隨機環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程的極限性質

任 敏，張光輝

（宿州學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000）

隨機環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程的極限性質

任 敏，張光輝

（宿州學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000）

文章研究隨機環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程，在獨立同分布的隨機環(huán)境下，建立具有配對單元遷移的兩性分枝過程{Zn,n≥0}且遷移的配對單元數與當前人口數有關，證得此過程是隨機環(huán)境中的馬氏鏈，并給出每個配對單元平均增長率的極限性質.

隨機環(huán)境；兩性分枝過程；平均增長率；極限性質

0 引言

1968年，Daley首次引入兩性分枝過程的模型，隨后諸多概率論工作者研究它的極限性質、滅絕概率等問題［1-4］.為描述更復雜的物種模型，一些改進的兩性分枝過程模型被引入，如具有遷入的兩性分枝過程［5］，配對依賴人口數的兩性分枝過程［6］，伴有移民的兩性分枝過程［7］，具有配對單元移出的兩性分枝過程［8］等等.本文在前人研究基礎上，研究隨機環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程模型，并且遷移的配對單元數和當前人口數有關，給出過程的馬氏性和每個配對單元平均增長率的性質，推廣經典兩性分枝過程的相關結論.

設(Ω,F,P)是概率空間，(Θ,Σ)是可測空間，N是非負整數集，配對函數L(?,?):N2→N關于每個分量單調不減且是上可加的.設ξ→={ξ,n≥0}和{(Fn,Mn)}n≥1是定義在(Ω,F,P)上分別取值于(Θ,Σ)和N2的隨機變量序列，{(fξn,i,mξn,i)}n≥1是在給定環(huán)境ξn下取值于N2的獨立同分布的二維隨機變量序列.

定義1 若{Zn,n≥0}滿足下列條件

（1） Zn=N0∈N，

（2）(Fn,Mn)=

（3）Zn+1=L(Fn+1,Mn+1)+Yn+1(L(Fn+1,Mn+1))

則稱{Zn,n≥0}為隨機環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程，其中 fξn,iIξn,i,mξn,iIξn,i表示第n代的第i個配對單元在環(huán)境ξn下生成的雌性個體數和雄性個體數；Fn+1,Mn+1表示第n代所有配對單元生成的雌性總數和雄性總數.在環(huán)境ξn下，若第n代的第i個配對單元移出，則Iξn,i=0；若第n代的第i個配對單元不移出，則Iξn,i=1.Yn+1(L(Fn+1,Mn+1))表示第n+1代移入的配對單元數，并且移入的配對單元數與當前配對人口數有關.{Iξn,i,i≥1}在給定的環(huán)境ξn下是獨立同分布的，且與{fξn,i,mξn,i}i≥1獨立.

定義2 若隨機環(huán)境中的兩性分枝過程的配對函數是上可加的，即則稱該過程是上可加的.

記Fn(ξ?)=(Z0,Z1,…,Zn,ξ0,ξ1,…,ξn,…),n=0,1,2,…,且對任意的x,y∈N,有L(x,y)與Fn(ξ?)相互獨立.

1 馬氏性

定理1.1 設ξ?={ξn,n≥0}獨立同分布，則{Zn,n≥0}是隨機環(huán)境中的馬氏鏈，其一步轉移概率為

證明 由{Zn,n≥0}的定義知，P(Z0=N0|ξ?)=P(Z0=N0|ξ0)，因為L(x,y)與Fn(ξ?)相互獨立，對任意的i1,i2,…,in-1,i∈N，有

由隨機環(huán)境中馬氏鏈的定義可知，{Zn,n≥0}是隨機環(huán)境中的馬氏鏈.

定理1.2 設ξ?={ξn,n≥0}獨立同分布，則{Fn+1,Mn+1}是隨機環(huán)境中的馬氏鏈，其一步轉移概率是

類似于定理1.1可以證得定理1.2.

2 極限性質

定義2.1 設{Zn,n≥0}是隨機環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程，當其第n代配對單元數為k時，稱為第n代每個配對單元的平均增長率.

定理2.1 設隨機環(huán)境 ξ?={ξn,n≥0}是獨立同分布，配對函數 L(x,y)是上可加的并且滿足L(x,y)≤x+y. 若 {Yn(k)}k≥0滿 足 P(Yn(k+1)≤Yn(k))=1,0＜E(Yn(k))＜∞,0＜E(fξn,1Iξn,1,mξn,1Iξn,1)＜∞ ，則

證明 分以下幾步證明結論：

第1步，由強大數定律可得，

第2步，證明k-1L{k(E(fξn,iIξn,i),E(mξn,iIξn,i))}的極限存在.令ak=k-1L{k(E(fξn,iIξn,i),E(mξn,iIξn,i))},則

即ak有界，故極限存在且與E(fξn,iIξn,i),E(mξn,iIξn,i)有關，記為

第3步，證明r(x,y)是D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的二元連續(xù)函數，對任意的ε＞0有

其中

類似可證

令ε↓0,則δ↓0,可得

又因為

所以有

即r(x,y)在D上是二元函數.

所以，對任意ε,依概率1存在k0∈N，當k≥k0時，有

由L(x,y)的單調不減性可得

令k→∞有

令ε↓0，因為L(x,y)是連續(xù)函數，所以有

第5步，證明

因為L(x,y)≤x+y，所以

由強大數定律得

所以當k充分大時，有

由控制收斂定理可得

令φk=k?rk,θ,?k,j∈N有

φk是上可加的，故

故

定理2.2 設隨機環(huán)境是ξ?={ξn,n≥0}獨立同分布的，配對函數L(x,y)和Yn(?)是上可加的，則存在非負隨機變量W使

證明 對任意的n≥0，由Wn的定義知

從而Wn是一個非負上鞅，又因為

由鞅收斂定理知，存在一個非負有限隨機變量W，使得

記σk,θ:=k-1Var[Zn+1|Zn=k,ξn=θ],k=1,2,…;n=0,1,2,…,則

設存在序列σξn,n=0,1,2,…,使σk,ξn≤σξn,k=1,2,3,…

定理2.3 設隨機環(huán)境是 ξ?={ξn,n≥0}獨立同分布的，配對函數L(x,y)和Yn(?)是上可加的，若則存在一個非負隨機變量W，使得

由上式遞推可得

由引理2.1和定理2.3知

由上式遞推可得

參考文獻：

［1］ALSMEYER G，ROSLER U.The bisexual Galton-Waston process with promiscuous mating：Extinction probabilities in the supercitical case［J］.Ann Appl Probab，1996，6：922-939.

［2］DALEY D J.Extinction conditions for certain bisexual Galton-Waston process［J］.Z Wahrscheinlichkeits Theorie Verw Geb，1968，9：315-322.

［3］GONZALEZ M，MOLINA M.On the convergence of a superadditive bisexual Galton-Waston branching process［J］.J Appl Probab，1997，34：575-582.

［4］GONZALEZ M，MOLINA M，MOTA M.Nonparametric estimation of the offspring distribution and the mean vector for a bisexual Galton-Waston process［J］.Comm Statist Theory Methods，2001，30：497-516.

［5］GONZALEZ M，MOLINA M，MOTA M.BisexualGalton-Waston branching processwith immigration of females and males：Asymptotic behaviour［J］.Markov Process Relat Fields，2002，8：651-663.

［6］MOLINA M，MOTA M，RAMOS A.Limit behaviour for a supercritical bisexual Galton-Waston branching process with population-size dependent mating［J］.Stochastic Process Appl，2004，112：309-317.

［7］宋明珠.隨機環(huán)境中伴有移民兩性分枝過程的極限性質［J］.應用數學，2012，25（3）：667-671.

［8］劉宣，張杰華.具配對單元移出的兩性分支過程的滅絕性［J］.生物數學學報，2015，30（3）：463-468.

The Limit Properties of the Bisexual Branching Process with Migration of Mating Units in Independent Random Environment

REN Min，ZHANG Guanghui
（School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，234000，Suzhou，Anhui，China）

The purpose of this paper is to study the bisexual branching process with population-size-dependent migration of mating units in random environments.The process follows Markov chains in independent and identically distributed random environments.We derive limit properties of the mean growth rate per mating unit.The results extend and improve known results about classical bisexual branching process in random environments.

random environments；bisexual branching process；the mean growth rate；limit properties

O 211.62

A

2095-0691（2017）01-0007-06

2016-12-19

國家自然科學基金面上項目（11371029）；安徽省高校自然科學研究項目（KJ2016A770）；安徽省優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目（gxyqZD2016340）；宿州學院教學研究項目（szxy2015jy09）;宿州學院重點科研項目（2016yzd05）

任 敏（1982- ），女，安徽淮北人，講師，碩士，研究方向：隨機環(huán)境中的隨機過程.