征頻率診斷齒輪故障。

1 生成微分方程

生成微分方程是基于結(jié)構(gòu)特性的一種信號描述方法。信號可以視為一個微分方程的部分解，通過一些數(shù)學(xué)工具，可以使得這個微分方程具有簡潔的非線性形式，而通過簡化的生成微分方程則可以重構(gòu)原始信號[3-5]。

(1)

(2)

(3)

(4)

上面每個狀態(tài)函數(shù)(式(1)～(4))都對應(yīng)一個微分方程

(5)

(6)

(7)

(8)

將有關(guān)于狀態(tài)函數(shù)的表達(dá)式

(9)

關(guān)于結(jié)構(gòu)特性理論的三個重要基本定理：

定理1 任何一個具有n+1 個獨(dú)立變量的n階齊次微分方程均可通過以上四個基本狀態(tài)函數(shù)(式(1)～(4))表述為包含新的n+1個獨(dú)立變量(狀態(tài)函數(shù)及其微分)的n階狀態(tài)函數(shù)的形式，而且通過非基本狀態(tài)函數(shù)可以將它表述為更加簡潔的形式。

定理2 任意一個二階可微函數(shù)均可構(gòu)造一個具有下列形式的生成齊次微分方程的形式

(10)

(11)

生成微分方程可以視為是信號的一種變換，通過這種變換可以將信號分解為一系列的微分方程的解的合集形式，從而估算能量、振幅和頻率等信息。對于常見的調(diào)幅調(diào)頻信號

(12)

(13)

通常，調(diào)制信號的變化相比載波信號的變化要慢得多，此時A(t) 和φ(t) 相對于載波信號是緩變的，因此可以近似為常數(shù)。于是關(guān)于幅值和頻率的狀態(tài)函數(shù)可以近似δA=0，δω=0，kA=0。代入式(13)中可得瞬時頻率和包絡(luò)幅值的估計值

(14)

(15)

上述理論推導(dǎo)是對于連續(xù)信號而言的，對于離散信號，則需要將連續(xù)求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個節(jié)點(diǎn)代替原連續(xù)求解域，來獲得原微分方程的近似解。中心差分的精度優(yōu)于向前差分和向后差分，所以本文應(yīng)用中心差分代替微分，使用中心差商代替導(dǎo)數(shù)

(16)

(17)

當(dāng)步長Δt=1 時，可通過式(14)和式(15)求得離散信號瞬時頻率和包絡(luò)幅值的估計值

(18)

(19)

需要注意的是，生成微分方程方法只適用于單分量信號的解調(diào)分析。

2 分析步驟

行星齒輪箱的實際信號成分復(fù)雜，在應(yīng)用基于生成微分方程的解調(diào)方法進(jìn)行分析之前，需要將其分解為單分量成分。本文考慮經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸庠趶?fù)雜信號分解方面的優(yōu)勢，提出了基于生成微分方程和經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾姆到庹{(diào)和頻率解調(diào)分析方法，具體分析步驟如下：

(1) 應(yīng)用EMD分解方法把信號分解為多個IMF分量成分，滿足生成微分方程的單分量要求。

(2) 應(yīng)用GDE估計每個IMF分量的瞬時頻率和幅值包絡(luò)。

(3) 依據(jù)各IMF分量的瞬時頻率波動特征，選擇最先分解得到的而且瞬時頻率圍繞嚙合頻率或其倍頻上下波動的本質(zhì)模式函數(shù)作為敏感分量進(jìn)行解調(diào)分析，原因有三：① 經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獍凑疹l率由高到低的順序依次提取本質(zhì)模式函數(shù)；② 齒輪故障引起的沖擊特征在高頻段內(nèi)比較明顯；③ 齒輪振動信號的載波頻率為嚙合頻率或其倍頻，瞬時頻率圍繞嚙合頻率或其倍頻上下波動的本質(zhì)模式函數(shù)包含齒輪故障信息。

(4) 對敏感分量的瞬時頻率和幅值包絡(luò)進(jìn)行Fourier變換，根據(jù)包絡(luò)譜和瞬時頻率Fourier頻譜中的峰值頻率和各齒輪故障特征頻率診斷故障。

3 仿真信號分析

根據(jù)行星齒輪箱的振動機(jī)理，其信號可以用調(diào)幅-調(diào)頻信號模型描述[6-10]。不失一般性，假設(shè)太陽輪出現(xiàn)故障，只考慮齒輪嚙合頻率和故障齒輪的特征頻率，則振動信號模型可表示為

x(t)=[1-cos(2πfsrt)][1+Acos(2πfst)]× cos[2πfmt+Bsin(2πfst)+φ]+n(t)

(20)

式中：fsr為太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率，fs為太陽輪故障特征頻率，fm為齒輪嚙合頻率。取fsr=1.2 Hz，fs=37 Hz，fm=200 Hz，A=B=1 分別為調(diào)幅和調(diào)頻系數(shù)，初相位φ=0，仿真信號設(shè)置采樣頻率為3 000 Hz，加入信噪比為n(t)=6 dB 的Gauss白噪聲。

圖1(a)為該仿真信號的時域波形。圖1(b)為使用EMD分解成的5個分量以及1個殘量。使用生成微分方程估算各個分量的瞬時頻率如圖1(c)所示，可以看出第一個分量頻率密集但是波動較大，第二個分量瞬時頻率圍繞齒輪嚙合頻率波動幅度較小，因此選擇第二個分量進(jìn)行分析。第二個分量的幅值包絡(luò)如圖1(d)所示。對瞬時頻率估計值和幅值包絡(luò)估計值進(jìn)行Fourier變換以識別故障特征頻率。結(jié)果如圖1(e)和1(f)所示，其中圖1(e)縱坐標(biāo)表示的是瞬時頻率的大小?？梢院苊黠@的發(fā)現(xiàn)太陽輪故障特征頻率fs及其2倍頻和受旋轉(zhuǎn)頻率fsr調(diào)制而產(chǎn)生的邊帶nfs±fsr，分析結(jié)果符合故障模型特征，驗證了方法的有效性。

(a) 時域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計瞬時頻率

(d) 第二個分量幅值包絡(luò)

(e) 第二個分量瞬時頻率Fourier頻譜

(f) 第二個分量包絡(luò)幅值Fourier頻譜

4 實驗信號分析

某行星齒輪箱實驗系統(tǒng)如圖2所示，由電機(jī)及其控制器、單級行星齒輪箱和振動測試系統(tǒng)組成。為了測試振動信號，在齒輪箱底座和箱體表面布置了多個加速度傳感器，因為位于箱體頂部的傳感器與太陽輪距離最近、傳遞路徑最短所以包含了更多的信息，本文選取箱體頂部的傳感器信號，信號采樣頻率為16 384 Hz。實驗過程中，調(diào)整電機(jī)轉(zhuǎn)速頻率為15.95 Hz。根據(jù)齒輪箱的結(jié)構(gòu)參數(shù)表1和輸入轉(zhuǎn)速，計算得到齒輪局部故障特征頻率，見表2。

表1 行星齒輪箱參數(shù)

表2 特征頻率表

圖2 實驗系統(tǒng)

4.1 正常信號

圖3(a)為正常狀態(tài)齒輪箱信號的時域波形，圖3(b)為其EMD分解結(jié)果。對EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時頻率和包絡(luò)幅值估計，從圖3 (c)可以看出第三個IMF的瞬時頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。在瞬時頻率Fourier變換譜(圖3(e))中，峰值主要出現(xiàn)在行星架旋轉(zhuǎn)頻率fc及其倍頻以及和輸入軸相連的太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率fsr及其倍頻等位置處。在敏感分量幅值包絡(luò)的Fourier頻譜(圖3(f))中，峰值同樣出現(xiàn)在行星架旋轉(zhuǎn)頻率及其倍頻以及太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率和它的三倍頻處。正常齒輪箱由于零件的制造誤差及微小缺陷和箱體裝配的誤差等因素影響，這些因素將產(chǎn)生調(diào)幅調(diào)頻效應(yīng)，使得振動信號解調(diào)譜中出現(xiàn)上述頻率成分。

(a) 時域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計頻率

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

4.2 太陽輪故障

為了模擬齒輪箱中太陽輪磨損故障，在太陽輪上的一個輪齒加工了磨損故障，如圖4所示。

圖5(a)為太陽輪故障振動信號時域波形，圖5(b)為其EMD分解結(jié)果。對EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時頻率和包絡(luò)幅值估計，從圖5(c)可以看出第三個IMF的瞬時頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。在瞬時頻率Fourier變換譜(圖5(e))中，行星架旋轉(zhuǎn)頻率fc及其倍頻和太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率fsr及其倍頻依然存在，但是相比正常信號，太陽輪局部故障特征頻率1/3fs倍頻和行星架轉(zhuǎn)頻的組合及其倍頻占主導(dǎo)地位，由于太陽輪同時與三個行星輪嚙合，同時加工制作誤差和微小缺陷會導(dǎo)致三個行星輪不可能完全一樣，所以會出現(xiàn)太陽輪局部故障特征頻率的1/3fs倍頻和n/3fs倍頻。在幅值包絡(luò)Fourier變換譜(圖5 (f))中，可以明顯發(fā)現(xiàn)太陽輪故障特征頻率fs，同樣和瞬時頻率Fourier頻譜特征類似，太陽輪局部故障特征頻率1/3fs倍頻和行星架轉(zhuǎn)頻的組合及其倍頻nfs±m(xù)fc占主導(dǎo)地位，這些特征說明太陽輪出現(xiàn)故障，符合實際情況。

(a) 時域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計頻率

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

4.3 行星輪故障

為了模擬齒輪箱中行星輪磨損故障，在行星輪上的一個輪齒加工了磨損故障，如圖6所示。

圖7(a)為行星輪故障信號的時域波形，圖7(b)為其EMD分解結(jié)果。對EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時頻率和包絡(luò)幅值估計，從圖7 (c)可以看出第三個IMF的瞬時頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。故障信號的瞬時頻率的Fourier頻譜(圖7(e))的各個頻率成分幅值明顯大于正常信號，其中行星輪故障特征頻率fp的三倍頻和行星架旋轉(zhuǎn)頻率的組合3fp+fc占主導(dǎo)，其他峰值出現(xiàn)在行星輪故障特征頻率的倍頻及與行星架旋轉(zhuǎn)頻率的組合nfp±fc等位置，在幅值包絡(luò)的Fourier變換譜(圖7(f))中，行星輪故障特征頻率fp及其倍頻相比正常信號幅值更大更明顯，這是因為行星輪的局部故障會造成不均勻的行星架載荷分配，使得行星架旋轉(zhuǎn)對嚙合振動的調(diào)頻作用增強(qiáng)，導(dǎo)致行星架轉(zhuǎn)頻fc及其倍頻的峰值增大，結(jié)果符合實際情況。

(a) 時域波形

(b) EMD分解

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

4.4 齒圈故障

為了模擬齒輪箱中齒圈磨損故障，在齒圈上的一個輪齒加工了磨損故障，如圖8所示。

圖9(a)為齒圈故障信號的時域波形，圖9(b)為其EMD分解結(jié)果。對EMD分解結(jié)果進(jìn)行生成微分方程瞬時頻率和包絡(luò)幅值估計，從圖9(c)可以看出第三個IMF的瞬時頻率圍繞嚙合頻率181.678 Hz上下波動，根據(jù)敏感分量的選取原則，選擇該分量進(jìn)行解調(diào)分析。由于加工誤差和微小缺陷，實際中的三個行星輪不可能完全相同，所以齒圈故障特征頻率的1/3fr及其倍頻n/3fr的頻譜幅值會增大，而我們的分析結(jié)果也證實了這一點(diǎn)，在瞬時頻率Fourier變換譜(圖9(e))上齒圈故障特征頻率的1/3fr及其倍頻明顯大于正常值，而幅值包絡(luò)的Fourier譜(圖9(f))上也可以明顯的發(fā)現(xiàn)齒圈故障特征頻率fp及其三倍頻、四倍頻和五倍頻。上述特征說明齒圈出現(xiàn)損傷，符合實際情況。

圖8 齒圈局部損傷

(a) 時域波形

(b) EMD分解

(c) GDE估計頻率

(d) 敏感分量幅值包絡(luò)

(e) 瞬時頻率Fourier頻譜

(f) 幅值包絡(luò)Fourier頻譜

5 結(jié) 論

本文將生成微分方程方法應(yīng)用于行星齒輪箱的故障診斷中，分析了方法的基本原理與實現(xiàn)方法。依據(jù)第二節(jié)中的敏感分量選擇原則選取EMD分解后的敏感分量后使用GDE方法來估計瞬時頻率和包絡(luò)幅值，算法簡單，效果良好，適用性強(qiáng)。用行星齒輪箱故障仿真信號驗證本方法后分析了實測實驗信號，診斷出了太陽輪、行星輪和齒圈的局部損傷故障，驗證了該方法的有效性，同時生成微分方程方法對于其他旋轉(zhuǎn)機(jī)械如汽輪機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、風(fēng)機(jī)、泵和發(fā)電機(jī)都有良好有效的診斷辨識能力。

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Signal demodulation via the generating differential equation method for planetary gearbox fault diagnosis

LI Kangqiang, FENG Zhipeng

(School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

The vibration signal of a planetary gearbox has clear characteristics of modulation and analysis of frequency demodulation and amplitude demodulation plays a vital role in the fault diagnosis. Though the generating differential equation (GDE) method can estimate the amplitude envelope and the instantaneous frequency of the modulation signal, it only suits to single component composition. Actually, vibration signal of a planetary gearbox is composed of complex component composition. In order to analyze amplitude envelope and instantaneous frequency of a modulation signal, in this paper, we decomposed a modulation signal into the single component intrinsic mode function (IMF) by the empirical mode decomposition (EMD). According to the fluctuation characteristics of instantaneous frequency which result from the generating differential equation, the IMF as the sensitive component was chosen. The characteristic frequency of localized fault was identified with Fourier frequency spectrum of amplitude envelope and instantaneous frequency. Its effectiveness in extracting the characteristic frequency of localized fault was validated by the demodulation analysis of experiments of the planetary gearbox.

planetary gearbox; generating differential equations; amplitude envelope; instantaneous frequency

國家自然科學(xué)基金資助項目(11272047; 51475038); 教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃項目(NCET-12-0775)

2016-01-07 修改稿收到日期：2016-03-07

李康強(qiáng) 男，博士生，1987年生

馮志鵬 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1973年生

TH165+.3; TH132.425

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.002