細編穿刺織物的數學建模理論與實例

周鈺博，李艷霞，李 敏，顧軼卓，張佐光，宋永忠，余立瓊，程 家

(1 北京航空航天大學 材料科學與工程學院 空天材料與服役教育部重點實驗室,北京 100191；2 航天材料及工藝研究所,北京 100076)

細編穿刺織物的數學建模理論與實例

周鈺博1，李艷霞1，李 敏1，顧軼卓1，張佐光1，宋永忠2，余立瓊2，程 家2

(1 北京航空航天大學 材料科學與工程學院 空天材料與服役教育部重點實驗室,北京 100191；2 航天材料及工藝研究所,北京 100076)

針對細編穿刺織物，采用具有參數連續(xù)性的樣條線作為纖維絲束的軌跡特性函數，建立了三維立體織物結構的數學抽象與三維建模方法?；贛icroCT方法實際測量的細編穿刺織物結構特征參數，采用四種絲束軌跡特性函數和兩種絲束截面建立了八種穿刺織物結構的三維數字模型，通過絲束結構與孔隙率的對比，三維數字模型與織物真實結構符合較好。該織物結構數學抽象與三維建模方法，可用于小尺度的亞單胞模型與大尺度的宏觀模型分析，具有較高的適應性。

細編穿刺織物；預成型體；數學抽象；計算機建模

細編穿刺織物是一種三維立體織物，與其他織物相比[1]，厚度方向纖維含量很高，因而在厚度方向具有獨特的性能，常作為C/C復合材料的增強體[2,3]，用于飛機剎車裝置、火箭耐高溫部件等處。細編穿刺織物的加工工藝復雜，成本高，通過建模仿真方法預測其力學及物理特性[4](如滲透率等)具有重要的意義。目前，針對細編穿刺織物，僅在1～2束纖維的亞單胞尺度有數學模型的報道[5]，由于其損失了織物的周期性結構，無法考慮到纖維滑動等因素，模擬仿真的準確性受到影響，而在單胞及若干的單胞的較大尺度上，未見有仿真模型的報道，僅有抽象結構模型[4]。本工作針對細編穿刺織物，建立了一種準確度較高的數學抽象與織物結構數學建模方法，可同時用于小尺度的亞單胞模型與大尺度的宏觀模型分析，具有較高的適應性。

織物結構建模可以上溯到20世紀30年代，Peirce[6]提出經典的平紋織物的幾何模型，其將絲束的截面假定為橢圓形，并用絲束屈曲高度、絲束幾何密度、絲束紡織角等參數描述織物的模型。近年來，隨著預成型體編織技術和液體成型工藝的發(fā)展，預成型體織物結構的數字化、模型化受到關注。基于單胞模型的各項研究得到展開，如三維立體織物的結構優(yōu)化設計[7]與預成型體中纖維彎曲對復合材料性能的影響分析[8,9]；基于含有若干單胞的三維縫合織物的模型，采用計算流體力學和有限元方法，預測三維縫合織物層內的滲透率[10,11]與預成型體的拉伸性能[10]；采用有限單元方法，預測預成型體的導電性與導熱性[12]，液體成型過程中預成型體受力分析[13]，基于單胞模型的預成型體纖維體積分數和厚度預測[14-16]等。與傳統(tǒng)的跑道型建模方法[15]不同，本工作采用具有參數連續(xù)性的樣條線建立細編織物穿刺織物單胞模型，同時，對比了不同絲束截面與軌跡特性所建立織物數學模型，通過絲束結構與孔隙率的對比，織物數學模型與織物真實結構具有較好的符合性，為細編穿刺織物的滲透率預測及液體成型工藝模擬提供技術基礎。

1 數學建模用織物樣例

采用的細編穿刺織物由南京玻璃纖維研究院生產，纖維型號為T700碳纖維，通過Skyscan 1076 MicroCT獲取的斷面圖如圖1所示?？椢飬禐椋篫向纖維束直徑0.603 mm±0.031mm，XY向纖維束高0.280 mm±0.023mm，XY向纖維束寬0.575 mm±0.046mm，孔隙率為46.67%。

圖1 細編穿刺織物的MicroCT照片F(xiàn)ig.1 MicroCT photo of fine weave pierced fabric

2 細編穿刺織物的數學抽象

對于細編穿刺織物進行三維仿真建模，需將織物進行數學抽象，提取出織物的絲束軌跡特性與截面特性，再將截面特性與絲束軌跡特性結合，獲得絲束實體或表面的特性。針對細編穿刺織物，本文的織物仿真模型精確到絲束級別，總尺度為若干個絲束，為編織結構的若干個單胞組合。

2.1 絲束軌跡特性

為了定義絲束的軌跡，將三維絲束實體抽象為一維絲束的中心線，通過設定絲束中心線通過的“特殊點”(即絲束在織物中的“結點”)，運用數學插值的方法，實現(xiàn)絲束中心線的連續(xù)性模擬。

絲束的中心線是一條光滑、連續(xù)的曲線，其函數表達需要滿足至少一階參數連續(xù)性，因此，采用“樣條線”來對絲束的中心線進行擬合。樣條線是通過指定點的擬合曲線，對其進行描述的插值函數具有定義域上的連續(xù)性。樣條線方程通常用分段多項式方程來描述，對于一條定義域為[a,b]的樣條線，典型方程形式如下：

a=t0

(1)

其中，給定k值，ti點為樣條線的結點，也是絲束在織物中的結點，Si(t)為樣條線的分段。

本工作考慮了兩類四種樣條線：周期性與非周期性貝塞爾樣條線(具有一階參數連續(xù)性)、周期性與非周期性自然立方樣條線(具有二階參數連續(xù)性)。為了避免龍格現(xiàn)象，樣條線的分段參數方程采用三階：

S(t)=P1(1-t)3+3P2(1-t)2t+

3P3(1-t)t2+4P4t30≤t≤1

(2)

2.1.1 貝塞爾樣條線的參數定義

貝塞爾樣條線的分段是按照零階連續(xù)性和一階連續(xù)性定義的，按照樣條線結點要求，有：

P1i=Si(ti) 0≤i≤k-2

P4i=Si(ti+1) 0≤i≤k-2

(3)

且滿足：

(4)

在樣條線兩端(t=a與t=b)滿足

(1)若絲束不具有周期性，有：

(5)

結合式(3)和(4)，就得到了(非周期性)貝塞爾樣條線。

(2)若絲束是周期性的，滿足：

(6)

結合式(3)和(4)，就得到了周期性貝塞爾樣條線。

通常采用貝塞爾樣條線的模型與真實情況符合較好，同時在特殊情況下，通過提供特定的定義點使曲線更符合真實的絲束路徑。

2.1.2 自然立方樣條線的參數定義

與貝塞爾樣條線相似，通過樣條線零階、一階與二階參數連續(xù)性能得出以下方程：

Si(ti+1)=Si+1(ti+1) 0≤i≤k-3

S″i(ti+1)=S″i+1(ti+1) 0≤i≤k-3

(7)

對于自然立方樣條線，要求使得以下函數值最?。?/p>

(8)

函數J(S)的意義是樣條線S(t)的總曲率。因為自然立方樣條線的物理模型是彈性繩(樣條線)在若干個固定點(樣條線結點)的約束下處于總能量最低的狀態(tài)，因此要使得樣條線具有最低的總曲率。

(1)若絲束不具有周期性，則在樣條線端頭處(t=a與t=b)，滿足：

S″(a)=S″(b)=0

(9)

結合式(7)和(8)，就得到了(非周期性)自然立方樣條線。

(2)若針對織物的單胞建模，絲束具有周期性，則在樣條線端頭處(t=a與t=b)，滿足：

S′(a)=S′(b)S″(a)=S″(b)

(10)

結合式(7)和(8)，就得到了周期性自然立方樣條線。由于S′(tk-1)=S′(t0)，周期性自然立方樣條線的方程比(非周期性)自然立方樣條線少一個。

由于在樣條線兩端具有相同的一階與二階導數，周期性自然立方樣條線能夠非常好的適應織物結構單元的建模，在結構單元重復堆積的地方，能夠同時滿足零階、一階與二階參數連續(xù)性，因此對于織物重復單元建模有著重要的意義。

四種樣條線的對比如圖2所示。

圖2 四種樣條線的對比Fig.2 Comparison of four kinds of spline

2.2 絲束截面特性

絲束的橫截面是二維的平面圖形，所在平面與絲束中心線垂直。絲束是含有若干單絲的三維實體，其橫截面為垂直于絲束中心線，能包含所有纖維的最小平面區(qū)域。由于真實絲束的橫截面外凸且邊緣不光滑，在建模中需將橫截面的最小區(qū)域的邊緣光滑化，在滿足精確性與便捷性的同時做出近似。

通常，絲束的橫截面有兩種近似：冪次橢圓與透鏡形。

2.2.1 冪次橢圓截面

冪次橢圓截面是橢圓形截面的一種修正，通過一個冪次參數n對橢圓在高度h上進行修正，n越小，橫截面越接近于矩形，n越大，橫截面越接近于透鏡形，當冪次系數n=1時，冪次橢圓還原為普通橢圓，如圖3(a)所示。其數學表達式如下：

(11)

2.2.2 透鏡形截面

透鏡形截面是半徑為r1與r2的兩個圓在垂直方向上各自偏移o1與o2所相交形成的，參數r1，r2，o1，o2可以通過截面的寬w、高h以及透鏡形截面的扭曲距離d計算而得，解析表達式為：

(12)

其中

(13)

圖3(b)所示是三種典型的透鏡形，其中，當透鏡形截面的扭曲距離d為0，兩個圓的半徑相同，偏移距離大小相同，方向相反。

圖3 冪次橢圓(a)與透鏡形(b)示意圖Fig.3 Power ellipse(a) and lenticular(b)

2.3 絲束實體與表面特性

根據數學理論，由絲束中心線和絲束橫截面方程即可確定絲束的三維結構，但在實際建模中，需要繪制絲束實體或表面的三維圖形，而數學抽象的橫截面，是零厚度的二維平面，若簡單地將絲束中心線與絲束橫截面簡單合并起來，需要無數橫截面堆疊，此時數據量巨大。為簡化模型的建立，利用絲束的特性，將建模需要的橫截面減少為有限個。

沿著絲束的中心線方向，絲束的橫截面是一個光滑變化的圖形，即絲束的橫截面是一個沿著絲束中心線變化的函數。固絲束實體可以定義為一個關于絲束路徑S與絲束橫截面C的函數P(u,v)：

(14)

(15)

在參數表面的函數P(u,v)的定義式中，橫截面C由兩個參數確定，分別為變量u與變量v，其中，u代表的是橫截面與絲束中心線的交點在中心線上的位置，v代表的是橫截面上的位置。

圖4 建模坐標系Fig.4 Coordinate system of modeling

由于絲束的橫截面是一個不斷變化的圖形，所以采用關鍵點與關鍵面的方法簡化建模：離散地在絲束的中心線上定義一些關鍵點，在關鍵點上定義該點的橫截面(關鍵面)，在關鍵點之間采用插值運算的方法，補充橫截面，生成絲束的外表面。通常關鍵點為絲束中心線(樣條線)的結點，為了提高精確度，關鍵點也可以為任意點。當絲束的橫截面變化非常小時，可只在每條絲束中心線上定義一個關鍵面，簡化建模，提高運算性能。

采用如下的插值方法：若A(t)與B(t)為定義在關鍵點上的關鍵面，則A(t)與B(t)之間的一個插值面C(t)滿足：

C(t,μ)=A(t)+[B(t)-A(t)]μ

0≤t≤1 0≤μ≤1

(16)

式中μ的值從0到1線性變化，代表插值面C(t)在關鍵點A(t)與B(t)之間線性變化。這種線性插值同時適用于相同與不同類型的截面，并生成滿足零階參數連續(xù)性的光滑過度表面。如圖5(a)所示，圖中顯示了線性插值的截面變化情況。模型從左到右，關鍵面分別為橫向放置的長軸長2單位、短軸長1單位的橢圓形截面，縱向放置的長軸長2單位、短軸長1單位的橢圓形截面以及橫向放置的長2單位、高1單位、扭曲距離為-0.25單位的透鏡型截面。

線性插值通常與實際情況存在著較大的偏差，如在關鍵點處出現(xiàn)截面的突變，即截面不滿足一階參數連續(xù)性?？梢酝ㄟ^適當的平滑修正，改變μ與絲束位置d的線性相關性，修正以上缺陷。可使用三次等式修正，使得在關鍵點處滿足：

(17)

即有

(18)

圖5(a)經過平滑修正之后的插值如圖5(b)所示。

圖5 截面插值示意圖(a)線性插值；(b)平滑修正后的插值Fig.5 Sketch of section interpolation(a)linear interpolation;(b)interpolation after smooth

3 細編穿刺織物的三維仿真模型建立

基于細編穿刺織物的數學抽象模型，即可按照一定的方法與手段建立織物的三維數字模型。

分別按照兩種截面，四種絲束軌跡特性曲線進行建模。其中，采用橢圓形截面、周期性貝塞爾樣條線的織物模型的透視圖如圖6所示。

圖6 采用橢圓形截面、周期性貝塞爾樣條線的織物模型的透視圖Fig.6 Scenograph of models with ellipse section and periodic Bezier spline

對比八種模型的幾何結構，由于建模所選取的區(qū)域為織物編織結構的單胞，已具有一定的周期重復性，因此對于同一種絲束軌跡的插值方法，樣條線的周期性與否，對幾何上的影響并不明顯，同時，由于絲束軌跡與絲束截面在數學處理上相對獨立，不同的截面形狀并不影響絲束的軌跡。以透鏡形截面為例，對比周期性貝塞爾樣條線與自然立方樣條線，如圖7所示，可以明顯看出，在緊鄰彎折區(qū)域的結點附近(圓圈處)，自然立方樣條線出現(xiàn)了明顯的屈曲，而貝塞爾樣條線的屈曲幅度很小，這是由于自然立方樣條線所具有二階參數連續(xù)性而引起的。

圖7 周期性貝塞爾樣條線(a)與自然立方樣條線(b)的區(qū)別Fig.7 Difference of periodic Bezier spline(a) with periodic natural cubic spline(b)

將采用橢圓形截面、周期性貝塞爾樣條線的織物模型的斷面圖(如圖8)與真實織物獲取的斷面圖(圖1)進行比較，可以發(fā)現(xiàn)，在排除因為三維編織造成的織物不規(guī)則變形之后，建立的模型與真實模型符合較好。

圖8 采用橢圓形截面、周期性貝塞爾樣條線的織物模型的斷面圖Fig.8 Sectional view of models with ellipse section and periodic Bezier spline

圖9 不同模型的孔隙率及其與實際值的比較Fig.9 Comparison of porosities from different models and with reality

基于上述八種織物模型，進一步計算了預成型的孔隙率如圖9所示。由圖9計算數據對比可知：(1)與透鏡形截面的織物模型相比，橢圓形截面模型的孔隙率較低且與穿刺織物的孔隙率更接近，表明穿刺織物的絲束截面更接近于橢圓形；(2)同一種樣條線，周期性與非周期性的差別很小，這是由于織物的特性所決定的；(3) 對比真實織物與模型孔隙率，模型的孔隙率也均高于真實織物。

孔隙率誤差主要由三個方面產生：(1)穿刺織物在制備過程中，由于外力作用，纖維出現(xiàn)大量的變形與損傷，織物整體呈現(xiàn)受擠壓狀態(tài)[5]，破損的纖維填充了相當量的孔隙，導致纖維的有序性降低，絲束的規(guī)則性下降，造成孔隙率偏差；(2)模型將絲束作為一個整體處理，僅考慮了束間孔隙，從而造成孔隙率偏差；(3)數學模型的特征尺寸和結構特性來自于真實織物的測量，同時，模型中絲束的截面與軌跡特性也需要近似化處理，因此，實驗測量和數學近似都會造成數學抽象與真實情況之間的誤差，固需要采取多重測量，以及采取多種近似方法進行建模，從中選取最合理的方案，減小誤差。

4 結論

(1)與傳統(tǒng)的跑道型軌跡模型相比，本工作中采用的貝塞爾樣條線與自然立方樣條線軌跡模型的出發(fā)點是絲束的參數連續(xù)性。相對于只具有零階參數連續(xù)性的跑道型軌跡模型，貝塞爾樣條線與自然立方樣條線軌跡模型分別具有一階和二階參數連續(xù)性，因而其更接近于自然狀態(tài)下的織物，建立的模型更符合真實的絲束狀態(tài)。

(2)以細編穿刺三維立體織物為樣例，本工作分別建立了基于兩種典型截面、四種軌跡樣條線的八種模型，并將它們的孔隙率與真實織物的實測孔隙率進行比較，發(fā)現(xiàn)模型與真實織物的孔隙率數據吻合較好，說明所建立的數學模型抽象與建模方法能夠較好地描述織物的真實狀況，為穿刺織物滲透率及力學性能等參數預測提供了重要基礎。

(3)該織物微觀結構建模方法也可用于其他類型的2D，2.5D及3D織物等預成型體的抽象建模，并可用于預成型體的滲透率、導電性、導熱性等物理性能以及力學性能的預測與分析，可以提高針對預成型體相關性能研究的效率，降低研究的成本。

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(本文責編：解 宏)

Theory and Examples of Mathematical Modeling for Fine Weave Pierced Fabric

ZHOU Yu-bo1,LI Yan-xia1,LI Min1,GU Yi-zhuo1,ZHANG Zuo-guang1,SONG Yong-zhong2,YU Li-qiong2,CHENG Jia2

(1 Key Laboratory of Aerospace Materials and Performance (Ministry of Education), School of Materials Science and Engineering, Beihang University,Beijing 100191,China；2 Aerospace Research Institute of Materials & Processing Technology,Beijing 100076,China)

A mathematical abstraction and three-dimensional modeling method of three-dimensional woven fabric structure was developed for the fine weave pierced fabric, taking parametric continuity splines as the track function of tow. Based on the significant parameters of fine weave pierced fabric measured by MicroCT, eight kinds of the three-dimensional digital models of the fabric structure were established with two kinds of tow sections and four kinds of tow trajectory characteristic functions. There is a good agreement between the three-dimensional digital models and real fabric by comparing their structures and porosities. This mathematical abstraction and three-dimensional modeling method can be applied in micro models for sub unit cell and macro models for macroscopic scale fabrics, with high adaptability.

fine weave pierced fabric；preform；mathematical abstraction；computer modeling

10.11868/j.issn.1001-4381.2015.000479

TB33

A

1001-4381(2017)04-0102-06

2015-04-23；

2016-10-08

李艷霞(1977-)，女，講師，研究方向：樹脂基復合材料成型工藝及數值模擬研究，聯(lián)系地址：北京市海淀區(qū)學院路37號北京航空航天大學材料學院104教研室(100191)，E-mail:liyanxia@buaa.edu.cn