基于子域疊加模型的表貼式永磁電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)分析

李 斌， 董 川， 金世鑫

(1. 天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院， 天津 300072；2. 國(guó)網(wǎng)遼寧省電力有限公司電力科學(xué)研究院， 遼寧 沈陽(yáng) 110006)

基于子域疊加模型的表貼式永磁電機(jī)電樞反應(yīng)磁場(chǎng)分析

李 斌1， 董 川1， 金世鑫2

(1. 天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院， 天津 300072；2. 國(guó)網(wǎng)遼寧省電力有限公司電力科學(xué)研究院， 遼寧 沈陽(yáng) 110006)

準(zhǔn)確計(jì)算表貼式永磁電機(jī)的磁場(chǎng)分布是進(jìn)行電機(jī)設(shè)計(jì)和電機(jī)優(yōu)化的關(guān)鍵。本文建立了表貼式永磁電機(jī)的子域疊加模型，通過(guò)解析法計(jì)算了電機(jī)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的分布，將電機(jī)槽子域分為通電槽和非通電槽，求解單槽通電下的泊松方程和拉普拉斯方程得到其電樞反應(yīng)磁場(chǎng)，再疊加計(jì)算出三相電流下的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)。子域疊加模型簡(jiǎn)化了激勵(lì)方式，減少了求解變量的數(shù)目，降低了求解的難度。以一臺(tái)12槽表貼式永磁電機(jī)為例進(jìn)行計(jì)算，并將解析法結(jié)果與有限元分析的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文提出方法的可行性和正確性。

永磁電機(jī)； 電樞反應(yīng)； 磁場(chǎng)分析； 子域模型； 解析法

1 引言

永磁電機(jī)[1]由永磁體替代了轉(zhuǎn)子的勵(lì)磁繞組，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，體積小，轉(zhuǎn)矩密度高，魯棒性強(qiáng)。獲得永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的分布，是計(jì)算轉(zhuǎn)矩特性、渦流損耗、噪聲和振動(dòng)等的關(guān)鍵。在氣隙磁場(chǎng)的求解方法中，有限元法[2,3]適用于多種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機(jī)，但速度較慢，在電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中不便使用；解析法計(jì)算量小，速度快，使用價(jià)值高，便于對(duì)電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

表貼式永磁電機(jī)的解析法主要有鏡像法、保角變換法和子域分析法。鏡像法[4]將介質(zhì)的效應(yīng)通過(guò)鏡像電流進(jìn)行等效，適用范圍較窄。保角變換法[5]通過(guò)許克變換簡(jiǎn)化邊界，從而求得復(fù)雜邊界下的磁場(chǎng)分布。子域分析法將電機(jī)的橫截面分割為若干區(qū)域，以矢量磁位為求解變量，結(jié)合約束條件建立偏微分方程并求得矢量磁位解。Z. J. Liu等提出了單極單槽模型[6]，單極單槽模型設(shè)槽為無(wú)限深，僅在一個(gè)極距周期范圍內(nèi)進(jìn)行處理，未考慮槽間相互影響以及槽內(nèi)磁場(chǎng)分布狀況；諸自強(qiáng)等人提出了考慮開槽效應(yīng)的精確子域模型[7]，又依此提出了半開口槽子域模型，對(duì)解析計(jì)算進(jìn)行了優(yōu)化[8,9]；T. Lubin等人利用P函數(shù)和E函數(shù)使方程的解在表達(dá)上更加清晰[10]，并將多種子域交界面進(jìn)行歸類，得到了多種類型電機(jī)的方程通解表達(dá)式[11]。在求解過(guò)程中，上述研究需對(duì)整個(gè)電機(jī)域進(jìn)行建模，各次諧波系數(shù)由所有槽電流密度確定，方程中的常數(shù)項(xiàng)變量多。

本文基于子域分析方法，以單層繞組表貼式永磁電機(jī)為研究對(duì)象，建立了表貼式永磁電機(jī)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)子域疊加模型。子域疊加模型將電機(jī)槽子域分為通電槽和非通電槽，通過(guò)求解不同激勵(lì)下的泊松方程和拉普拉斯方程，得到單槽激勵(lì)下的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)表達(dá)式。然后，根據(jù)三相電流下各個(gè)槽的電流值，利用疊加關(guān)系得到總的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)。子域疊加模型簡(jiǎn)化了激勵(lì)方式，減少了求解變量的數(shù)目，降低了求解的難度。本文將有限元法計(jì)算結(jié)果與利用子域疊加模型得到的單槽磁場(chǎng)和整體磁場(chǎng)解析解進(jìn)行了對(duì)比，證明了本文方法的可行性和正確性。

2 解析模型

2.1 模型概述

本文以內(nèi)轉(zhuǎn)子單層繞組表貼式永磁電機(jī)為例進(jìn)行電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析，其橫截面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 表貼式永磁電機(jī)橫截面結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Cross section of surface mounted PM machine

電樞反應(yīng)磁場(chǎng)以定子槽電流為激勵(lì)，分析所有定子槽以及氣隙中的磁場(chǎng)，故將求解區(qū)域分解成定子槽子域和氣隙子域。該電機(jī)的子域示意圖如圖2所示。R1為轉(zhuǎn)子軛外表面半徑，R2為定子內(nèi)表面半徑，R3為定子槽底面半徑，顯然R3>R2>R1。為突出表示求解的問(wèn)題，圖2中永磁體和轉(zhuǎn)軸略去未畫。

圖2 表貼式永磁電機(jī)子域示意圖Fig.2 Subdomains of surface mounted PM machine

本文對(duì)模型中的電機(jī)做出如下假設(shè)：

(1)定子電流密度僅存在軸向分量，且在槽中均勻分布。

(2)設(shè)軸向長(zhǎng)度為無(wú)窮大，不計(jì)端部效應(yīng)，電機(jī)在軸向各處的磁場(chǎng)具有相同的分布形式，因此可將電機(jī)的橫截面作為分析對(duì)象，在極坐標(biāo)系下進(jìn)行二維磁場(chǎng)分析。

(3)定子和轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，鐵心磁阻產(chǎn)生的影響忽略不計(jì)。

電機(jī)中定子槽寬角為β；定子槽數(shù)為NS；在電機(jī)的橫截面上建立平面極坐標(biāo)系，極軸(圖中θ=0處)位于一個(gè)槽的中心，將該槽編為0號(hào)槽，逆時(shí)針將其余槽依次編號(hào)為1，2，…，NS-1號(hào)槽。

編號(hào)為i的槽中心所處的角度為：

(1)

本文模型中的表貼式永磁電機(jī)可劃分為定子槽子域和氣隙子域，在定子槽子域中又分為通電槽子域和非通電槽子域，在本文的模型中選定0號(hào)槽為通電槽，其余槽為非通電槽。

2.2 通電槽子域通解

通電槽子域中的泊松方程為：

(2)

邊界條件為：

(3)

根據(jù)分離變量法并代入邊界條件可得通電槽子域的通解為：

(4)

式中

(5)

D0m為積分常數(shù)；m對(duì)應(yīng)通解中諧波的階數(shù)。

2.3 非通電槽子域通解

本文利用非通電槽的拉普拉斯方程求解，可以省去其電流密度，減少常數(shù)項(xiàng)，優(yōu)化求解過(guò)程。

非通電槽即編號(hào)為1,2,3,…,NS-1的槽，其子域中的拉普拉斯方程為：

(6)

邊界條件為：

(7)

根據(jù)分離變量法并代入邊界條件可得非通電槽子域的通解為：

(8)

式中，Dim為積分常數(shù)；i為對(duì)應(yīng)槽的編號(hào)，取1,2,3,…,NS-1。

2.4 氣隙子域通解

氣隙中的拉普拉斯方程為：

(9)

邊界條件為：

(10)

根據(jù)分離變量法并代入邊界條件可得氣隙子域的通解：

(11)

式中，C1n和C2n為積分常數(shù)；n為氣隙子域解的諧波次數(shù)。

2.5 氣隙子域徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度求解

在平面極坐標(biāo)系中，氣隙子域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量可表示為：

(12)

2.6 諧波系數(shù)求解

氣隙子域與通電定子槽子域交界面，有

(13)

由式(4)和式(11)，直流分量部分有如下關(guān)系：

(14)

即

(15)

式中

(16)

(17)

各次諧波分量有如下關(guān)系：

(18)

即

(19)

式中

(20)

(21)

在氣隙子域與非通電定子槽子域交界面，邊界條件為：

(22)

結(jié)合式(8)和式(11)，直流分量部分關(guān)系如下：

(23)

即

(24)

各次諧波分量有如下關(guān)系：

(25)

即

(26)

氣隙子域與所有定子槽子域交界面均滿足如下關(guān)系：

(27)

對(duì)于所有定子槽均有：

(28)

(29)

將所有槽子域和氣隙子域中的諧波系數(shù)取為有限次，由式(15)、式(19)、式(24)、式(26)、式(28)和式(29)聯(lián)立可求得各個(gè)子域中的所有諧波系數(shù)。

3 所有槽通電下解的疊加

本節(jié)以氣隙徑向磁場(chǎng)為例，說(shuō)明用單槽磁感應(yīng)強(qiáng)度解計(jì)算所有槽通電下的磁感應(yīng)強(qiáng)度解的過(guò)程。

令編號(hào)為0的槽中通單位電流，該情況下的氣隙徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

(30)

式中，I0為0號(hào)槽所通的電流值。

編號(hào)為i的槽通以單位電流下氣隙徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

(31)

故在所有槽均通電的情況下，氣隙徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

(32)

式中，Ii為編號(hào)為i的槽的電流值。

4 磁場(chǎng)解析模型的有限元驗(yàn)證

4.1 電機(jī)參數(shù)

本文選取一臺(tái)12槽表貼式永磁電機(jī)為樣機(jī)，分析其電樞反應(yīng)磁場(chǎng)。樣機(jī)的參數(shù)見(jiàn)表1，其繞組分布如圖3所示。

表1 表貼式永磁電機(jī)樣機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameters of surface mounted PM machine

圖3 表貼式永磁電機(jī)樣機(jī)繞組分布圖Fig.3 Winding distribution of surface mounted PM machine

4.2 氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

樣機(jī)在單槽通電時(shí)(電流大小為5A)電樞反應(yīng)下的磁感線分布如圖4所示。

圖4 單槽通電電樞反應(yīng)下磁感線分布Fig.4 Distribution of magnetic induction lines generated by single slot

單槽通電時(shí)(電流大小為5A)用解析法求得的氣隙內(nèi)半徑為29mm處的電樞反應(yīng)徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果與有限元法的對(duì)比如圖5所示。解析法和有限元法計(jì)算得到的徑向磁感線強(qiáng)度的各次諧波分量比較如圖6所示，其中解析法的磁感應(yīng)強(qiáng)度的基波分量較有限元結(jié)果偏離3.13%。

圖5 單槽通電下徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度Fig.5 Radial components of armature reaction magnetic flux density generated by single slot

圖6 單槽通電下各次諧波分量Fig.6 Harmonic spectra of flux densities in airgap of armature reaction generated by single slot

圖7和圖8分別為兩種不同情況下多槽通電時(shí)用解析法求得的氣隙內(nèi)半徑為29mm處電樞反應(yīng)徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果與有限元法所得結(jié)果的對(duì)比。

其中，圖7為三相電流瞬態(tài)情況為：Ia=5A，Ib=Ic=-2.5A，在氣隙內(nèi)半徑為29mm處的電樞反應(yīng)下徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果。圖8為三相電流瞬態(tài)情況為：Ia=0，Ib=-4.33A，Ic=4.33A，在氣隙內(nèi)半徑為29mm處的電樞反應(yīng)下徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果。

圖7 所有槽通電下徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度1Fig.7 Radial components of armature reaction magnetic flux density of condition 1

圖8 所有槽通電下徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度2Fig.8 Radial components of armature reaction magnetic flux density of condition 2

分析圖7可得，解析法的磁感應(yīng)強(qiáng)度基波分量較有限元結(jié)果偏離約為3.07%，而圖8中偏離約為3.05%，兩種方法得到的結(jié)果總體上吻合。由于本文僅取氣隙區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的前1～15次諧波進(jìn)行線性方程組求解，因此實(shí)際結(jié)果中的一些不平滑的點(diǎn)在解析解中體現(xiàn)得不夠明顯，造成了解析解與有限元解的差異。

5 結(jié)論

針對(duì)表貼式永磁電機(jī)的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)解析方法，本文建立了子域疊加模型，提出了一種比較簡(jiǎn)便的子域計(jì)算方法。本文先計(jì)算出較為簡(jiǎn)單的單槽激勵(lì)磁場(chǎng)，再通過(guò)疊加關(guān)系獲得較為復(fù)雜的總的定子槽磁場(chǎng)和氣隙磁場(chǎng)。本文利用二維有限元分析法對(duì)氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步證明了結(jié)果的正確性。本文模型和方法為分析表貼式永磁電機(jī)的電磁性能和渦流損耗等奠定了基礎(chǔ)。

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Subdomain superposition model of armature reaction magnetic field of surface mounted permanent-magnent machine

LI Bin1, DONG Chuan1, JIN Shi-xin2

(1. School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Liaoning Electric Power Research Institute, Shenyang 110006, China)

Accurate calculation of the magnetic field of surface mounted PM machine is the key for designing and optimizing the machine. A subdomain superposition model is proposed to calculate the distribution of armature reaction magnetic field of surface mounted PM machine. In the proposed method, only one slot is excited and distinguished from other slots, so the different excitation method is applied to the Maxwell equations. Then the magnetic field generated by single slot can be calculated, and the total magnetic field of all three-phase current excitation is superposed. Subdomain superposition model facilitates the mode of excitation, reducing the amount of the variables and the difficulty of calculating. Taking a 12 slot surface-mounted permanent magnet machine as an example, the results computed by the analytical method are compared with finite-element method, which prove the feasibility of the method.

permanent magnet machine; armature reaction; magnetic field analysis; subdomain model; analytic method

2016-04-06

李 斌(1976-)， 男， 山東籍， 副教授， 博士， 研究方向?yàn)樾滦碗姍C(jī)的設(shè)計(jì)與控制(通訊作者)； 董 川(1991-)， 男， 北京籍， 碩士研究生， 研究方向?yàn)殡姍C(jī)電磁場(chǎng)分析。

TM351

A

1003-3076(2017)01-0010-06